线性系统理论LQR

线性系统理论2008-2009学年黄景涛Email:[e-mail]:10-825线性二次型最优控制——LQ优化型综合问题性能指标：以给定的性能指标函数极大或极小作为系统综合的目标线性二次型最优控制有限时间情形无限时间情形线性二次型最优控制——LQLQ(LinearQuadratic)问题LQ问题的提法：000()(),(),(),[,]fffxAtxBtuxtxxtxttt011(())[()()()()()()]22ftTTTfftJuxSxxtQtxtutRtutdt0,()()0,()()0TTTSSQtQtRtRt*1()pu*()(())(())minuJuJu性能指标其中，寻找使得线性二次型最优控制——LQ性能指标函数的属性：数学上，是控制量u的泛函；物理上，能量=运动能量+控制能量加权阵的选取：S、R、Q根据经验选取;不同的加权阵性能指标虽都能达到最优,但对应的最优调节系统动态性能不同.容许控制的特点：满足状态方程解存在唯一性条件的所有类型的控制通常认为最优控制和最优轨线最优控制最优轨线最优性能1()pu线性二次型最优控制——LQ极值化的类型基于性能指标函数的广义能量物理意义，采用最小化形式实际工程中，根据需要，可采用最大化或最小化最优控制问题的数学实质性能指标泛函的约束最优化(极值问题)数学上多采用变分法最优控制问题按末时刻的分类有限时间LQR：只考虑系统在过渡过程中的最优运行无限时间LQR：还要考虑系统趋于平衡状态时的渐近行为；更实用调节问题和跟踪问题最优调节问题:寻找使性能指标泛函最优的控制量u,使系统由初始状态驱动到零平衡态最优跟踪问题:寻找使性能指标泛函最优的控制量u,使系统输出跟踪参考输入.最优跟踪是最优调节的推广,可转化为等价的调节问题.有限时间LQ问题的最优解000()(),(),(),[,]fffxAtxBtuxtxxtxttt011(())[()()()()()()]22ftTTTfftJuxSxxtQtxtutRtutdt0,()()0,()()0TTTSSQtQtRtRt[有限时间时变LQ问题最优解]对有限时变LQ调节问题，设末时刻为固定，组成对应矩阵Riccati微分方程：10()()()()()()()()()()()(),[,]TTffPtPtAtAtPtQtPtBtRtBtPtPtSttt解阵P(t)为正半定对称阵。则为最优控制的充分必要条件是具有形式：****1()()(),()()()()TutKtxtKtRtBtPt****00()()()()(),()xtAtxtBtutxtx**00001(())(),02TJJuxPtxx最优轨线最优性能值有限时间时变LQ问题的基本属性最优控制的唯一性最优控制必存在且唯一,即最优控制的状态反馈属性最优控制具有状态反馈形式最优调节系统的状态空间描述*1*()()()()()TutRtBtPtxt****1()()(),()()()()TutKtxtKtRtBtPt****001*()()()()(),()[()()()()()]()TxtAtxtBtutxtxAtBtRtBtPtxt线性二次型最优控制——无限时间情形附加限定条件：1.受控系统为线性时不变系统；2.调节问题平衡状态为和最优控制系统前提为渐近稳定所决定，与末状态无关；3.受控系统完全能控，加权阵R对称正定，Q正定对称或Q半正定对称且完全能观测。00,(0),[,]xAxBuxxtt0(())()TTJuxQxuRudt120,00,,TTTRRQQQQAQ或“完全能观测”线性二次型最优控制——无限时间情形矩阵Riccati方程解的特性10()()()()()0,[,],TTfffPtPtAAPtQPtBRBPPttttt()(,0,);(,0,)()0ffffPtPttPttPt解阵P(t)的基本属性0001(0,0,)(0,)lim(,0,)(,0,)0fTfftTTxPtxmxPttPtPPAAPQPBRBP120,00,,TTTRRQQQQAQ或“完全能观测”Riccati方程有唯一对称正定解阵P线性二次型最优控制——无限时间情形[无限时间LQ问题最优解]对无限时间时不变LQ调节问题，组成对应矩阵Riccati微分方程：10TTPAAPQPBRBP解阵P(t)为正定对称阵。则为最优控制的充分必要条件是具有形式：****1()(),TutKxtKRBP****0(),(0)xtAxBuxx**000(()),0TJJuxPxx最优轨线最优性能值最优控制的状态反馈属性：最优控制的状态空间描述：****1()(),TutKxtKRBP*1**0()(),(0),0TxtABRBPxxxt*()ut稳定性和指数稳定性最优条件系统的渐近稳定性无限时间时不变LQ条件问题，其最优调节系统必为大范围渐近稳定最优调节系统的指数稳定性00,(0),[,]xAxBuxxtt20(())()lim()0,0tTTttJuexQxuRudtxte120,00,,TTTRRQQQQAQ或“完全能观测”稳定性和指数稳定性[最优条件系统指数稳定性]对指定指数衰减度的无限时间时不变LQ调节问题，组成相应的Riccati代数方程：1()()0TTPAIAIPQPBRBP解阵P(t)为正定对称阵。