实用统计软件R编程求解大数定律与中心极限定理问题及模拟

作者：成长锦实用统计软件——R语言第五章：大数定律和中心极限定理伯努利大数定律设n是n重伯努利试验中事件A出现的次数，每次试验中P(A)=p,则对任意的0，有lim𝑛→+∞𝑃|𝜇𝑛𝑛−𝑝|𝜀=1大数定律一般形式：若随机变量序列{Xn}满足：则称{Xn}服从大数定律.lim𝑛→+∞𝑃|1𝑛𝑋𝑖𝑛𝑖=1−1𝑛𝐸(𝑋𝑖𝑛𝑖=1|𝜀=1若随机变量序列{Xn}独立同分布，且Xn的数学期望存在。则{Xn}服从大数定律.辛钦大数定律常用大数定律：林德贝格—勒维中心极限定理设{Xn}为独立同分布随机变量序列，数学期望为,方差为20，则当n充分大时，有lim𝑛→∞𝑃𝑋𝑖𝑛𝑖=1−𝑛𝜇𝜎𝑛≤𝑦=𝛷(𝑦棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理设n为服从二项分布b(n,p)的随机变量，则当n充分大时，有lim𝑛→∞𝑃𝜇𝑛−𝑛𝑝𝑛𝑝𝑞≤𝑦=𝛷(𝑦■例1(p213)根据以往的经验，某种电器元件寿命服从均值为100(h)的指数分布，现在随机地取16只，设它们的寿命是独立的，求16只元件寿命和大于1920(h)的概率。方法一：中心极限定理的运用22116,,..;100;100;XXiid161161000,110016iiXN161611(1920)1(1920)1920161001()100161(0.8)iiiipXpX方法二：抽样模拟改进程序：矩阵思想■例1(p213)根据以往的经验，某种电器元件寿命服从均值为100(h)的指数分布，现在随机地取16只，设它们的寿命是独立的，求16只元件寿命和大于1920(h)的概率。方法三：应用与伽马分布指数分布关系()(1,)()*()()(,)nExpGammaExpExpExpGamman1611~(16,)100iiXGammaR语言求解与输出：■进一步，指数分布中心极限定理模拟验证R语言求解与输出：■例2(p215)一加法器同时收到20个噪声电压𝑉k（k=1,2…20),设他们是相互独立的随机变量，且都在区间0，20上服从均匀分布，记𝐕=𝐕𝐤𝟐𝟎𝐤=𝟏,求p(V105)方法二：抽样模拟改进程序：矩阵或向量思想𝑉1,…,𝑉20    𝑖  .  𝑖  .𝑑;𝜇=5;𝜎2=10012;𝑉−20×520×10012∼𝑁0,1(105)1(105)1052051()10020121(0.39)()(1,)pVpVExpGamma方法一：中心极限定理的运用■进一步，均匀分布中心极限定理模拟验证R语言求解与输出：■例4(p218)某单位有200台电话分机，每台有5%的时间需要使用外形电话，假定每台分机是否使用外形独立，问该单位要安装多少条外线，才能以90%以上的概率保证分机用外线时不等待。由棣莫弗-拉普拉斯定理有：~(200,0.05);10;(1)3.08100,1;~(0,1)3.08(1)1010()()3.083.0810()0.93.08XBnpnppXnpXNNnppXNPXNpNR语言求解与输出：编程方法一：一般循环思想while循环或repeat循环or编程方法二改进：向量思想：which函数+mapply函数方法一：中心极限定理的运用方法二：抽样模拟■例7(p2225)一食品店有三种蛋糕出售，由于哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是随机变量，可以取1，1.2，1.5（元），各个值的概率分别为0.3，0.2，0.5.若售出300只蛋糕。（1）求收入至少400元概率。（2）求售出价格为1.2的蛋糕多于60只的概率R语言求解与输出：编程方法改进：矩阵或向量思想223001()1.29;var()()()0.0489;()387;3.83387~0,13.83(400)1(400)4003871()3.83iiiiiiiXiEXxpXEXEXXXEXXNpXpXR语言求解与输出：问题一：方法一：中心极限定理的运用方法二：公式求解方法二：抽样模拟■例7(p225)一食品店有三种蛋糕出售，由于哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是随机变量，可以取1，1.2，1.5（元），各个值的概率分别为0.3，0.2，0.5.若售出300只蛋糕。（1）求收入至少400元概率。（2）求售出价格为1.2的蛋糕多于60只的概率R语言求解与输出：问题二：~(300,0.2)3000.2603000.2(60)()3000.2(10.23000.2(10.21(0)0.5YBYpYp由棣莫弗-拉普拉斯大数定律有：方法一：中心极限定理的运用R语言求解与输出：■R语言编程模拟大数定律(伯努利大数定律为例，频率收敛到概率）R语言求解与输出：■R语言编程模拟大数定律(伯努利大数定律为例，频率收敛到概率）进行改进，上页ppt的模拟大数定律方法虽然能直观展示效果，但其实没有真正意义的模拟出来：因为计算不同n的均值时，不同n的抽样完全不同的，没有保留上一次抽样的结果继续再抽样，没有达到实际意义上的模拟实验的效果程序改进：使用set。seed■R语言编程模拟大数定律(辛钦大数律，服从N(5,64)的正态分布随机数均值𝑥收敛到总体均值u为例）其中使用set.seed（）函数，可以使每次循环产生的前继的随机数一致，只是后面的不同，进而可以更加真实方便的模拟大数定律。这个知识点在随机数的产生一章ppt里有具体介绍。