气垫导轨上弹簧振子振动的研究

气垫导轨上弹簧振子振动的研究力学实验最困难的问题就是摩擦力对测量的影响。气垫导轨就是为消除摩擦而设计的力学实验的装置，它使物体在气垫上运动，避免物体与导轨表面的直接接触，从而消除运动物体与导轨表的摩擦，也就是说，物体受到的摩擦阻力几乎可以忽略。利用气垫导轨可以进行许多力学实验，如测速度、加速度，验证牛顿第二定律、动量守恒定律，研究简谐振动、阻尼振动等，本实验采用气垫导轨研究弹簧振子的振动。一、必做部分：简谐振动[实验目的]1．测量弹簧振子的振动周期T。2．求弹簧的倔强系数k和有效质量0m。[仪器仪器]气垫导轨、滑块、附加砝码、弹簧、光电门、数字毫秒计。[实验原理]在水平的气垫导轨上，两个相同的弹簧中间系一滑块，滑块做往返振动，如图13-1所示。如果不考虑滑块运动的阻力，那么，滑块的振动可以看成是简谐振动。设质量为m1的滑块处于平衡位置，每个弹簧的伸长量为x0，当m1距平衡点x时，m1只受弹性力)(01xxk与)(01xxk的作用，其中k1是弹簧的倔强系数。根据牛顿第二定律，其运动方程为xmxxkxxk)()(0101（1）令12kk方程（1）的解为)sin(00tAx（2）说明滑块是做简谐振动。式中：A—振幅；0—初相位。mk0（3）0叫做振动系统的固有频率。而01mmm（4）式中：m—振动系统的有效质量；m0—弹簧的有效质量；m1—滑块和砝码的质量。0由振动系统本身的性质所决定。振动周期T与0有下列关系：kmmkmT010222（5）在实验中，我们改变m1，测出相应的T，考虑T与m的关系，从而求出k和0m。图13-1简谐运动原理图[实验内容]1．按气垫导轨和计时器的使用方法和要求，将仪器调整到正常工作状态。2．测量图13-1所示的弹簧振子的振动周期T，重复测量6次，与T相应的振动系统的有效质量是01mmm，其中m1就是滑块本身（未加砝码块）的质量，m0为弹簧的有效质量。3．在滑块上对称地加两块砝码，再按步骤2测量相应的周期T，这时系统的有效质量02mmm，其中m2应是滑块本身质量加上两块砝码的质量和。4．再用03mmm和04mmm测量相应的周期T。式中：13mm“4块砝码的质量”；14mm“6块砝码的质量”。（注意记录每次所加砝码的号数，以便称出各自的质量。）5．测量完毕，先取下滑块、弹簧等，再关闭气源，切断电源，整理好仪器。6．在天平上称衡两弹簧的实际质量与其有效质量进行比较。7．求出弹簧的倔强系数k和有效质量0m，以及弹簧的有效质量与实际质量之比。[数据处理]1．用逐差法处理数据。由下列公式：)(4)(4)(4)(404224032230222201221mmkTmmkTmmkTmmkT（6）2224242242222421231321322123)(4)(4)(4)(4TTmmkmmkTTTTmmkmmkTT（7）故)(21kkk（8）如果由（7）式得到kk和的数值是一样的（即两者之差不超过测量误差的范围），说明（5）式中T与m的关系是成立的。将平均值k代入（6）式，得iioimTkm224（i=1,……，4）（9）41041ioimm（10）平均值0m就是弹簧的有效质量。2．用作图法处理数据以2iT为纵坐标，mi为横坐标，作iimT2图，得直线。其斜率为k24，截距为024mk，由此可求出k和m0。[思考题]仔细观察，可以发现滑块的振幅是不断减小的，那么为什么还可以认为滑块是做简谐振动？实验中应如何尽量保证滑块做简谐振动？二、选做部分：阻尼振动[实验目的]1．观测弹簧振子在有阻尼情况下的振动，测定表征阻尼振动特性的一些参量，如对数减缩、驰豫时间、品质因数Q的方法；2．利用动态法测定滑块和导轨之间粘性阻尼常量b。[实验仪器]气垫导轨，滑块，弹簧，光电门，数字毫秒计，附加物。[实验原理]一个自由振动系统由于外界和内部的原因，使其振动的能量逐渐减少，振幅因之逐渐衰减，最后停止振动，这就是阻尼振动。