第42组-关于保险收费问题的数学建模

1对保险公司收取基本保费的研究摘要保险公司作为一个运营的企业，如何获得最大利润是我们迫切解决的问题。而作为主要收入来源的基本保险费与投保人的数量以及医疗费的多少等因素都有密切关系，如何在新法规各种参数变化的情况下收取合适的基本保费是我们研究的重点。为此我们进行了一些合理的假设，并且我们在对一些因素忽略的前提下建立了相应的模型。其中为了便于新投保人数量的计算，我采用了人口的阻滞模型和人口的指数增长模型，然后取这两者的平均值，更好的减少了由于模型缺陷带来的误差。为了解决索赔人数与总投保人数的关系，经过查阅相关资料我们发现可以通过由个人索赔次数的计算帮助我们解决相应问题，在计算每个人索赔的次数中，我们运用了泊松分布这一数学方法。在分析数据的方法上，为了更加清晰的了解各个量之间的关系，我们采用了两个简单的图进行了直观的分析。实施安全带法规后，基于相应数据的改变，我们建立了今后五年里各类总投保人数以及费用之间的函数关系。在保险公司在收支平衡的约束条件下，计算出各年的基本保险费。为了方便数据处理，我们用VB编写程序分别计算出了在医疗费下降20%和40%的条件下今后五年内的应收的基本保险费用，其中在医疗费下降20%的情况下基本保费依次为623,523,453,402,364在医疗费下降40%的情况下基本保费依次为568,446,371,324,293由于假设忽略了一些因素对模型的影响，而在现实的问题中这些因素是会对基本保险费产生影响，因此模型可以在一定情况下对未来的基本保险费进行估算，显然在现实生活中一定意义上还是有参考价值的。关键词：基本保险费人口阻滞模型人口指数增长模型泊松分布参赛队号：422一．问题的提出近年来随着人们生活水平的提高，私家车的数量在不断地上升，发生事故的数量也在增加，实行安全带法规之后，出现事故后死亡的人数占总发生意外人数的比例相应的会减少。保险公司想要吸引更多的人参加保险，就得降低基本保险费，但是又要考虑医疗费的变化和自己公司的收益，尽量使公司达到最好效益。保险公司提供一年期车保业务，客户分0，1，2，3四类，若此年无赔偿要求，则按类别给予相应补助，并在下一年续保中，提升一个类别。否则直降两个类别，直至0类。新客户为0类，若客户中途推出保险，则无论何种情况，均退还保险金适当部分。在实行这一法规后，根据相关资料显示，死亡司机会下降40%，但是医疗费却是一个变化的量，是不容易确定下来的，有人提出医疗费还会下降20%或40%。保险公司的统计报表如下表1本年度发放的保险单数基本保险费：775元类别没有索赔时补贴比例（%）续保人数新投保人数注销人数总投保人数0112807083846201826416653281251764897128240176489824011544610138571154461350876005803241148760058总收入：6182百万元，偿还退回：70百万元，净收入：6112百万元；支出：149百万元，索赔支出：6093百万元，超支：130百万元。表2本年度的索赔款类别索赔人数死亡司机人数平均修理费（元）平均医疗费（元）平均赔偿费（元）058275611652102015263195158246323315122312313886211585722929478232941370087270138058142321总修理费：1981(百万元)，总医疗费：2218（百万元），总死亡倍偿费：1894（百万元），总索赔费：6093(百万元)由此我们可以提出以下问题：问题：在政府安全带政策实施后，投保人数增加，出现事故的数量不会减少，但是在出现事故中受伤的司机和乘员所占的比例减少和在医院医疗费下降20%—40%的情况下，由保险公司在今后五年内的盈亏状况的变化情况，进而确定客户所交的保险费是多少的是合理。3二．问题的分析通过对所给的统计报表可以得到，我们可以得到各类别的保险人数，还有对各类别人的赔偿金额，修理费用，以及保险公司的收支状况。从所给的报表中可以得到保险公司的收入和支出的方式（如下收支图所示），我们还可以根据今年的报表画出被保险人的数量分布图（如下客户图所示）；从本年度赔偿方式，我们将安全带法规实施后可以根据相关的数据的变化关系的到下一年的对被保险人的赔偿方式，以及对被保险人的赔偿金额。因为保险公司每一年的收入的资金来源和支出的资金的去向是一样的，只是数量存在差异，因此我们可以根据今年的资金的收支来确定下一年的收支流向，从而可以对下一年的收支状况进行分析，就可以的到保险公式下一年的盈亏状况。然后根据保险公司的盈亏状况，我们可以对保险公司对顾客的收取保费的金额和对各类顾客的补偿金额进行调整，是保险公司在不亏损的情况下又使顾客保费减少，从而建立一个合理的资金结构，这是我们所希望看到的状况。因此，我们可以建立以下的模型，并通过下列的模型可以分析以后几年的保险公司的收支状况，就得出合理的结果，并对保险公司提出改进的意见。在建立模型的过程中因为不确定的因素很多，对问题的分析很复杂，因此我们需经过对问题进行合理的假设，确定不变的因素，从而可以获得一个比较合理的模型，从而可以的到一个合理的保费的取值范围。总死亡赔偿费总修理费总医疗费总收入总索赔费净收入退还费支出超支保险公司收支图4三．问题假设1.假设人口的增长符合阻滞模型和指数模型2.每个人的索赔次数服从泊松分布3.各类自愿退保人数占该类总投保人数的比例是一定4.每年各类的死亡司机人数占索赔人数的比例较上一年下降40%5.保险公司每年用于运营的支出费用是一定的6.每年赔偿的总修理费是不变的7.五年中保险公司对每个死亡司机的赔偿费是一定的8.五年中保险公司对每个注销人的退换金额是一定的9.