浅谈导数及应用(毕业论文)

甘肃联合大学学生毕业论文题目：浅谈导数及应用作者：贺耀武指导教师：曹珂数学与信息学院数学系数学教育专业06级三年制2班2008年12月5日主要内容简介:导数概念是数学分析基本概念，是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野,是研究函数性质、证明不等式、求曲线的斜率问题和求函数的极值最值等问题的有力工具。本文就导数及应用，谈一点个人的感悟和体会。首先，就导数的概念入手，依次讲述了导数的几何意义、可导与导函数及可导与连续的关系、求导数的方法、复合函数的导数和导数的运算等方面的内容。并举了大量的例题，其中一些例题方法新颖，可供读者参考。其次，主要讲了导数的应用。导数在函数中应用，包括函数的单调性、极值最值的求法。用导数证明不等式的方法以及求曲线斜率的方法等。在每个应用后都附有相关例题加以说明。来突出导数应用的广泛性。总之，运用导数可以使问题简单化，通过对本文的阅读读者会对导数有更深的了解与认识。浅谈导数及应用摘要：导数概念是数学分析基本概念，是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野,也是研究函数的性质、证明不等式、求曲线的斜率问题和求函数的极值最值等问题的有力工具。本文就导数的应用，谈一点个人的感悟和体会。关键词：导数极限应用函数不等式一、导数的概念及运算1．导数的概念：设函数y=f(x)在0xx处附近有定义，如果Δx→0时，Δy与Δx的比xy（也叫函数的平均变化率）有极限即xy无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数y=f(x)在Δx→0处的导数，记作00000/)()(lim)()(limlim)(0xxxfxfxxfxxfxyxfxxoxox；2．导数的几何意义：函数y=f(x)在0x处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点),(00yx处的切线的斜率，即斜率为)(0xf过点P的切线方程为：))((000xxxfyy.3.导函数、可导：如果函数y=f(x)在开区间),(ba内的每点处都有导数，即对于每一个),(bax，都对应着一个确定的导数)(0xf，从而构成了一个新的函数)(0xf,称这个函数)(0xf为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数。此时称函数y=f(x)在开区间),(ba内可导.4．可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点0x处可导，那么函数y=f(x)在点0x处连续.5.依定义求导数的方法：（1）求函数的改变量)()(xfxxfy（2）求平均变化率xxfxxfxy)()(（3）取极限，得导数/y＝()fxxyx0lim6．几种常见函数的导数：0'C(C为常数)；1)'(nnnxx(Qn)；xxcos)'(sin；xxsin)'(cos；xx1)'(ln；exxaalog1)'(log；xxee)'(；aaaxxln)'(。7．导数的四则运算法则：)()()]()(['''xvxuxvxu；[()()]'()()()'()uxvxuxvxuxvx；[()]'()CuxCux；'2''(0)uuvuvvvv奎屯王新敞新疆8．复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f((x))在点x处也有导数，且xuxuyy'''或'xy=f′(u)′(x).9.求导数的方法:(1)求导公式(2)导数的四则运算法则(3)复合函数的求导公式(4)导数定义10.导数的概念及运算的相关例题例1（1）求曲线122xxy在点（1，1）处的切线方程；（2）运动曲线方程为2221tttS，求t=3时的速度分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在0x处的导数就是曲线y=f(x)在点),(00yxp处的切线的斜率新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数解：（1）222222)1(22)1(22)1(2'xxxxxxy，0422|'1xy，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0因此曲线122xxy在（1，1）处的切线方程为y=1（2）)'2('1'22tttStttttttt4214)1(232422726111227291|'3tS注：切线是导数的“几何形象”,是函数单调性的“几何”解释,要熟练掌握求切线方程的方法.例2若f（x）在R上可导，（1）求f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数的关系；（2）证明：若f（x）为偶函数，则)(xf为奇函数.分析:（1）需求f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数；（2）求)(xf，然后判断其奇偶性.（1）解:设f（－x）=g（x）,则)(ag=0limxxagxag)()(=0limxxafxaf)()(=－0limxxafxaf)()(=－)(af∴f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数互为相反数.