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2019年中考数学压轴题汇编(代数1)解析版1/112(2019年安徽22题)22.(12分)一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图象的一个交点坐标为(1,2),另一个交点是该二次函数图象的顶点(1)求k,a,c的值;(2)过点A(0,m)(0<m<4)且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图象相交于B,C两点,点O为坐标原点,记W=OA2+BC2,求W关于m的函数解析式,并求W的最小值.【分析】(1)由交点为(1,2),代入y=kx+4,可求得k,由y=ax2+c可知,二次函数的顶点在y轴上,即x=0,则可求得顶点的坐标,从而可求c值,最后可求a的值(2)由(1)得二次函数解析式为y=﹣2x2+4,令y=m,得2x2+m﹣4=0,可求x的值,再利用根与系数的关系式,即可求解.【解答】解:(1)由题意得,k+4=﹣2,解得k=﹣2,又∵二次函数顶点为(0,4),∴c=4把(1,2)带入二次函数表达式得a+c=2,解得a=﹣2(2)由(1)得二次函数解析式为y=﹣2x2+4,令y=m,得2x2+m﹣4=0∴,设B,C两点的坐标分别为(x1,m)(x2,m),则,∴W=OA2+BC2=∴当m=1时,W取得最小值7【点评】此题主要考查二次函数的性质及一次函数与二次函数图象的交点问题,此类问题,通常转化为一元二次方程,再利用根的判别式,根与系数的关系进行解答即可.(2019年北京26题)26.(6分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx﹣与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B在抛物线上.(1)求点B的坐标(用含a的式子表示);(2)求抛物线的对称轴;(3)已知点P(,﹣),Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.2019年中考数学压轴题汇编(代数1)解析版2/112【分析】(1)A(0,﹣)向右平移2个单位长度,得到点B(2,﹣);(2)A与B关于对称轴x=1对称;(3)①a>0时,当x=2时,y=﹣<2,当y=﹣时,x=0或x=2,所以函数与AB无交点;②a<0时,当y=2时,ax2﹣2ax﹣=2,x=或x=当≤2时,a≤﹣;【解答】解:(1)A(0,﹣)点A向右平移2个单位长度,得到点B(2,﹣);(2)A与B关于对称轴x=1对称,∴抛物线对称轴x=1;(3)∵对称轴x=1,∴b﹣2a,∴y=ax2﹣2ax﹣,①a>0时,当x=2时,y=﹣<2,当y=﹣时,x=0或x=2,∴函数与AB无交点;②a<0时,当y=2时,ax2﹣2ax﹣=2,x=或x=当≤2时,a≤﹣;∴当a≤﹣时,抛物线与线段PQ恰有一个公共点;【点评】本题考查二次函数的图象及性质;熟练掌握二次函数图象上点的特征,数形结合讨论交点是解题的关键.(2019年福建25题)25.(14分)已知抛物y=ax2+bx+c(b<0)与x轴只有一个公共点.(1)若抛物线与x轴的公共点坐标为(2,0),求a、c满足的关系式;(2)设A为抛物线上的一定点,直线l:y=kx+1﹣k与抛物线交于点B、C,直线BD垂直于直线y=﹣1,垂足为点D.当k=0时,直线l与抛物线的一个交点在y轴上,且△ABC为等腰直角三角形.①求点A的坐标和抛物线的解析式;②证明:对于每个给定的实数k,都有A、D、C三点共线.2019年中考数学压轴题汇编(代数1)解析版3/112【分析】(1)抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标,即可求解;(2)①y=kx+1﹣k=k(x﹣1)+1过定点(1,1),且当k=0时,直线l变为y=1平行x轴,与轴的交点为(0,1),即可求解;②计算直线AD表达式中的k值、直线AC表达式中的k值,两个k值相等即可求解.