取最优控制为：****1()(),TutKxtKRBP最优调节系统为*1**0()(),(0),0TxtABRBPxxxt则最优调节系统以为衰减上限指数稳定，即lim()0,0ttxte最优调节系统的频率域条件多输入最优调节系统的频率域条件*1**0()(),(0),0TxtABRBPxxxt[最优调节系统频率域条件]对多输入无限时间时不变LQ调节问题，最优调节系统1/2*11/21/2*11/2[()][()]TIRKjIABRIRKjIABRI其中，等号只对有限个成立。单输入最优调节系统的频率域条件[最优调节系统频率域条件]对单输入无限时间时不变LQ调节问题，最优调节系统满足如下频率域条件：满足如下频率域条件：*11()1kjIAB其中，等号只对有限个成立。最优调节系统的频率域条件最优调节系统频率域条件的几何解释对单输入无限时间时不变LQ调节问题，最优调节系统的频率域条件在几何上表示为，开环频率响应在复平面上由变化到的曲线必不进入单位圆内，且曲线和单位圆只有有限个切点。*10()()gjkjIAb0(1,0)j0()gj最优调节系统的鲁棒性鲁棒性是控制系统正常运行的必备条件指系统参数产生摄动时，闭环调节系统仍能保持渐近稳定或综合性能的一种属性稳定性鲁棒性的指标有相角裕度与增益裕度、对非线性的容限等。相角裕度与增益裕度相角裕度假设一个闭环系统是稳定的，如果加在系统的相角滞后量小于角，系统仍是稳定的，而当大于角时就变为不稳定了。即相位裕度是使系统达到不稳定的边缘所需要的额外的相位滞后量。-11jMNO0001/()1/,()=180==,()1.aabgjONgjOMgj增益裕度相角裕度与负实轴夹角相角裕度与增益裕度[相角裕度和增益裕度]对单输入无限时间时不变LQ调节问题，最优调节系统具有：至少相角裕度增益裕度601(,)2对多输入无限时间时不变LQ调节问题，取相对于控制输入的加权阵：则最优调节系统的每个反馈控制回路具有以上相角和增益裕度。1{,},0,1,2,,.piRdiagip最优调节系统对非线性的容限状态反馈矩阵产生非线性摄动的最优调节系统，可等价视为最优调节系统中引入附加非线性环节BAux++-+*K()**1(),TxAxBKxKRBP最优调节系统对非线性的容限[对非线性的容限]对多输入无限时间时不变LQ调节问题，给定反馈通道中包含非线性环节的最优调节系统，则对满足扇形条件的任意，扰动最优调节系统可保持大范围渐近稳定。()1212(),012TTTkRRkRkk()扇形条件的几何解释对单输入无限时间时不变LQ调节问题，进入于最优调节系统反馈通道中的向量非线性摄动化为标量非线性摄动，且也为标量，相应地，非线性容限的扇形条件化为：其几何表征如下图所示：()()12121(),2kkkk()最优跟踪问题最优跟踪问题是最优调节问题的推广00,(0),[,]xAxBuxxttyCx0(())[()())TTJuyyQyyuRudt0,(0)zFzzzyHz设系统(A,B,C)完全能控、能观测，系统(F,H)完全能观测；系统(A,B,C)的输出y跟踪系统(F,H)的输出，引入二次型指标：最优跟踪问题就是对受控系统和参考输入模型，有上述性能指标，寻找一个控制使输出y跟踪参考输入同时，有：1*(())min(())puJuJu*()uy最优跟踪问题等价条件问题及其最优解0,,00xABxABzF,TTTTCQCCQHQRRHQCHQH00,(0),0(())()TTxAxBuxxtJuxQxuRudt最优跟踪问题[最优等价调节问题最优解]对无限时间时不变LQ调节问题，组成对应矩阵Riccati微分方程：10TTPAAPQPBRBP解阵为正定对称阵。则为最优控制的充分必要条件是具有形式：****1()(),TutKxtKRBP**000(()),0TJJuxPxx最优轨线最优性能值最优控制的状态反馈属性：最优控制的状态空间描述：****1()(),TutKxtKRBP*1**0()(),(0),0TxtABRBPxxxt*()ut*1**0()(),(0),0TxtABRBPxxxt最优跟踪问题[跟踪问题最优解]对由连续时间线性时不变受控系统和二次型指标组成的跟踪问题，将等价最优调节问题的矩阵Riccati代数方程解阵作分块化表示：121222TPPPPP1222,,RiccatinnnmmmPPP分别为下列方程的解阵11121212122221212000TTTTTTTTTTPAAPCQCPBRBPPFAPCQHPBRBPPFAPHQHPBRBP****1*1121212(),,TTutKxKzKRBPKRBP*00022001202TTTJxPxzPzxPz最优跟踪控制最优性能指标小结本章主要内容:按期望的性能指标设计状态反馈控制器控制系统的实现:物理构成和实际运行中的问题系统综合理论:对相应的性能指标,建立状态反馈可综合条件系统综合方法:确定状态反馈的可行算法极点配置(镇定)动态解耦和静态解耦扰动抑制和渐近跟踪线性二次型最优控制系统物理实现和运行中的理论问题:状态重构、扰动抑制、鲁棒性观测器具有观测器的状态反馈系统