基与维数的几种求法

线性空间基和维数的求法方法一根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V中，如果有n个向量n,,1满足:(1)n,2,1线性无关。(2)V中任一向量总可以由n,,21,线性表示。那么称V为n维（有限维）线性空间，n为V的维数，记为dimvn，并称n,,2,1为线性空间V的一组基。如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V为无限维的。例1设0VXAX，A为数域P上mn矩阵，X为数域P上n维向量，求V的维数和一组基。解设矩阵A的秩为r，则齐次线性方程组0AX的任一基础解系都是V的基，且V的维数为nr。例2数域P上全体形如0aab的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基。解易证0100,1001为线性空间0,aVabpab｜的一组线性无关的向量组，且对V中任一元素0aab有00100+1001aabab按定义0100,1001为V的一组基，V的维数为2。方法二在已知线性空间的维数为n时，任意n个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。例3假定nRx是一切次数小于n的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：211,1,1,,1nxxx构成nRx的基。证明考察1121110nnkkxkx由1nx的系数为0得0nk，并代入上式可得2nx的系数10nk依此类推便有110nnkkk，故11,1,,1nxx线性无关又nRx的维数为n,于是11,1,,1nxx为nRx的基。方法三利用定理：数域p上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。例4设0110A，证明：由实数域上的矩阵A的全体实系数多项式fA组成的空间0110VfAA｜与复数域C作为实数域R上的线性空间'VabiR｜a,b同构，并非求它们的维数。证明V中任一多项式可记为=,,fAaEbAabR，建立'V到V的如下映射11111111:,abifAaEbAabR易证是'V到V上的单射，满射即一一映射。再设222,abi22,,abRKR，则有121212121212aabbiaaEbbA111111kkakbikaEkaAkx故是'V到V的同构映射，所以V到'V同构另外，易证'V的一个基为1，i，故'dim2V'VVdim2V方法四利用以下结论确定空间的基：设12,,,n与12,,,n是n维线性空间V中两组向量，已知12,,,n可由12,,,n线性表出：11112121nnaaa21212222nnaaa1122nnnnnnaaa令111212122212nnnnnnaaaAaaaaaa如果12,,,n为V的一组基，那么当且仅当A可逆时，12,,,n也是V的一组基。例5已知231,,,xxx是4px的一组基，证明231,1,1,1xxx也是4px的一组基。证明因为23111000xxx23111100xxxx223111210xxxx323111331xxxx且11110123000120001A所以231,1,1,1xxx也为4px的一组基。方法五如果空间V中一向量组与V中一组基等价，则此向量组一定为此空间的一组基。例6设2Rx表示次数不超过2的一切实系数一元多项式添上零多项式所构成的线性空间的一组基，证明22,,1xxxxx为这空间的一组基。证明2212310kxxkxxkx则121233000kkkkkk解得3210kkk于是22,,1xxxxx线性无关，它们皆可由2,,1xx线性表示，因此22,,1xxxxx与2,,1xx等价，从而2Rx中任意多项式皆可由22,,1xxxxx线性表示，故22,,1xxxxx为2Rx的基。方法六利用下面两个定理：定理一：对矩阵施行行初等变换和列变换，不改变矩阵列向量间的线性关系。定理二：任何一个mn矩阵A，总可以通过行初等变换和列变换它为标准阶梯矩阵：00rIB，其中rI表示r阶单位矩阵。依据这两个定理，我们可以很方便地求出12VV的一个基，从而确定了维数。例7设112212,,,VLVL是数域F上四维线性空间的子空间，且12121,2,1,0,1,1,1,1;2,1,0,1,1,1,3,7.求12VV的一个基与维数。解若12rVV，则存在1212,,,xxyyF，使11221122rxxyy……（1）即有112211220xxyy……（2）若1212,,,线性无关，（2）仅当2120xxyy时成立那么12VV是零子空间，因而没有基，此时维数为0，12VV是直和若存在不全为零的数1212,,,xxyy使（2）成立，则12VV有可能是非零子空间若为非零子空间，由（1）便可得到基向量r。以1212,,,为列向量作矩阵A，经行初等变换将A化为标准阶梯形矩阵A。11211001211101041103001301170000AA行初等变换2121431212435,2,3,4r是12VV的一个基12dim1VV同时知，12,是1V的一个基，1dim2V12,是2V的一个基，2dim2V1212,,,是12VV的一个基，12dim=3VVA秩方法七在线性空间V中任取一向量，将其表成线性空间V一线性无关向量组的线性组合的形式，必要的话需说明向量组是线性无关的。这一线性无关向量组就是我们要找的基。例8求112()VL，与212()VL，的交的基和维数。设12(1,2,1,0)(11,1,1)，，12(21,0,1)(11,3,7)，，解任取12VV，则11122Vxx，，且21122Vyy，，1122112xxyy（注：此时α虽然已表成一线性组合的形式，但它仅仅是在1V、2V中的表示，并非本题所求，即要在空间21VV中将α线性表出）11221120xxyy，求1212,,,xxyy121212121222122020300xxyyxxyyxxyxyy　　　　７解得1212(,,,)(,4,3,)xxyykkkk1212(4)(3)(5,2,3,4)kkk故12VV是一维的，基是(5,2,3,4)易知(5,2,3,4)是非零向量，是线性无关的。方法八按维数公式求子空间的交与和的维数和基维数公式：如果1,2VV是有限维线性空间V的两个子空间，那么121212dimdimdimdimVVVVVV例9已知123,1,2,1,0,1,0,2121,0,1,3,2,3,1,6求由向量12,生成的4p的子空间112,VL与向量1,2生成的子空间212,VL的交与和空间的维数的一组基。解因为121212,,,VVL，对以1212,,,为列的矩阵施行行初等变换：30120000110311032011001112360003AB秩A秩3B，所以12VV的维数是3且1212,,,为极大线性无关组，故它们是12VV的一组基。又由12,线性无关知1V的维数为2，同理2V的维数也为2，由维数公式知12VV的维数为2231。从矩阵B易知12122,故123,3,2,3是12,VV公有的非零向量，所以它是交空间12VV的一组基。方法九由替换定理确定交空间的维数。替换定理：设向量组12,,,r线性无关，并且12,,,r可由向量组12,,,s线性表出，那么1rs2必要时可适当对12,,,s中的向量重新编号，使得用12,,,r替换12,,,r后所得到的向量组121,,,,,,rrs与向量组12,,,s等价。特别，当rs时，向量组12,,,s与向量组12,,,s等价。例10已知向量组12342,0,1,3,0,3,1,0,1,2,0,2,2,6,3,3,设它们是向量组1,23,的线性组合，又设向量组12,,,mrrr与向量组123,,等价，试求12,,,mrrr生成的空间的交空间的基和维数。解201304110701031003100310120212021202263306200000显然1234,,,线性相关，123,,线性无关由替换定理知123,,与123,,等价，进而知12,,,mrrr与123,,等价于是12,,,mLrrr维数为3，基为123124,,;,,L维数为2，基为12,,因此，12412,,,,,mLLrrr故124,,L与12,,,mLrrr的交空间的基为12,,维数为2