锐角三角函数培优-题型分类(答案版)

第1页（共18页）锐角三角函数培优-题型分类【考点】待定系数法求一次函数解析式；锐角三角函数的定义．菁优网版权所有1．（2009•牡丹江二模）直线y=kx﹣4与y轴相交所成锐角的正切值为，则k的值为（）A．B．2C．±2D．【分析】首先确定直线y=kx﹣4与y轴和x轴的交点，然后利用直线y=kx﹣4与y轴相交所成锐角的正切值为这一条件求出k的值．【解答】解：由直线的解析式可知直线与y轴的交点为（0，﹣4），即直线y=kx﹣4与y轴相交所成锐角的邻边为|﹣4|=4，与x轴的交点为y=0时，x=，∵直线y=kx﹣4与y轴相交所成锐角的正切值为，即||=4×，k=±2．故选C．【考点】锐角三角函数的定义；三角形中位线定理．2．（1998•台州）如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD=AB，连接CD，若cot∠BCD=3，则tanA=（）A．B．1C．D．【分析】若想利用cot∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ABC的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比．【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．∵AB=BD，∴E是CD中点，∴AC=2BE，∵AC⊥BC，第2页（共18页）∴BE⊥BC，∠CBE=90°．∴BE∥AC．又∵cot∠BCD=3，设BE=x，则BC=3x，AC=2x，∴tanA===，故选A．【考点3】锐角三角函数的定义．3．将一副直角三角板中的两块按如图摆放，连接AC，则tan∠DAC的值为（）A．B．C．D．【分析】欲求∠DAC的正切值，需将此角构造到一个直角三角形中．过C作CE⊥AD于E，设CD=BD=1，然后分别表示出AD、CE、DE的值，进而可在Rt△ACE中，求得∠DAC的正切值．【解答】解：如图，过C作CE⊥AD于E．∵∠BDC=90°，∠DBC=∠DCB=45°，∴BD=DC，设CD=BD=1，在Rt△ABD中，∠BAD=30°，则AD=2．在Rt△EDC中，∠CDE=∠BAD=30°，CD=1，则CE=，DE=．∴tan∠DAC===．第3页（共18页）故选C．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有4．（2007•连云港）如图是一山谷的横断面示意图，宽AA′为15m，用曲尺（两直尺相交成直角）从山谷两侧测量出OA=1m，OB=3m，O′A′=0.5m，O′B′=3m（点A，O，O′A′在同一条水平线上），则该山谷的深h为30m．【分析】过谷底构造相应的直角三角形，利用坡比定义表示山谷宽求解．【解答】解：设A、A′到谷底的水平距离为AC=m，A′C=n．∴m+n=15．根据题意知，OB∥CD∥O′B′．∵OA=1，OB=3，O′A′=0.5，O′B′=3．∴==3，==6．∴（+）×h=15．解得h=30（m）．第4页（共18页）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有5．（2007•娄底）去年夏季山洪暴发，几所学校被山体滑坡推倒教学楼，为防止滑坡，经过地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可以确保山体不滑坡．某小学紧挨一座山坡，如图所示，已知AF∥BC，斜坡AB长30米，坡角∠ABC=60°．改造后斜坡BE与地面成45°角，求AE至少是多少米？（精确到0.1米）【分析】连接BE，过E作EN⊥BC于N，则四边形AEND是矩形，有NE=AD，AE=DN，在Rt△ADB和Rt△BEN中都已知一边和一个锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AD和BD、AE的长．【解答】解：在Rt△ADB中，AB=30米∠ABC=60°AD=AB•sin∠ABC=30×sin60°=15≈25.98≈26.0（米），DB=AB•cos∠ABC=30×cos60°=15米．连接BE，过E作EN⊥BC于N∵AE∥BC∴四边形AEND是矩形NE=AD≈26米在Rt△ENB中，由已知∠EBN≤45°，当∠EBN=45°时，BN=EN=26.0米∴AE=DN=BN﹣BD=26.0﹣15=11米答：AE至少是11.0米．第5页（共18页）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有6．（2010•新密市自主招生）某厂家新开发的一种摩托车如图所示，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为8°和10°，大灯A离地面距离1m．（1）该车大灯照亮地面的宽度BC约是多少（不考虑其它因素）？（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，从发现危险到摩托车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离，某人以60km/h的速度驾驶该车，从60km/h到摩托车停止的刹车距离是m，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求，请说明理由．（参考数据：，，，）【分析】（1）本题可通过构造直角三角形来解答，过A作AD⊥MN于D，就有了∠ABN、∠ACN的度数，又已知了AE的长，可在直角三角形ABE、ACE中分别求出BE、CE的长，BC就能求出了．（2）本题可先计算出最小安全距离是多少，然后于大灯的照明范围进行比较，然后得出是否合格的结论．【解答】解：（1）过A作AD⊥MN于点D，在Rt△ACD中，tan∠ACD==，CD=5.6（m），在Rt△ABD中，tan∠ABD==，BD=7（m），∴BC=7﹣5.6=1.4（m）．答：该车大灯照亮地面的宽度BC是1.4m；第6页（共18页）（2）该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求．理由如下：∵以60km/h的速度驾驶，∴速度还可以化为：m/s，最小安全距离为：×0.2+=8（m），大灯能照到的最远距离是BD=7m，∴该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有7．（2010•赤峰）关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ②tan（α+β）=③利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：tan105°=tan（45°+60°）====﹣（2+）．