合肥工业大学2015级研究生《数值分析》试卷(A)参考答案

1合肥工业大学研究生考试试卷课程名称数值分析考试日期2016年1月13日学院全校2015级研究生姓名年级班级学号得分一、填空题(每空2分，共20分)1.设3548A，则A12，1Cond()A39.2.函数4(25)()xfx的差商[1,2,3,4,5]f16.3.设(0,1,2,3)ixi是互异的点，()(0,1,2,3)ilxi是Lagrange插值基函数，则3022(1)()(1).iiiixxlxxx4.设函数2()cosfxx,3()px是以1,0,1,2为节点的()fx的3次Lagrange插值多项式，则余项32cos2()()(1)(1)(2).3fxpxxxxx5.设函数(1.39)5.4706,(1.40)5.7978,(1.41)6.1653fff,用三点数值微分公式计算(1.40)f的近似值是34.735，用三点数值微分公式计算(1.40)f的近似值是403.6.设20()dIfxx.已知(0)(2)4ff,用2n（即将积分区间[0,2]分成2段）的复化梯形求积公式计算I的结果与用Simpson求积公式计算I的结果相同，则(1)f___2____.7.求解初值问题(,),(0)1()yftyyatb的改进的Euler方法的增量函数12(,,)(,)(,(,)tyhftyfthyhfty8.解常微分方程初值问题的三阶Runge-Kutta方法的局部截断误差是4()Oh，其中h是步长。二、(本题满分12分)(1)对下列方程组建立收敛的Gauss-Seidel迭代格式，并说明理由。123123123321015,1045,21078.xxxxxxxxx(2)要达到精度510，试估计上述所建立的收敛的Gauss-Seidel迭代格式需要的迭代步数；取初值(0)(0)(0)TT123((0,0,0),,)xxx.(注：向量范数都用l范数)解(1)调整上述方程组的次序，得1231231231045,21078,321015.xxxxxxxxx(*)据此建立Gauss–Seidel迭代公式(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)31211011011045,278,3215.kkkkkkkkkxxxxxxxxx因为调整后的方程组的系数矩阵是严格对角占优的，所以据此建立的Gauss–Seidel迭代公式所产生的序列(){}kx都收敛。(2)因为方程组(*)的系数矩阵--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------装订线2104100010000412107200010000732103200010000ALDU，所以求解上述方程组的Jacobi迭代格式的迭代矩阵为1025110()0225172501312583500GBDLU.max025110,02251725,0131258350019250.76GqB用Gauss-Seidel迭代法迭代一次得：T(1)0.5,0.9,1.47x，(1)(0)max0.50,0.90,1.4701.47xx5(1)(0)(1)10(11925)19lnlnlnln48.561.4725qkqxx故需要迭代49次。三、(本题满分12分)用下列表中的数据求次数不超过3次的插值多项式3()px，使之满足3()()iipxfx，0,1,2i，和311()()pxfx.（要求写出差商表）ix012()ifx237()ifx2解根据表中的数据建立差商表000()2xfx11011()3[,]1xfxfxx11110111()3[,]2[,,]1xfxfxxfxxx221211201122()7[,]4[,,]2[,,,]0.5xfxfxxfxxxfxxxx则所求插值多项式为200100110101120123()[][,]()[,,]()()[,,,]()()2(1)0.5(1)20.50.5.pxfxfxxxxfxxxxxxxfxxxxxxxxxxxxxxx四、(本题满分10分)求拟合下列表中数据的线性最小二乘多项式()px，取权1i，0,1,2,3,4i，并计算总误差Q.解根据题意，得013,1,()1,(),1(0,1,2,3)imnxxxi01234012341,2,3,451.409,1.507,1.738,1.845,2.011.xxxxxyyyyy；；4440001000044410111000(,)115,(,)115,(,)18.51,(,)115,(,)55,(,)27.072.iiiiiiiiiiiiixfyxxxfxy得法方程组015158.51155527.072cc.解得01.23941,0.1542.cc于是，所求多项式为1()1.23940.1542pxx.总误差为140220()1.23940.15420.0033236.miiiiiiQypxyxi01234ix12345iy1.4091.5071.7381.8452.0113五、(本题满分12分)(1)确定1212,,,xxAA，使下列求积公式为Gauss型求积公式111221()d()()fxxAfxAfx.(2)用(1)中所得的求积公式计算112sin3dxIexx的近似值（保留4位小数）。解(1)因为两点Gauss型求积公式具有3次代数精度，所以上述求积公式若是Gauss型求积公式，则当23()1,,,fxxxx时，上述求积公式应准确成立，由此得：1211222211223311222,0,23,0,AAAxAxAxAxAxAx解得121213,13,1,1.xxAA故所求两点Gauss型求积公式为111133()dfxxff.(2)因为2()sin3xfxex，所以用上述两点Gauss公式计算112sin3dxIexx的近似值为：11221133()()2.82084.IAfxAfxff六、(本题满分12分)(1)设2[,]fCab，*x是方程()0fx的m重根(2)m。写出求*x的改进的Newton迭代格式；并证明求*x的改进的Newton迭代法至少是平方收敛的。(2)用弦截法求方程2(1)10xx在0.4附近的实根*x的近似值3x.（取初值010.4,0.45xx.）(1)证明(2)解弦截法格式为121112212111221122()()()(1)1,2,3,.(1)1(1)1kkkkkkkkkkkkkkkkxxxxfxfxfxxxxxxkxxxx取初值010.4,0.45xx，代入上式计算得：230.466615,0.465555xx.七、(本题满分12分)(1)证明Euler方法是1阶方法；并解释在研究微分方程数值解法的误差时，为什么可以用局部截断误差代替整体截断误差。(2)用改进的Euler方法求解下列初值问题，取步长0.5h.()(),01,(0)1.1()ytyttytyt(1)证明设()nnyyt，则()(,())nnnytfxyt.将1()nyt在nt处作Taylor展开21()()()()()2!nnnnhytythythyty，1nntt由Euler方法得1(,)()(,())()()nnnnnnnnnyyhftyythftytythyt.上面两式相减得2211()()()2nnhytyyOh,于是121pp，即Euler方法具有1阶精度。(2)解记00(,),1,0,0.51ftyythyty,则120.5,1tt，且改进的Euler格式为411110(,),(,)(,),21,nnnnnnnnnnyyhftyhyyftyftyy或110(,),(,),1(),21.nnnnnipcppcyyhftyyyhftyyyyy于是1000100011(,)10.51(101)0.5,0.5[(,)(,)]1[1(101)0.5(10.50.5)]0.59375,22yyhftyhyyftyfty2111211122(,)0.593750.50.5937510.50.593750.20874,[(,)(,)]20.50.593750.5937510.50.593750.20874110.208740.338167.2yyhftyhyyftyfty八、(本题满分10分)设()Sx是函数()fx在区间[0,2]上满足第一类边界条件的三次样条：30321()234,01,()()(1)(1)(1)3,12.SxxxxSxSxxbxcxx求(0),(2)ff.解因为()Sx是[0,2]上的三次样条，所以有0101(10)(10),(10)(10),SSSS即3,122.cb解得3,6cb；代入()Sx，得30321()234,01,()()(1)6(1)3(1)3,12.SxxxxSxSxxxxx因为()Sx是函数()fx在区间[0,2]上满足第一类边界条件的三次样条，所以0(0)(0)(0)4fSS和1(2)(2)(2)13.fSS