病毒扩散与传播的控制模型

1病毒扩散与传播的控制模型摘要本文基于传统的传染病模型，以微分方程的方法作为理论基础，结合采取的措施不同的情况，用MATLAB软件拟合出患者人数与时间的曲线关系，从中得出应采取的相应的应对措施。在考虑地区总人数不变，人群被分为五类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，再将这几类分为可传染性和不可传染性两种。我们找出单位时间内正常人数的变化、单位时间内潜伏期病人数的变化、单位时间内确诊患者人数的变化、单位时间内退出的人数的变化、单位时间内疑似患者人数的变化等关系建立微分方程模型，得到病毒扩散与传播的控制模型。在此基础上，我们将所要求的问题带入模型得到患者人数随时间变化的曲线图，根据这图形得出模型结果的变化。这样一来就可根据这结果的变化得出相应的应对措施。此外对该传染病的潜伏期及治愈期进行了灵敏度分析，发现潜伏期的变化会对整个模型的结果产生较大影响，而治愈期的变化只会使传染病的持续时间缩短，但对累积的患病人数影响不大。应尽量避免患者与正常人接触，减少正常人患病的可能性；加大隔离措施强度；减少拖延患者去住院的时间，让患者及时住院治疗。养成良好的卫生习惯，保证科学睡眠，适当锻炼，减少压力，保证营养，增强个人抵抗力，降低被病毒感染的危险。关键词：曲线关系微分方程模型病毒扩散与传播一、问题重述已知某种不完全确知的具有传染性病毒的潜伏期为12~dd天，病患者的治愈时间为3d天。该病毒可通过直接接触、口腔飞沫进行传播、扩散，该人群的人均每天接触人数为r。为了控制病毒的扩散与传播将该人群分为五类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，可控制参数是隔离措施强度p（潜伏期内的患者被隔离的百分数）。要求：1、在合理的假设下试建立该病毒扩散与传播的控制模型；2、利用你所建立的模型针对如下数据进行模拟条件1：1231,11,30,10dddr；条件2：已经知道的初始发病人数为890、疑似患者为2000；条件3：隔离措施强度60%p；条件4：患者2天后入院治疗，疑似患者2天后被隔离,试给出患者人数随时间变化的曲线图，并明确标识图中的一些特殊点的具体数据，分析结果的合理性。3、若将2中的条件4改为条件：患者1.5天后入院治疗，疑似患者1.5天后被隔离,模拟结果有何变化？4、若仅将2中的条件3改为条件：隔离措施强度40%p，模拟结果有何变化？25、若仅将2中的条件1改为条件：1231,11,30,250dddr，模拟结果有何变化？6、分析问题中的参数对计算结果的敏感性。7、针对如上数据给政府部门写一个不超过400字的建议报告。二、问题分析在考虑地区总人数不变，人群被分为五类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，我们可知，治愈者、死亡和正常人不可能传染病毒，我们把问题转化为如何找出正确的关系表达式来表达出每天病人增加的总数的问题，找出单位时间内正常人数的变化、单位时间内潜伏期病人数的变化、单位时间内确诊患者人数的变化、单位时间内退出的人数的变化、单位时间内疑似患者人数的变化等关系建立微分方程模型，得到病毒扩散与传播的控制模型。在问题一的已求出得到病毒扩散与传播的控制模型的基础上，我们将后几问所要求的问题带入模型就可得到患者人数随时间变化的曲线图，我们可以根据这些图得出模型结果的变化。这样一来就可根据这些模型结果的变化得出相应的应对措施。