等比数列的前n项和公式的几种推导方法

赏析等比数列的前n项和公式的几种推导方法山东张吉林（山东省莱州五中邮编261423）等比数列的前n项和公式是学习等比数列知识中的重点内容之一，其公式：当1q时，qqaSnn1)1(1①或qqaaSnn11②当q=1时，1naSn本身不仅蕴涵着分类讨论的数学思想，而且用以推导等比数列前n项和公式的方法---错位相减法，更是在历年高考题目中频繁出现。本文变换视野、转换思维，从不同的角度加以推导，以加深对公式的理解与应用,希望能起到抛砖引玉的效果。一般地，设等比数列123,,,naaaa它的前n项和是nSnaaaa321公式的推导方法一：当1q时，由11321nnnnqaaaaaaS得nnnnnnqaqaqaqaqaqSqaqaqaqaaS1113121111212111nnqaaSq11)1(∴当1q时，qqaSnn1)1(1①或qqaaSnn11②当q=1时，1naSn当已知1a,q,n时常用公式①；当已知1a,q,na时，常用公式②.拓展延伸：若na是等差数列，nb是等比数列，对形如nnab的数列，可以用错位相减法求和。例题数列na的前n项和221(1)2(2)2222nnnSnnn，则nS的表达式为（）．A．1222nnnSnB．122nnSnC．22nnSnD．122nnSn解析：由221(1)2(2)2222nnnSnnn，①可得23122(1)2(2)2222nnnSnnn，②②－①，得2112(12)22222212nnnnnSnnn，故选（D）．点评：这个脱胎于课本中等比数列前n项公式推导方法的求和法，是高考中命题率很高的地方，应予以高度的重视。公式的推导方法二：当1q时，由等比数列的定义得，qaaaaaann12312根据等比的性质，有qaSaSaaaaaannnnn112132即qaSaSnnn1qaaSqnn1)1(∴当1q时，qqaSnn1)1(1或qqaaSnn11当q=1时，1naSn该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比的性质，导出了公式，给我们以耳目一新的另类感觉。导后反思：定义是基础，深刻理解定义，灵活地运用好定义，往往能得到一些很有价值的结论和规律。例如等比数列的一个常用性质：已知数列na是等比数列（1q），nS是其前n项的和，则232kkkkkSSSSS，，，…，仍成等比数列。其推导过程可有以下两种常见的证明过程：证明一：（1）当q=1时，结论显然成立；（2）当q≠1时，2311123111,,111kkkkkkaqaqaqSSSqqq21121111kkkkaqaqSSqq111kkaqqq3211321111kkkkaqaqSSqq2111kkaqqq22221221(1)kkkkaqqSSq2113211()11kkkkkkaqaqqSSSqq222121(1)kkaqqq∴22kkSS=32()kkkSSS∴232kkkkkSSSSS，，成等比数列.［这一过程也可如下证明］：证明二：2kS－kS=1232()kaaaa－123()kaaaa=1232kkkkaaaa=123()kkqaaaa=kkqS0同理，3kS－2kS=2122233kkkkaaaa=2kkqS0∴232kkkkkSSSSS，，成等比数列。对比以上两种证明过程，我们不难看出，利用好定义在解决某些问题的过程中可以收到很简捷的效果。公式的推导方法三：nSnaaaa321＝)(13211naaaaqa＝11nqSa＝)(1nnaSqaqaaSqnn1)1(∴当1q时，qqaSnn1)1(1或qqaaSnn11当q=1时，1naSn“方程”在代数课程里占有重要的地位，是应用十分广泛的一种数学思想，在数列一章的公式考察中常利用方程思想构造方程（或方程组），在已知量和未知量之间搭起桥梁，来求解基本量，使问题得到解决。这种推导方法正是运用了该思想，使我们的思维不拘泥于书本。.以上三种推导方法，从不同的思维角度切入等比数列前n项和的表达式，着眼点不同，侧重点各异，从而在推导方法的运用上也各有千秋，推导方法一注重补因子后错位相减；推导方法二则侧重于前n项的和式与定义式的联系；而推导方法三则是构造了1nnSS与间的递推关系式，充分利用了1nnSS与和首项及公比之间的关系来得前n项的和公式。希望同学们在学习中认真领悟，仔细体味，以求使思维得到更为灵活广阔的锻炼。