【解答】解:(1)抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标,故:y=a(x﹣2)2=ax2﹣4ax+4a,则c=4a;(2)y=kx+1﹣k=k(x﹣1)+1过定点(1,1),且当k=0时,直线l变为y=1平行x轴,与轴的交点为(0,1),又△ABC为等腰直角三角形,∴点A为抛物线的顶点;①c=1,顶点A(1,0),抛物线的解析式:y=x2﹣2x+1,②,x2﹣(2+k)x+k=0,x=(2+k±),xD=xB=(2+k﹣),yD=﹣1;则D,yC=(2+k2+k,C,A(1,0),2019年中考数学压轴题汇编(代数1)解析版4/112∴直线AD表达式中的k值为:kAD==,直线AC表达式中的k值为:kAC=,∴kAD=kAC,点A、C、D三点共线.【点评】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、等腰三角形性质等知识点,本题关键是复杂数据的计算问题,难度不大.(2019年甘肃兰州28题)28.(12分)通过对下面数学模型的研究学习,解决问题.【模型呈现】如图,在Rt△ABC,∠ACB=90°,将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD,过点D作DE⊥AC于点E,可以推理得到△ABC≌△DAE,进而得到AC=DE,BC=AE.我们把这个数学模型成为“K型”.推理过程如下:【模型迁移】二次函数y=ax2+bx+2的图象交x轴于点(﹣1,0),B(4,0)两点,交y轴于点C.动点M从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动,过点M作MN⊥x轴交2019年中考数学压轴题汇编(代数1)解析版5/112直线BC于点N,交抛物线于点D,连接AC,设运动的时间为t秒.(1)求二次函数y=ax2+bx+2的表达式;(2)连接BD,当t=时,求△DNB的面积;(3)在直线MN上存在一点P,当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时,求此时点D的坐标;(4)当t=时,在直线MN上存在一点Q,使得∠AQC+∠OAC=90°,求点Q的坐标.【分析】(1)将点(﹣1,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+2即可;(2)由已知分别求出M(2,0),N(2,1),D(2,3),根据∴△DNB的面积=△DMB的面积﹣△MNB的面积即可求解;(3)由已知可得M(2t﹣1,0),设P(2t﹣1,m),根据勾股定理可得PC2=(2t﹣1)2+(m﹣2)2,PB2=(2t﹣5)2+m2,再由PB=PC,得到m与t的关系式:m=4t﹣5,因为PC⊥PB,则有•=﹣1求出t=1或t=2,即可求D点坐标;(4)当t=时,M(,0),可知点Q在抛物线对称性x=上;过点A作AC的垂线,以M为圆心AB为直径构造圆,圆与x=的交点分别为Q1与Q2,由AB=5,可得圆半径AM=,即可求Q点坐标分别为(,﹣),(,).【解答】解:(1)将点(﹣1,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+2,∴a=﹣,b=,∴y=﹣x2+x+2;(2)C(0,2),∴BC的直线解析式为y=﹣x+2,2019年中考数学压轴题汇编(代数1)解析版6/112当t=时,AM=3,∵AB=5,∴MB=2,∴M(2,0),N(2,1),D(2,3),∴△DNB的面积=△DMB的面积﹣△MNB的面积=MB×DM﹣MB×MN=×2×2=2;(3)∵BM=5﹣2t,∴M(2t﹣1,0),设P(2t﹣1,m),∵PC2=(2t﹣1)2+(m﹣2)2,PB2=(2t﹣5)2+m2,∵PB=PC,∴(2t﹣1)2+(m﹣2)2=(2t﹣5)2+m2,∴m=4t﹣5,∴P(2t﹣1,4t﹣5),∵PC⊥PB,∴•=﹣1∴t=1或t=2,∴M(1,0)或M(3,0),∴D(1,3)或D(3,2);(4)当t=时,M(,0),∴点Q在抛物线对称性x=上,如图:过点A作AC的垂线,以M为圆心AB为直径构造圆,圆与x=的交点分别为Q1与Q2,∵AB=5,∴AM=,∵∠AQ1C+∠OAC=90°,∠OAC+∠MAG=90°,∴∠AQ1C=∠MAG,2019年中考数学压轴题汇编(代数1)解析版7/112又∵∠AQ1C=∠CGA=∠MAG,∴Q1(,﹣),∵Q1与Q2关于x轴对称,∴Q2(,),∴Q点坐标分别为(,﹣),(,);【点评】本题考查二次函数的图象及性质,动点问题;能够熟练掌握二次函数解析式与相应点的求法,熟悉等腰直角三角形的性质,应用勾股定理和直线垂直的性质建立坐标之间的联系,借助圆周角的性质,等腰三角形的性质,互余角的性质将角进行转换是解题的关键.