极坐标和参数方程基础知识及重点题型

高中数学回归课本校本教材24（一）基础知识参数极坐标1.极坐标定义：M是平面上一点，表示OM的长度，是MOx，则有序实数实数对(,),叫极径，叫极角；一般地，[0,2)，0。2.常见的曲线的极坐标方程（1）直线过点M00(,),倾斜角为常见的等量关系：正弦定理sinsinOPOMOMPOPM，0OMPOPM；（2）圆心P00(,)半径为R的极坐标方程的等量关系：勾股定理或余弦定理；（3）圆锥曲线极坐标：1cosepe，当1e时，方程表示双曲线；当1e时，方程表示抛物线；当01e时，方程表示椭圆.提醒：极点是焦点，一般不是直角坐标下的坐标原点。极坐标方程324cos表示的曲线是双曲线3.参数方程：（1）圆222()()xaxbr的参数方程：cos,sinxarxbr（2）椭圆22221xyab的参数方程：cos,sinxaxb（3）直线过点M00(,)xy,倾斜角为的参数方程：00tanyyxx即00cossinxxyyt，即00cossinxxtyyt注：0cosxxt，0sinyyt据锐角三角函数定义，T几何意义是有向线段MP的数量00000()00.tlMMxyMMMMMMtMMt其中表示直线上以定点为起点，任意一点，为终点的有向线段的数量，当点在的上方时，；当点在的下方时，；如：将参数方程222sin(sinxy为参数)化为普通方程为2(23)yxx将2siny代入22sinx即可，但是20sin1；4.极坐标和直角坐标互化公式：cossinxy或222tan(0)xyyxx，θ的象限由点(x,y)所在象限确定.（1）它们互化的条件则是：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合.（2）将点(,)变成直角坐标(cos,sin)，也可以根据几何意义和三角函数的定义获得。5.极坐标的几个注意点：（1）极坐标和直角坐标转化的必要条件是具有共同的坐标原点(极点)如：已知圆C的参数方程为32cos2sinxy（为参数），若P是圆C与y轴正半轴的交点，以圆心C为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点P的圆C的切线的极坐标方程。5cos()26如：已知抛物线24yx，以焦点F为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求抛物线的极坐标方程。即21cos。（2）对极坐标中的极径和参数方程中的参数的几何意义认识不足222420()21xptypxptyptytxt抛物线的参数方程为：为参数．由于，因此参数的几何意义是抛物线上的点与抛物线的顶点连线的斜率的倒数．如：已知椭圆的长轴长为6，焦距1242FF,过椭圆左焦点F1作一直线，交椭圆于两点M、N，设21(0)FFM,当α为何值时，MN与椭圆短轴长相等？566或（3）直角坐标和极坐标一般不要混合使用：如：已知某曲线的极坐标方程为222sin()204。（1）将上述曲线方程化为普通方程；（2）若点(,)Pxy是该曲线上任意点，求xy的取值范围。[222,222]（二）基本计算1.求点的极坐标：有序实数实数对(,),叫极径，叫极角；如：点M的直角坐标是(1,3)，则点M的极坐标为2(2,)3提示：2(2,2),3kkZ都是点M的极坐标.2.求曲线轨迹的方程步骤：（1）建立坐标系；（2）在曲线上取一点P(,)；（3）写出等式；（4）根据,几何意义用,表示上述等式，并化简（注意：,xy）；（5）验证。如：长为2a的线段，其端点在Ox轴和Oy轴正方向上滑动，从原点作这条线段的垂线，垂足为M，求点M的轨迹的极坐标方程（Ox轴为极轴），再化为直角坐标方程.解：设点M的极坐标为(,)，则OBMAOM，且||2sinOAa，||cos2sincossin2OAaa，∴点M的轨迹的极坐标方程为sin2(0)2a.由sin2a可得322sincosa，∴3222()2xyaxy其直角坐标方程为3222()2(0,0)xyaxyxy.3.求轨迹方程的常用方法：⑴直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成(,)0Fxy,是求轨迹最基本的方法.⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回方程⑶代入法(相关点法或转移法).如：从极点作圆2cosa的弦,求各弦中点的轨迹方程.解:设所求曲线上的动点M的极坐标为(,),圆2cosa上的动点的极坐标为11(,)由题设可知,112,将其代入圆的方程得:cos()22a.⑷定义法：如果能够确定动点轨迹满足某已知曲线定义,则可由曲线定义直接写出方程.⑸交轨法(参数法)：当动点(,)Pxy坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x、y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.4.参数和极径的几何意义的运用：表示OM的长度；T几何意义是有向线段MP的数量；如：已知过点(9,3)P的直线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于AB两点，则AB最小值为83提示：设9cos3sinxtyt倾斜角为，则12ABtt或AB=12||||tt，1293,cossintt，则93()cossinl，229sin3cos()cossinl33229sin3coscossin令()0l，3331tan9(3)所以，1tan,1503，min93()(150)83cos150sin150ll注意：本题可以取倾斜角的补角为如过抛物线28yx的焦点F作倾斜角为4的直线，交抛物线于,AB两点，求线段AB的长度.