2020高考数学大一轮复习坐标系与参数方程第2课时参数方程课件文选修

第2课时参数方程…2019考纲下载…1．了解参数方程，了解参数的意义．2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．请注意对本部分的考查，主要是参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用，题目难度的设置以中档题型为主，预测2020年高考中，在难度，知识点方面变化不大．课前自助餐参数方程的概念如果曲线C上任意一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数x＝f（t），y＝g（t）.反过来，对于t的每个允许值，由函数式x＝f（t），y＝g（t），所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程x＝f（t），y＝g（t），叫做曲线C的参数方程，变量t是参数．圆锥曲线的参数方程(1)圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为_______________________．(2)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的参数方程为___________________________．(3)双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的参数方程为x＝acosθ，y＝btanθ(θ为参数)．(θ为参数)(θ为参数)(4)抛物线y2＝2px(p0)的参数方程为x＝2pt2，y＝2pt，(t为参数)．直线的参数方程过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋t_____，y＝y0＋t_____，(t为参数)，其中t表示直线上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段M0M→的______．当t0时，M0M→的方向向上；当t0时，M0M→的方向向下；当t＝0时，M与M0重合．cosαsinα数量1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)．(1)参数方程x＝t＋1，y＝2－t，(t≥1)表示的曲线为直线．(2)参数方程x＝cosθ＋m，y＝sinθ－m，当m为参数时表示直线，当θ为参数时表示的曲线为圆．(3)直线x＝－2－tcos30°，y＝1＋tsin150°，(t为参数)的倾斜角α为150°.(4)参数方程x＝2cosθ，y＝5sinθ，(θ为参数且θ∈[0，π2])表示的曲线为椭圆．答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．(课本习题改编)若直线l的参数方程是x＝1＋2t，y＝2－t，(t∈R)，则l的方向向量d可能是()A．(1，2)B．(2，1)C．(－2，1)D．(1，－2)答案C解析求出直线方程x＋2y－5＝0，方向向量(a，b)满足ba＝－12，检验知：(－2，1)满足，故选C.3．若曲线C的参数方程为x＝1＋cos2θ，y＝sin2θ，(θ为参数)，则曲线C上的点的轨迹是()A．直线x＋2y－2＝0B．以(2，0)为端点的射线C．圆(x－1)2＋y2＝1D．以(2，0)和(0，1)为端点的线段答案D解析将曲线的参数方程化为普通方程得x＋2y－2＝0(0≤x≤2，0≤y≤1)．4．椭圆（x－1）23＋（y＋2）25＝1的参数方程是________．答案x＝1＋3cosθ，y＝－2＋5sinθ，(θ为参数)解析设x－13＝cosθ，y＋25＝sinθ，则x＝1＋3cosθ，y＝－2＋5sinθ，(θ为参数)，即为所求的参数方程．5．已知直线x＝x0＋at，y＝y0＋bt，(t为参数)上两点A，B对应的参数值是t1，t2，则|AB|等于()A．|t1＋t2|B．|t1－t2|C.a2＋b2|t1－t2|D.|t1－t2|a2＋b2答案C解析依题意，A(x0＋at1，y0＋bt1)，B(x0＋at2，y0＋bt2)，则|AB|＝[x0＋at1－（x0＋at2）]2＋[y0＋bt1－（y0＋bt2）]2＝a2＋b2·|t1－t2|.6．(2019·河南郑州预测)已知直线l的参数方程为x＝12＋tcosθ，y＝tsinθ，(t为参数，0θπ)，设直线l与曲线C：y2＝2x交于A，B两点，当θ变化时，|AB|的最小值为________．答案2解析将直线l的参数方程代入y2＝2x，得t2sin2θ－2tcosθ－1＝0.设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝2cosθsin2θ，t1·t2＝－1sin2θ，|AB|＝|t1－t2|＝（t1＋t2）2－4t1t2＝4cos2θsin4θ＋4sin2θ＝2sin2θ.当θ＝π2时，|AB|取得最小值，最小值为2.授人以渔题型一参数方程化为普通方程把下列参数方程化为普通方程．(1)x＝t，y＝21－t，(t为参数)；(2)x＝sinθ，y＝cos2θ，(θ为参数，θ∈[0，2π])．【解析】(1)x2＝t，y24＝1－t＝1－x2，x2＋y24＝1，而t≥0，0≤1－t≤1，得0≤y≤2.(2)∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴x2＋y＝1，即y＝1－x2.又∵|sinθ|≤1，∴其普通方程为y＝1－x2(|x|≤1)．【答案】(1)x2＋y24＝1(0≤x≤1，0≤y≤2)(2)y＝1－x2(|x|≤1)★状元笔记★将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的x，y(它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元、整体消元等．思考题1(1)下列参数方程与方程y2＝x表示同一曲线的是()A.x＝t，y＝t2，B.x＝sin2t，y＝sint，C.x＝t，y＝|t|，D.x＝1－cos2t1＋cos2t，y＝tant，【解析】考查四个选项：对于A，消去t后所得方程为x2＝y，不符合y2＝x；对于B，消去t后所得方程为y2＝x，但要求0≤x≤1，也不符合y2＝x；对于C，消去t得方程为y2＝|x|，且要求y≥0，x∈R，也不符合y2＝x；对于D，x＝1－cos2t1＋cos2t＝2sin2t2cos2t＝tan2t＝y2即符合y2＝x.因此D是正确的，故选D.【答案】D(2)将下列参数方程化成普通方程．①x＝t2－1，y＝t2＋1，(t为参数)；②x＝cosθ，y＝sinθ，(θ为参数，θ∈[π2，π])．