五年中货币不发生贬值或增值10.五年中没有极端自然灾害的发生，如：地震，海啸等。四．符号说明符号意义T下年的投保人数N本年度的人数w各种费用金额y基本保险费用j取0,1,2,3，代表0,1,2,3类说明，下标“总”表示总投保人数或总收入，“注”表示注销人数，“索”表示索赔人数保险公司客户图总投保人数索赔人数自动注销人数死亡人数5或索赔费用，“死”表示死亡人数或死亡赔偿费用，“医”表示医疗费用，“偿”表示偿还退回费用，“支”表示支出费用，“修”表示修理费用，“收”表示保险公司收入。五．模型的建立与求解⑴模型的建立由以上的数据和对问题的分析和对一些因素的假设，我们根据所提的问题建立了以下的模型，因为在政府的安全带的政策颁布后，根据对一些因素的假设和对保险公司所提供的数据的分析，我们可以在建立的一个模型，在这个模型中，可以使问题得到解决。因为题目已经给出了每年的事故的数量不会减少，但是在事故中的受伤的司机和乘员会减少的，死亡的司机也会减少40%，而且医疗费的减少有20％和40％两种情况。现在排除一些不确定的因素，假设其他因素的变化趋势不变，并假设在今后的五年内新投保的人数只是在简单的增加，而新投保的人数的增加取决于投保人的热情程度，即人们对买保险的意愿指数，最后我们综合考虑保险费和各个因素之间个关系，从而建立保险费和各个因素之间的函数关系，由此我们就可以计算出以后几年客户应该交的保险费。⑵对问题所建立的模型的分析与验证我们可以根据题目的要求和题目所给的数据，我们可以知道在政府颁布安全带法规前后因为一些因素的变化所引起的客户所交保险费的变化情况。而在保险公司的收入和支出的经费中，有一些量是不变的，在这些费用中有以下的不变量：①保险公司的运营费用②对各部分的修理费用，在模型Ⅰ中死亡司机减少了40%，医疗费用减少20%或40%，发生事故的数量不会减少，但在事故中受伤的司机和乘员的数量一定会减少的，还有伤者在医院的医疗费是不确定的。由于实行新安全带法规后，客户的利益得到了提高，所以会吸引新的客户加入保险，现在我们假设每年的新投保人数是有规律增加的，新投保人数的增加有两种规律人口的阻滞模型人口的指数增长模型在实际中总投保人数中每一个人的索赔次数服从泊松分布。新投保人数的计算查阅相关资料可得，计算新投保人数采用的模型可以有阻滞模型和指数模型。为了使计算值更接近实际值，我们分别用两种模型计算新投保人数，然后再计算它们的平均值。首先采用阻滞模型计算，设新投保的人数为tq，新投保人数的增长率为tr，其中t为时间。可令0,,srsqrtr，r为固有增长率。为了确定系数s的意义，引入投保人数最大值mq。因此，新投保人数增长率)(tr可表示为：mqqrtr1在上式假设下建立阻滞增长模型如下：00,1qqqqrqdtdqm用分离变量法求解，结果为：6rtmmeqqqtq110带入本年度新投保人数并取5.0r，得出416440mq，则可得新投保人数随时间的变化规律为：tetq5.00827.01416440由上式可算出未来五年每年的新投保人数分别为：表3由阻滞模型计算今后五年的新投保人数第一年第二年第三年第四年第五年396549404144408895411831413632再用指数模型计算，设新投保人数rteptp0，因为r的范围为0到1之间，在再结合本案例的实际情况，取1.0r并代入3846200p得：tetp1.0384620由上式可算出未来五年每年的新投保人数分别为：表4由指数模型计算今后五年的新投保人数第一年第二年第三年第四年第五年425070469776519183573786634131结合两表计算其平均值如下：表5用两种模型计算今后五年新投保人数的平均值第一年第二年第三年第四年第五年410806436958464333492808523866下一年各类总投保人数：第0类：新死索死索死索总PNNNNNNT2211000第1类：死索死索注总总3300001NNNNNNT第2类：死索注总总11112NNNNT第3类:死索注总死索注总总333322223NNNNNNNNT7索赔人数的计算查阅相关资料可知，在总投保人数中每一个人的索赔次数服从泊松分布，所以他索赔x次的概率P为：0!ikijkexXP所以，他至少索赔一次的概率为：jeKPKPjj011所以总人数中x个人索赔的概率为：xnxnmnimimnjeeCCmP11所以：jeTj1ln总由此可得到索赔人数与总投保人数之间的关系为：jeTT1总索带入初始数据计算可得到各类索赔人数与总投保人数的关系，如下表：表6索赔人数与总投保人数之间的关系类别函数第0类0.4307)e1(4307.0总索TT第1类0.4005)e1(4005.0总索TT第2类0.1057)e1(1507.0总索TT第3类0.0834)e1(0834.0总索TT④下一年的其它相关数据：各类死亡人数：索死索死jjjNT%60jNT各类注销人数：8死自总注jjjjTkTT偿还退回费用：30njTww注偿偿总所需总医药费：死总索总医医总TTww死亡赔偿费：30njTww死死总总修理费：1981修w总赔偿费：死总修总医总索总公司运营支出费：149支w公司总收入：)(6.0)()(75.0[11113300000死索注总死索死索注总总收总NNNNNNNNNNTyw)](5.033332222死索注总死索注总NNNNNNNN⑤最终达到收支平衡时满足：偿总支索总收总以下是今后五年的各类别的各个模块的人数统计表7第一年的统计人数类别总投保人数死亡人数注销人数索赔人数01654623694613515579029117745401406519016585624211775101401131881181113876912442123216