全等三角形性质与判定(二).教师版

1/17同步课程˙全等三角形性质与判定一、全等三角形的性质全等三角形对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，周长相等，面积相等．二、全等的性质和判定（1）全等三角形的判定方法：tSSSSASASAAASHLR、、、、△（2）全等三角形的图形变换形式：平移、对称、旋转（3）由全等可得到的相关定理：①角平分线定理②等腰、等边三角形性质和判定③垂直平分线定理共顶点等腰三角形旋转模型——“手拉手”模型证明全等的基本思想“SAS”等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形全等三角形性质与判定知识回顾知识讲解2/17同步课程˙全等三角形性质与判定【例1】如图，等边三角形ABC与等边DEC共顶点于C点．求证：AEBD．【解析】通过“SAS”证明BCDACE≌△△，得到AEBD.【例2】已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形．求证：（1）ANBM；（2）DEAB∥；（3）CF平分AFB．【解析】通过“SAS”证明MCBACN≌△△，得到ANBM.通过“SAS”证明MCEACD≌△△，得到CECD，从而推出DCE△为等边三角形，60NCBDECDEAB∥.共顶点等腰三角形共顶点等腰三角形同步练习3/17同步课程˙全等三角形性质与判定【变式练习】如图，B，C，E三点共线，且ABC与DCE是等边三角形，连结BD，AE分别交AC，DC于M，N点．求证：CMCN．【解析】通过“SAS”证明BCDACE≌△△，得到CBDCAE.再通过“SAS”证明CANCBM≌△△，得到CMCN.【例3】如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形，D是AN中点，E是BM中点，求证：CDE是等边三角形．【解析】通过“SAS”证明MCBACN≌△△，得到CMBCANMBAN，.再通过“SAS”证明CADCME≌△△，得到MCEACDCECD，，从而推出60DCE.【变式练习】(2008年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛)如图，ABD和CED均为等边三角形，ACBC，ACBC．若2BE，则CD．【解析】通过“SAS”证明BDEADC≌△△，得到1322CDABBEAC，，．【例4】平面上三个正三角形ACF，ABD，BCE两两共只有一个顶点，求证：EF与CD平分．4/17同步课程˙全等三角形性质与判定【解析】通过“SAS”证明，得到，；再通过“SAS”证明，得到，；得到四边形为平行四边形，对角线互相平分．【例5】已知：如图，ABC、CDE、EHK都是等边三角形，且A、D、K共线，ADDK．求证：HBD也是等边三角形．【解析】连接CH交AD于M通过“SAS”证明FCHFDK△≌△，得到CHDKAD，60AMC,推出DABHCB；再通过“SAS”证明，得到ABDCBH△≌△，HBHDBHCBDA，；进一步推出HBD△也是等边三角形．【例6】(2008年怀化市初中毕业学业考试试卷)如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．求证：AECG．ACBAFD△≌△DFCBCEBCABED△≌△DEACCFABCD5/17同步课程˙全等三角形性质与判定【解析】通过“SAS”证明CDGADE≌△△，得到DGAE.【变式练习】以△ABC的两边AB、AC为边向外作正方形ABDE、ACFG，求证：CE=BG，且CE⊥BG．【解析】通过“SAS”证明ABGAEC≌△△，得到ABGAECBGCE，，再通过“8”字图导角得到BGCE.【例7】(2004河北)如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EAAF．求证：DEBF．【解析】通过“ASA”证明ADEABF△≌△，得到DEBF．【变式练习】如图所示，在四边形ABCD中，90ADCABC，ADCD，DPAB于P，若四边形ABCD的面积是16，求DP的长．6/17同步课程˙全等三角形性质与判定【解析】过点作交延长线于通过“AAS”证明DPADEC△≌△，得到DEDP，从而推出四边形是正方形【例8】如图所示．正方形ABCD中，在边CD上任取一点Q，连AQ，过D作DP⊥AQ，交AQ于R，交BC于P，正方形对角线交点为O，连OP，OQ．求证：OP⊥OQ．【解析】通过“ASA”证明ADQDCP△≌△，得到DQCP，再通过“SAS”证明，得到，从而推出．【变式练习】如图，正方形OGHK绕正方形ABCD中点O旋转，其交点为E、F，求证：AECFAB．【解析】通过“ASA”证明AOEBOF△≌△，得到AEBF，从而推出AECFAB．【例9】如图，等腰直角三角形ABC中，90B∠，ABa，O为AC中点，EOOF．求证：BEBF为定值．DDEBCBCABCD=164ABCDDPBESSDP，QRPODCBAODQOCP△≌△POCQODOPOQ7/17同步课程˙全等三角形性质与判定【解析】连接OB通过“SAS”证明BOECOF△≌△，得到BECF.BEBFBFCFBCa【变式练习】等腰直角三角形ABC，90ABC∠，ABa，O为AC中点，45EOF∠，试猜想，BE、BF、EF三者的关系．【解析】过点O作ODOE交BC于D通过“SAS”证明BOECOD△≌△，得到OEODBECD，.再通过“SAS”证明0EFDOF△≌△，得到EFDF.可以推出BEBFEFCDDFBFBCABa【例10】已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且45EAF∠，AHEF，H为垂足，求证：AHAB．