【解析】①消去参数t，得y＝x＋2，由于t2≥0，∴普通方程为y＝x＋2(x≥－1)，表示一条射线．②消去参数θ，得x2＋y2＝1，由于θ∈[π2，π]，∴x∈[－1，0]，y∈[0，1]，∴普通方程为x2＋y2＝1，(－1≤x≤0，0≤y≤1)，表示圆的四分之一．【答案】①y＝x＋2(x≥－1)②x2＋y2＝1，(－1≤x≤0，0≤y≤1)题型二直线的参数方程及应用(1)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝－2＋35t，y＝2＋45t，(t为参数)，它与曲线C：(y－2)2－x2＝1交于A，B两点．①求|AB|的长；②在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为(22，3π4)，求点P到线段AB中点M的距离．【解析】①将直线l的参数方程x＝－2＋35t，y＝2＋45t，(t为参数)，代入(y－2)2－x2＝1，得725t2＋125t－5＝0.∴t1＋t2＝－607，t1t2＝－1257.∴|AB|＝|t1－t2|＝（t1＋t2）2－4t1t2＝10771.②P点直角坐标为(－2，2)，线段AB中点对应的参数值为t1＋t22，∴点P到线段AB中点M的距离为|t1＋t22|＝307.【答案】①10717②307(2)(2019·益阳湘潭联考)在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为x＝2cosα，y＝sinα，(α为参数)．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ＋π3)＝12.直线l与曲线C交于A，B两点．①求直线l的直角坐标方程；②设点P(1，0)，求|PA|·|PB|的值．【审题】①利用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入化简即可；②由x＝2cosα，y＝sinα，(α为参数)得曲线C的普通方程为x2＋4y2＝4，设出直线l的参数方程为x＝32t＋1，y＝12t，(t为参数)，代入x2＋4y2＝4得7t2＋43t－12＝0，则|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|，由根与系数的关系即可求解．【解析】①由ρcos(θ＋π3)＝12得ρcosθcosπ3－ρsinθsinπ3＝12，又ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，∴直线l的直角坐标方程为x－3y－1＝0.②由x＝2cosα，y＝sinα，(α为参数)得曲线C的普通方程为x2＋4y2＝4，∵P(1，0)在直线l上，故可设直线l的参数方程为x＝32t＋1，y＝12t，(t为参数)，将其代入x2＋4y2＝4得7t2＋43t－12＝0，∴t1·t2＝－127，故|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1·t2|＝127.【答案】①x－3y－1＝0②127★状元笔记★直线的参数方程在交点问题中的应用已知直线l经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α，点M(x，y)为l上任意一点，则直线l的参数方程x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．(1)若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则|M0M1→||M0M2→|＝|t1t2|，|M1M2→|＝|t2－t1|＝（t2＋t1）2－4t1t2.(2)若线段M1M2的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3＝t1＋t22.(3)若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0，y0)，则t1＋t2＝0，t1t20.思考题2(1)(2019·福建八校模拟)已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是x＝1－t，y＝2＋t(t为参数)，又曲线C方程为x2＋y2－4x－4y＝0，设点P的直角坐标为(1，2)，直线l与曲线C的交点为A，B，试求|AB|及|PA|·|PB|的值．【解析】直线l的参数方程可化为x＝1－22t′，y＝2＋22t′，(t′是参数)，把直线l的参数方程代入x2＋y2－4x－4y＝0得，t′2＋2t′－7＝0.设A，B对应的参数分别为t′1＋t′2＝－2，t′1t′2＝－7，点P(1，2)显然在直线l上，故|AB|＝|t′1－t′2|＝（t′1＋t′2）2－4t′1t′2＝30，故|PA|·|PB|＝|t′1t′2|＝7.【答案】307(2)(2019·湖北四校联考)在平面直角坐标系xOy中，直线l过点P(1，0)且倾斜角为π3，在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin(θ＋π6)．①求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程；②若直线l与曲线C的交点分别为M，N，求1|PM|＋1|PN|的值．【思路】①由题意可得直线l的参数方程，利用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ即可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；②将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，由根与系数的关系，结合参数的几何意义即可得结果．【解析】①由题易知，直线l的参数方程为x＝1＋12t，y＝32t，(t为参数)．∵ρ＝4sin(θ＋π6)＝23sinθ＋2cosθ，∴ρ2＝23ρsinθ＋2ρcosθ.∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴x2＋y2＝23y＋2x，∴曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－3)2＝4.②将直线l的参数方程x＝1＋12t，y＝32t，(t为参数)代入曲线C的直角坐标方程(x－1)2＋(y－3)2＝4，得t2－3t－1＝0，∴t1＋t2＝3，t1t2＝－10，∴1|PM|＋1|PN|＝1|t1|＋1|t2|＝|t1|＋|t2||t1t2|＝|t1－t2||t1t2|＝（t1＋t2）2－4t1t2|t1t2|＝9＋41＝13.【答案】①