（2）证明:)(xf=0limxxxfxxf)()(=0limxxxfxxf)()(=－0limxxxfxxf)()(=－)(xf∴)(xf为奇函数.注:用导数的定义求导数时，要注意Δy中自变量的变化量应与Δx一致.例3已知函数23)(xxxf，数列)0(,nnxx的第一项11x，以后各项按照如下方式取定：曲线y＝()fx在11(,())nnxfx处的切线与经过（0，0）和))(,(nnxfx两点的直线平行（如图）。求证：当n*N时：（I）221132nnnnxxxx；（II）1211()()22nnnx证明：（I）∵'2()32,fxxx∴曲线()yfx在11(,())nnxfx处的切线斜率121132.nnnkxx∵过(0,0)和(,())nnxfx两点的直线斜率是2,nnxx∴221132nnnnxxxx.（II）∵函数2()hxxx当0x时单调递增，而221132nnnnxxxx21142nnxx211(2)2nnxx，∴12nnxx，即11,2nnxx因此1121211().2nnnnnnxxxxxxx又∵12212(),nnnnxxxx令2,nnnyxx则11.2nnyy∵21112,yxx∴12111()().22nnnyy因此221(),2nnnnxxx故1211()().22nnnx例4.已知一个函数dcxbxxxf23)(的图像过点P（0，2），并且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为076yx．（Ⅰ）求函数)(xfy的解析式；（Ⅱ）求函数)(xfy的单调区间．解：（Ⅰ）由)(xfy的图像经过P（0，2），知d=2，所以2)(23cxbxxxf,cbxxxf23)(2.由在))1(,1(fM处的切线方程是.076yx，知6)1(,1)1(,07)1(6fff即.3.0,3211,623cbcbcbcbcb解得即故所求的解析式是233)(23xxxxf.（Ⅱ）0363363)(22xxxxxf令,2210.xx即解得.21,2121xx当;0)(,21,21xfxx时或当.0)(,2121xfx时故233)(23xxxxf在)21,(内是增函数，在)21,21(内是减函数，在),21(内是增函数．例5证明过抛物线y=a（x－x1）·（x－x2）（a≠0，x1x2）上两点A（x1，0）、B（x2，0）的切线，与x轴所成的锐角相等.解：)(221xxaaxy，)(211xxayxx，即)(21xxakA，)(122xxayxx，即)(12xxakB.设两条切线与x轴所成的锐角为、β，则)(tan21xxakA，)(tan12xxakB，故tan=tanβ.又、β是锐角，则=β.二、导数的应用1.以导数概念为载体处理函数图像问题函数图像直观地反映了两个变量之间的变化规律，由于受作图的局限性，这种规律的揭示有时往往不尽人意.导数概念的建立拓展了应用图像解题的空间。例1设函数222xxy的图像为C1，函数baxxy2的图像为C2，已知在C1与C2的一个交点的切线互相垂直.（1）求a，b之间的关系；（2）若a＞0，b＞0，求ab的最大值.分析由导数的几何意义以及两切线的位置关系即可求出a，b的关系，求ab的最大值可借助不等式求解.解析（1）对于C1：222xxy，有22xy，对于C2：baxxy2有axy2，设C1与C2的一个交点为（00,yx），由题意知过交点（00,yx）的两条切线互相垂直，∴122200axx即012224020axax①又点（00,yx）在C1与C2上，故有02222202002000200bxaxbaxxyxxy②由①②消去0x可得25ba，（2）由于a＞0，b＞0且25ba，所以ab≤162522ba，当且仅当45ba时，取等号，即ab的最大值为1625.本题以函数图像为背景考查导数的几何意义和语言转化能力，而应用导数的几何意义是解决这类问题的关键，即某一点的导数值，即为该点的切线斜率.2．以导数知识为工具研究函数单调性对函数单调性的研究，导数作为强有力的工具提供了简单、程序化的方法,具有普遍的可操作方法。利用导数可以研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数)(xf，通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内)(xf的符号，来确定函数)(xf在该区间上的单调性．当给定函数含有字母参数时，分类讨论难于避免，不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同，应注意分类讨论的准确性．例2讨论下列函数的单调性：1．xxaaxf)(（0a且1a）；2．)253(log)(2xxxfa（0a且1a）；解：1．函数定义域为R．).(ln)(lnln)(xxxxaaaxaaaaxf当1a时，.0)(,0,0lnxfaaaxx∴函数)(xf在),(上是增函数．当10a时，.0)(,0,0lnxfaaaxx∴函数)(xf在),(上是减函数．2．函数的定义域是31x或.2x)2)(13(log)56()253(253log)(22xxexxxxxexfaa若1a，则当31x时，0)2)(13(,056,0logxxxea，∴0)(xf，∴函数)(xf在，31上是增函数；当2x时，0)(xf，∴函数)(xf在2,上是减函数若10a，则当31x时，0)(xf，∴函数)(xf在，31上是减函数；当2x时，0)(xf，∴函数)(xf在2,上是增函数3．证明不等式彰显导数方法运用的灵活性把要证明的一元不等式通过构造函数转化为)0(0)(xf再通过求)(xf的最值，实