8/17同步课程˙全等三角形性质与判定【解析】延长至，使得，通过“SAS”证明ADFABM△≌△，得到AMAF.再通过“SAS”证明AMEAFE△≌△，得到ABAH.【例11】(1997年安徽省竞赛题)如图，在△ABC外面作正方形ABEF与ACGH，AD为△ABC的高，其反向延长线交FH于M，求证：(1)CFBH;(2)MHMF【解析】(1)通过“SAS”证明AFCABH△≌△，得到CFBH.(2)过FH、分别作FNMDDHKMDK于，于,再通过“AAS”证明BDAANFHKAADC△≌△，△≌△，得到FNHK.再通过“8”字全等证明FNMHKM△≌△，从而得到MFMH.【注】这道题有很多重要的结论，条件结论互换依然成立，2,ABCAFHBCAMSS△△【例12】(1997年安徽省初中数学竞赛题)在等腰RtABC的斜边AB上取两点M、N，使45MCN，记AMm，MNx，BNn，则以x、m、n为边长的三角形的形状是()．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x、m、n的变化而变化EBMBMDFMEFHGDCBA9/17同步课程˙全等三角形性质与判定【解析】见下题【答案】B【例13】(通州区2009一模第25题)请阅读下列材料：已知：如图1在RtABC中，90BAC，ABAC，点D、E分别为线段BC上两动点，若45DAE．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：⑴猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；⑵当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．【解析】（1）过点A作AD的垂线AF，使得ADAF，连接EFCF、通过“SAS”证明ABDACF△≌△，得到45BACFBDCF，.再通过“SAS”证明ADEAFE△≌△，得到DEEF.在RtECF△中满足勾股定理，，得到222.CECFEF，故222.CEBDDE（2）同理可证222.CEBDDE10/17同步课程˙全等三角形性质与判定【例14】在等边ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为ABC外一点，且60MDN，120BDC，BDCD，探究：当点M，N分别爱直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．⑴如图①，当点M，N在边AB，AC上，且DM=DN时，BM，NC，MN之间的数量关系式__________；此时LQ=_________⑵如图②，当点M，N在边AB，AC上，且DNDM时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；⑶如图③，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN=x，则Q=_________(用x，L表示．【解析】（1）MNBMCN，Q2=L3（2）延长AC至E，使得CEBM，连接DE通过“SAS”证明DBMDCE△≌△，得到DEDM.再通过“SAS”证明MDNEDN△≌△，得到MNNEBMCN2223QMNANAMMEANACBMNCLx（3）在AC上截取CEBM，连接DE通过“SAS”证明DBMDCE△≌△，得到DEDM.再通过“SAS”证明MDNEDN△≌△，得到MNNECNBM2223QMNANAMNEANACBMNCLx图③图②图①ABCDMNABCDMNNMDCBA11/17同步课程˙全等三角形性质与判定【变式练习】（1）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF＝BE＋FD;（2）如图在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？不用证明．（3）如图在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【解析】（1）延长至，使得，连接通过“SAS”证明ADFABM△≌△，得到AFAM.再通过“SAS”证明AMEAFE△≌△，得到EFEMBEDF（2）同理可证（3）同理可证121212FEDCBAFEDCBABCMDKBMAM12/17同步课程˙全等三角形性质与判定【变式练习】如图所示，在四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C=90°，∠B=135°，K、N分别是AB、BC上的点，若△BKN的周长为AB的2倍，求∠KDN的度数．【解析】延长至，使得，连接、通过“HL”证明ABDCBD△≌，得到ADCD.通过“SAS”证明ADKCDE△≌△，得到DKDEADKCDE，.再通过“SSS”证明KDNEDN△≌△，得到122.52NDKNDEKDNADC，【例15】(北京市初二数学竞赛试题)如图所示，在五边形ABCDE中，90BE，ABCDAE1BCDE，求此五边形的面积．BCECEAKDEBD13/17同步课程˙全等三角形性质与判定【解析】延长至，使得，连接、、通过“SAS”证明ABCAEF△≌△，得到ACAF.再通过“SSS”证明ACDAFD△≌△，12212ABCDEADESSDFAE△【变式练习】(江苏省数学竞赛试题)如图，已知五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=2．求该五边形的面积．【解析】延长至，使得，连接、、通过“SAS”证明ABCAEF△≌△，得到ACAF.再通过“SSS”证明ACDAFD△≌△，12242ABCDEADESSDFAE△【变式练习】(希望杯全国数学邀请赛初二第二试试题)在五边形ABCDE中，已知ABAE，BCDECD，180ABCAE