根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°，底端C点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．【分析】先由俯角β的正切值及BC求得AB，再由俯角α的正切值及BC求得A、D两点垂直距离．CD的长由二者相减即可求得．第7页（共18页）【解答】解：由于α=60°，β=75°，BC=42，则AB=BC•tanβ=42tan75°=42•=42•=42（），A、D垂直距离为BC•tanα=42，∴CD=AB﹣42=84（米）．答：建筑物CD的高为84米．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有8．（2010•巴中）巴中市某中学数学兴趣小组在开展“保护环境，爱护树木”的活动中，利用课外时间测量一棵古树的高，由于树的周围有水池，同学们在低于树基3.3米的一平坝内（如图），测得树顶A的仰角∠ACB=60°，沿直线BC后退6米到点D，又测得树顶A的仰角∠ADB=45°，若测角仪DE高1.3米，求这棵树的高AM．（结果保留两位小数，≈1.732）【分析】可在Rt△ABD和Rt△ABC中，利用已知角的三角函数，用AB表示出BD、BC，根据CD=BD﹣BC=6即可求出AB的长；已知HM、DE的长，易求得BM的值，由AM=AB﹣BM即可求出树的高度．【解答】解：设AB=x米．Rt△ABD中，∠ADB=45°，BD=AB=x米．Rt△ACB中，∠ACB=60°，BC=AB÷tan60°=x米．CD=BD﹣BC=（1﹣）x=6，解得x=9+3，即AB=（9+3）米．第8页（共18页）∵BM=HM﹣DE=3.3﹣1.3=2，∴AM=AB﹣BM=7+3≈12.20（米）．答：这棵树高12.20米．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有9．（2015•甘南州）如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．【专题】计算题；压轴题．【分析】在图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．【解答】解：由已知，得∠ECA=30°，∠FCB=60°，CD=90，EF∥AB，CD⊥AB于点D．∴∠A=∠ECA=30°，∠B=∠FCB=60°．在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=，∴AD==90×=90．在Rt△BCD中，∠CDB=90°，tanB=，∴DB==30．∴AB=AD+BD=90+30=120．答：建筑物A、B间的距离为120米．第9页（共18页）【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．10．（2007•徐州）如图，一艘船以每小时30海里的速度向东北方向航行，在A处观测灯塔S在船的北偏东75°的方向，航行12分钟后到达B处，这时灯塔S恰好在船的正东方向．已知距离此灯塔8海里以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿东北方向航行吗？为什么？（参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】问这艘船能否可以继续沿东北方向航行，只要证明D与S的距离要大于8海里，可以做与正北方向平行的直线，与SB的延长线相交于点C．则△ABC，△ACS都是直角三角形，可以运用勾股定理来计算．【解答】解：作与正北方向平行的直线，与SB的延长线相交于点C，过点S作SD⊥AB于D．∵AB=30×=6（海里），∵∠CAB=45°，∠ACB=90°，∴AC=BC=AB•sin45°=6×=3（海里），∵∠CAS=75°，∠ACS=90°，∴SC=AC•tan75°=3×（2+）=6+3（海里），∴BS=3+3（海里），∵∠DBS=∠ABC=45°，∴SD=BS•sin45°=（3+3）×=3+3≈8.2＞8，∴这艘船可以继续沿东北方向航行．第10页（共18页）【考点】平行四边形的性质；三角形的面积；解直角三角形．菁优网版权所有11．（2010•兰州）已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10，BD=8．（1）若AC⊥BD，试求四边形ABCD的面积；（2）若AC与BD的夹角∠AOD=60°，求四边形ABCD的面积；（3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，且∠AOD=θ，AC=a，BD=b，试求四边形ABCD的面积（用含θ，a，b的代数式表示）．【分析】（1）因为AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积等于对角线乘积的一半；（2）过点A分别作AE⊥BD，CF⊥BD，根据平行四边形对角线互相平分和正弦定理求出△AOD的面积，那么四边形ABCD的面积=4△AOD的面积；（3）作辅助线AE⊥BD，CF⊥BD，利用正弦定理求出△BCD、△ABD的高，那么四边形ABCD的面积=△BCD的面积+△ABD的面积．【解答】解：（1）∵AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积=AC•BD=40．（2）分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO=CO=AC=5，BO=DO=BD=4．第11页（共18页）在Rt△AOE中，sin∠AOE=，∴AE=AO•sin∠AOE=AO×sin60°=5×=．∴S△AOD=OD•AE=×4××5=5．∴四边形ABCD的面积S=4S△AOD=20．（3）如图所示，过点A，C分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．在Rt△AOE中，sin∠AOE=，∴AE=AO•sin∠AOE=AO•sinθ．同理可得CF=CO•sin∠COF=CO×sinθ．∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△CBD=BD•AE+BD•CF=BDsinθ（AO+CO）=BD•ACsinθ=absinθ．第12页（共18页）平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形．12．（2006•潍坊）已知平行四边形ABCD，AD=a，AB=b，∠ABC=α．点F为线段