解：对此抛物线有1,4ep，所以抛物线的极坐标方程为41cos，,AB两点的极坐标分别为4和54，||4(1cos4)4(22)FA，||4(1cos54)4(22)FB，∴||||||16ABFAFB.∴线段AB的长度为16.5.参数方程的应用----求最值：如：已知点(,)Pxy是圆222xyy上的动点，（1）求2xy的取值范围；（2）若0xya恒成立，求实数a的取值范围。[51,51].（2）cossin10xyaa[21,).如：在椭圆2211612xy上找一点，使这一点到直线2120xy的距离的最小值.解：设椭圆的参数方程为4cos23sinxy，4cos43sin125d4545cos3sin32cos()3553当cos()13，即53时，min455d，此时所求点为(2,3).C.选修4–4参数方程与极坐标已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合。若曲线C1的方程为28sin15，曲线C2的方程为22cos,(2sinxy为参数）。（1）将C1的方程化为直角坐标方程；（2）若C2上的点Q对应的参数为3=4，P为C1上的动点，求PQ的最小值。提示：（1）228150xyy．（2）当34时，得(2,1)Q，点Q到1C的圆心的距离为13，所以PQ的最小值为131．在极坐标系中，求经过三点O(0，0)，A(2，2)，B(22，4)的圆的极坐标方程．解：设(,)P是所求圆上的任意一点，则cos()4OPOB，故所求的圆的极坐标方程为22cos()4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合.若直线l的极坐标方程为23)4sin(.（1）把直线l的极坐标方程化为直角坐标系方程；（2）已知P为椭圆1916:22yxC上一点（已知曲线C的参数方程为4cos3sinxy，为参数，）求P到直线l的距离的最大值.解：（1）直线l的极坐标方程sin324，则22sincos3222，即sincos6，所以直线l的直角坐标方程为60xy；（2）P为椭圆221169xyC:上一点，设(4cos3sin)P,，其中[02),，则P到直线l的距离|4cos3sin6||5cos()6|22d，其中4cos5所以当cos()1时，d的最大值为1122(图)xBAOP在极坐标系中，圆C的方程为22sin()4，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为,12xtyt（t为参数），判断直线l和圆C的位置关系．解：消去参数t，得直线l的直角坐标方程为21yx；22(sin)4即2(sincos)，两边同乘以得22(sincos)，得⊙C的直角坐标方程为：22(1)(1)2xx,圆心C到直线l的距离22|211|252521d，所以直线l和⊙C相交．已知曲线C的极坐标方程是2sin，直线l的参数方程是32,545xtyt（t为参数）．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线l与x轴的交点是M,N是曲线C上一动点,求MN的最大值.解：（1）曲线C的极坐标方程可化为22sin又222,cos,sinxyxy,所以曲线C的直角坐标方程为2220xyy（2）将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得4(2)3yx令0y,得2x,即M点的坐标为(2,0).又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为(1,0)，半径1r，则5MC所以51MNMCr≤(20)sin()03.4121AlmmmPlQOPOPOQQ在极坐标系中，已知点，到直线：的距离为求实数的值；设是直线上的动点，在线段上，且满足，求点的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．000000  1(20)|22|20.13221121sin()2.(,),(,).4.xAmlxymAldmlPQm：以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系，则点的直角坐标为，，直线的直角坐标方解程为因为到直线的距离，由得直线的方程为设所，则析以①123123124sin()4234cos(2)4224(0)212(4)2,0(0)242()t(a2010)nOxCCCCCCMNCCABOABMN如图，在极坐标系中，已知曲线：:；:或；:．求由曲线，，围成的区域的面积；设，，，射线，与曲线，分别交于，不同于极点两点．若线段的中点恰好落在直线上变，浙江卷求式训练的值．0220001()sin()221131()().()881642.sin()2441si4n(44)2PlrQxyQ因为点，在直线上，所以②将①代入②，得，即．这就是点的轨迹方化为直角坐标方程为因此点的轨迹是以，为圆心，为程．半径的圆．222221111222.22(2)44221142464.422()2sin2cos2OSPABSSSABGONG弓形阴影