在单摆和天平的实验中我们观察到阻尼振动，实际上不仅在力学实验中，也不限于机械运动，例如，电流指针的运动，LRC振荡电路中的电流、电压变化等也是阻尼振动。本实验的阻尼谐振子由气垫导轨上的滑块和一对弹簧组成，如图13-2。此时滑块除受弹簧恢复力作用外，还受到滑块与导轨之间的粘性阻力的作用。在滑块速度较小时，粘性阻力F阻和滑块的速度成正比，即dtdxbbvF阻（11）图13-2阻尼振动原理图式中b为粘性阻尼常量。气垫导轨上由滑块和一对弹簧组成的振动系统，在弹性力kx和阻尼力F阻作用下，滑块的运动方程为dtdxbkxdtxdm22（12）式中m为滑块质量。令mkmb20,2，其中常数称为阻尼因数，0为振动系统的固有频率，则式（12）可改写为022022xdtdxdtxd（13）当阻力较小时，此方程的解为)cos(0teAxft（14）其中220f，而阻尼振动周期T为22022fT（15）由以上可知，阻尼振动的主要特点是：1．阻尼振动的振幅随时间按指数规律衰减，如图13-3，即teAA0。显然，振幅衰减的快慢和阻尼因数的大小有关，而mb2，因而和粘性阻尼常量b及振子质量m有关。2．阻尼振动周期T要比无阻尼振动周期)2(0T略长，阻尼越大，周期越长。为直观地反映阻尼振动的衰减特性，常用对数减缩、弛豫时间及品质因数Q来表示。在弱阻尼情况下，它们清楚地反映了振动系统的振幅及能量衰减的快慢，而且提供了粘性阻尼常量b的动态测量方法。（1）对数减缩是指任一时刻t的振幅A（t）和过一个周期后的振幅A（t+T）之比的对数，即TeAeATtt)(00ln（16）将mb2代入上式，得Tmb2（17）即测出，就能求得或b。（2）弛豫时间它是振幅A0衰减至初值e-1(=0.368)倍所经历的时间，即图13-3100eAeAr所以T1（18）（3）品质因数Q一个振动系统的品质因素又称Q值，是一个应用极为广泛的概念，它在交流电系统及无线电电子学中是一个很常见的术语。品质因数是指振动系统的总能量E与在一个周期中所损耗的能量E之比的2倍，用Q表示，则EEQ2（2-19）阻尼振动中，能量的损耗是由于克服阻尼力作功而造成的，其作功的功率等于阻尼力的大小bv乘以运动速率v，即等于bv2。在振动时，bv2是一个变量，可用一个周期中的平均值作为这一周期中的平均效果。这样，一个周期中的能量损耗E等于一个周期中克服阻尼力作的功，所以TbvE平均)(2而对于振动系统而言，一个周期中的平均动能等于平均势能，且均等于总能量的一半，即Ekxmv21)21()21(22平均平均mEv平均)(2因而TmEbE（20）综合式（20）、（17）、（19），得出Q（21）从以上的讨论可知，只要测出阻尼振动的对数减缩，就能求出反映阻尼振动特性的其它量，如、Qb、。[实验内容]1．利用半衰期法求。测定滑块、弹簧组成的阻尼谐振子的对数减缩，弛豫时间及品质因数Q。半衰期是指阻尼振动的振幅从初值A0减到A0/2时所经历的时间，记为Th，则hTeAA002由此可得2lnhT参照式（16）可得，hTT2ln（22）用停表测出阻尼谐振子的振幅从A0减小到A0/2的时间Th及周期T，计算对数减缩，进而求出和Q值以及阻尼常量b值。2．考查振子质量及弹簧的劲度系数k对阻尼振动各常数的影响。在滑块上附加质量、改换不同劲度系数的弹簧再测Qb、及值，从对比中分析其影响。[思考题]1．阻尼振动周期比无阻尼（或阻尼很小时）振动周期长，你能否利用此实验装置设法加以证明？2．讨论在振动系统的m和k相同的情况下，阻尼的大小对对数减缩及品质因数Q的影响。3．现有直径不同而质量相同的有机玻璃圆板，可安装在滑块上，圆板面和振动方向垂直，滑块在振动时在有机玻璃板的后面将产生空气的旋涡，这时有压差阻力作用在圆板上。研究加上圆板后，振动系统粘性阻尼常量b将如何变化？b值和圆板面积大小有何关系？