三、模型假设1、将病毒所有传播途径都视为与病原的接触；2、在疾病传播期间内所考察地区的总人数N视为常数，即认为本地区流入的人数与流出的人数相等，时间以天为计时单位；3、该病毒处于潜伏期的病毒不具有传染性；4、治愈者二度感染的概率为0，他们以退出传染体系，因此将他们归为“退出者”；5、不考虑这段时间内人口出生率和自然死亡率，而对于由病毒引起的死亡人数，也将其归为“退出者”；6、被隔离的人群完全断绝与外界的接触，不再具有传染性；7、不考虑被隔离而实际又未被感染者，因为这部分人没有自由活动，对疾病的传播（感染和被感染）基本不造成任何影响；8、将人群分为以下四类：正常人：易感染者确诊患者：传染者退出者：“治愈者”和“死亡者”统称；疑似患者：被隔离但还没有确诊或者排除的人员；四、符号约定I：确诊病人；E：潜伏期病人（感染了但处于潜伏期没有传染性的人)；A：类似病人（症状类似感染但其实没有感染的人)；R：退出者（痊愈和死亡的确诊病人)；1S：普通易感者；31：病人的传染系数；2：潜伏期病人的传染系数（假设潜伏期病人也有传染性，但2小于1）；12~dd：传染性病毒的潜伏期；3d：病患者的治愈时间；r：该人群的人均每天接触人数；p：可控制参数是隔离措施强度（潜伏期内的患者被隔离的百分数）；五、模型的建立与求解5．1模型一5.1.1模型准备根据人口守恒原理,可建立如下模型：模型将疫区的总人口数看成不变(不考虑流动人口),将疫区所有的人(假设人口的自然出生率和死亡率在疫期相等)分为:I：确诊病人E：潜伏期病人（感染了但处于潜伏期没有传染性的人)A：类似病人（症状类似感染但其实没有感染的人)R：退出者（痊愈和死亡的确诊病人)1S：普通易感者5.1.1.1单位时间内正常人数的变化：1dSdt新的感染病毒的人数潜伏期病人的传染系数（未隔离的感染的疑似患者人数出院的疑似患者人数）111213111dSItSAtAtSdtd……………⑴5.1.1.2单位时间内潜伏期病人数的变化：dEdt未隔离的确诊患者的人数（正常人数+未隔离的感染的疑似患者人数出院的疑似患者人数）-潜伏期病人感染了病毒转化为确诊患者人数113121211dEItSAtAtEdtddd…………⑵5.1.1.3单位时间内确诊患者人数的变化：dIdt潜伏期病人感染了病毒转化为确诊患者人数-确诊患者治愈后转化为正常人数和死亡的确诊病人412321dIEIdtddd………………………⑶5.1.1.4单位时间内退出的人数的变化：dRdt确诊患者治愈后转化为正常人数和死亡的确诊病人31dRIdtd……………………………………⑷5.1.1.5单位时间内疑似患者人数的变化：dAdt新增加的疑似患者的人数未隔离的确诊患者（未隔离的感染的疑似患者人数出院的疑似患者人数）2113311111dAAtAtSItAtAtdtdd……⑸其中0I，10S，0R，0A，0E为初值(1)、传染病毒的平均潜伏期为122dd，即单位时间内潜伏期病人以比例常数1220dd，转为感染者；(2)、确诊病人平均死亡或痊愈的疗程为3d,即单位时间感染者的恢复率为310d；(3)、疑似患者平均疗程为3d，即单位时间内疑似患者的恢复率为310d；(4)、单位时间内每个易感者与病人的接触率参数为0r；(5)、易感者与疑似患者的接触率参数20；(6)、考虑疑似患者感染病菌转为潜伏期病人,但潜伏期病人不会转为疑似患者；(7)、p为隔离措施强度；(8)、31Atpd为痊愈的被解除隔离的疑似患者；(9)、I、E和A均为被隔离对象；(10)、EAp为疑似患者；初值的设定:（这些数据是一个根据人口总数和医学常识的估计值。）501I，101.1S千万,不考虑流动人口;00R；00E；0100A；参数的设定:12215dd，设传染病平均潜伏期为5;31120d，设确诊病人平均死亡或痊愈的疗程为20;31120d，设疑似病人平均疗程为20;1121.010，疑似病人与易感者的接触率参数也假设固定。