(2019年甘肃陇南28题)28.如图,抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(-3,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,连接AC,BC.点P是第一象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为m.(1)求此抛物线的表达式;(2)过点P作PM⊥x轴,垂足为点M,PM交BC于点Q.试探究点P在运动过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点Q的坐标,若不存在,请说明理由;(3)过点P作PN⊥BC,垂足为点N.请用含m的代数式表示线段PN的长,并求出当m为何值时PN有最大值,最大值是多少?2019年中考数学压轴题汇编(代数1)解析版8/112【答案】解:(1)由二次函数交点式表达式得:y=a(x+3)(x-4)=a(x2-x-12),即:-12a=4,解得:a=-,则抛物线的表达式为y=-x2+x+4;(2)存在,理由:点A、B、C的坐标分别为(-3,0)、(4,0)、(0,4),则AC=5,AB=7,BC=4,∠OAB=∠OBA=45°,将点B、C的坐标代入一次函数表达式:y=kx+b并解得:y=-x+4…①,同理可得直线AC的表达式为:y=x+4,设直线AC的中点为M(-,4),过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为-,同理可得过点M与直线AC垂直直线的表达式为:y=-x+…②,①当AC=AQ时,如图1,则AC=AQ=5,设:QM=MB=n,则AM=7-n,由勾股定理得:(7-n)2+n2=25,解得:n=3或4(舍去4),故点Q(1,3);②当AC=CQ时,如图1,CQ=5,则BQ=BC-CQ=4-5,2019年中考数学压轴题汇编(代数1)解析版9/112则QM=MB=,故点Q(,);③当CQ=AQ时,联立①②并解得:x=(舍去);故点Q的坐标为:Q(1,3)或(,);(3)设点P(m,-m2+m+4),则点Q(m,-m+4),∵OB=OC,∴∠ABC=∠OCB=45°=∠PQN,PN=PQsin∠PQN=(-m2+m+4+m-4)=-m2+m,∵-<0,∴PN有最大值,当m=时,PN的最大值为:.【解析】(1)由二次函数交点式表达式,即可求解;(2)分AC=AQ、AC=CQ、CQ=AQ三种情况,分别求解即可;(3)由PN=PQsin∠PQN=(-m2+m+4+m-4)即可求解.主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系.(2019年甘肃天水26题)26.(13分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3,0)、B(9,0)和C(0,4),CD垂直于y轴,交抛物线于点D,DE垂直于x轴,垂足为E,直线l是该抛物线的对称轴,点F是抛物线的顶点.(1)求出该二次函数的表达式及点D的坐标;(2)若Rt△AOC沿x轴向右平移,使其直角边OC与对称轴l重合,再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合,得到Rt△A1O1F,求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积;(3)若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度(0<t≤6)得到Rt△A2O2C2,Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S,求S与t之间的函数表达式,并写出自变量t的取值范围.2019年中考数学压轴题汇编(代数1)解析版10/112【分析】(1)将点A(﹣3,0)、B(9,0)和C(0,4)代入y=ax2+bx+c即可求出该二次函数表达式,因为CD垂直于y轴,所以令y=4,求出x的值,即可写出点D坐标;(2)设A1F交CD于点G,O1F交CD于点H,求出顶点坐标,证△FGH∽△FA1O1,求出GH的长,因为Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是
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