5.1.2模型的建立11121311312123321133111121121111111dSItSAtAtSdtddEItSAtAtEdtddddIEIdtddddRIdtddAAtAtSItAtAtdtdd01I，101.1S千万,不考虑流动人口，00R，00E，0100A。5.2模型二5.2.1模型建立当123001,11,30,10,890,2000,60%dddrIAp，患者两天后入院治疗、6疑似患者两天后被隔离时。这样可以得到患者人数随时间变化的曲线图：（如下）5.2.2结果分析从图中我们可以看出患者人数随时间变化先是急剧升高，这说明这是病毒传播初期的发展趋势，然后可以看到最高点(第12.37天)时患者人数达到最大值6803000人，通过采取患者入院治疗和疑似患者的隔离措施，我们从图中可以明显看出患者的人数呈下降趋势，并且在100天后患者人数降低到540800人。5.3模型三5.3.1模型建立当123001,11,30,10,890,2000,60%dddrIAp，患者1.5天后入院治疗、疑似患者1.5天后被隔离时。这样可以得到患者人数随时间变化的曲线图：（如下）75.3.2结果分析从图中我们可以看出在最高点(第12.39天)时患者人数达到最大值6776000人，通过采取患者入院治疗和疑似患者的隔离措施，我们从图中可以明显看出患者的人数呈下降趋势，并且在100天后患者人数降低到516500人。与问题二相比较我们可以知道提前入院治疗可以减少患者的人数，同时也可以更好的控制病毒的传播，更好的预防正常人患病。5.4模型四5.4.1模型建立当123001,11,30,10,890,2000,40%dddrIAp，患者两天后入院治疗、疑似患者两天后被隔离时。这样可以得到患者人数随时间变化的曲线图：（如下）5.4.2结果分析从图中我们可以看到最高点(第12.12天)时患者人数达到最大值6802000人，通过采取患者入院治疗和疑似患者的隔离措施，我们从图中可以明显看出患者的人数呈下降趋势，并且在100天后患者人数降低到540800人。与问题二相比较我们可以知道降低隔离措施会增加患者的人数，同时会对控制病毒的传播带来负面影响，会导致更多的正常人患病。所以我们建议医院加大病毒的控制强度。5.5模型五5.5.1模型建立当123001,11,30,250,890,2000,60%dddrIAp，患者两天后入院治疗、疑似患者两天后被隔离时。这样可以得到患者人数随时间变化的曲线图：（如下）85.5.2结果分析从图中我们可以看到最高点(第12.48天)时患者人数达到最大值6803000人，通过采取患者入院治疗和疑似患者的隔离措施，我们从图中可以明显看出患者的人数呈下降趋势，并且在100天后患者人数降低到540800人。与问题二相比较我们可以知道确诊患者的人均接触人数增大时，患病高峰期会延迟，同时会对控制病毒的传播带来负面影响，会导致更多的正常人患病。所以我们建议这些确诊患者减少与外界正常人的接触，这样减少正常人患病的可能性。5.6模型五5.6.1模型建立通过建立的模型，我们对问题二、三、四、五进行了定量的计算，问题二、三、四、五是改变模型中的一些参数的值，得到不同参数下的结果，并分析了参数的改变对患者数量最大值，达到这个最大值的时间以及疫情得到控制的时间的变化，通过对这些数据结果的分析，可以得到某一参数的改变对病毒传播过程的影响，通过数据前后的对比，可以分析参数对计算结果的敏感性，针对这个问题，通过以上几问的求解，可以得到以下表格（表1）：表1各个参数对应的数值问题最大值时间患病人数最大值隔离措施强度P患者入院前天数n人均每天接触人数R第二问12.37468030000.6210第三问12.3967760000.61.510第四问12.1268020000.4210第五问12.4868030000.62250（1）、对患者m天后入院治疗的灵敏度分析9通过问题