第三章_Fredholm方程

1第三章Fredholm方程§3.1第二类Fredholm方程考虑方程()(,)()().baxKxttdtfx（3.1.1）设(,),()Kxtfx分别在,axtb和axb连续,|(,)|,KxtA|()|fxB.定理3.1.11||()Aba时,（3.1.1）有唯一解.证明作迭代解：0()()xfx,10()()(,)()baxfxKxttdt，1()()(,)()bnnaxfxKxttdt，2()()(,)()baxfxKxtftdt2(,)(,)()bbaaKxtKtfddt对最后一项交换积分顺序,得最后2一项为：2((,)(,))()bbaaKxtKtdtfd，记：12(,)(,),(,)KxtKxtKx，1(,)(,)baKxtKtdt21()()(,)()baxfxKxtftdt22(,)().baKxtftdt记：1(,)(,)(,)bnnaKxtKxKtd，1()()(,)()bnaxfxKxtftdt，(,)()bnnaKxtftdt（3.1.2）来估计积分(,)()bnaKxtftdt21|(,)||(,)(,)|baKxtKxKtd2()Aba，32|(,)||(,)(,)|baKxtKxKtd32()Aba，31|(,)|()nnnKxtAba，|(,)()|bnaKxtftdt1()|()|bnnaAbaftdt()nnABba1||()nnnnBAba为（3.1.2）和式级数之强级数,即1||()Aba时,此强级数收敛.故（3.1.2）右边收敛,所以()nx一致收敛,记()()nxx,容易证明()x为方程（3.1.1）之唯一解.至于唯一性,不妨设*()x为另一解,则*必然为其次方程()(,)()baxKxttdt之解.|()|||max|()|()axbxAxba，max|()|||()max|()|,axbaxbxAbax4因为||()1Aba，所以max|()|0axbx，所以*()0x，所以解唯一.迭代求解时,有两种迭代格式.A:0()()xfx,10()()(,)()baxfxKxttdt,1()()(,)(),bnnaxfxKxttdtB：1(,)(,),KxtKxt21(,)(,)(,),baKxtKxKtd1(,)(,)(,),bnnaKxtKxKtd称(,)nKxt为迭核.11(,,)(,)nnnRxtKxt为解核.迭代解为：()()(,,)().baxfxRxtftdt迭代格式B的变形为：5()(,)()bnnaxKxtftdt，则1()()().nnnxfxx称为Neumann级数解.例求解：1051()().62xxxttdt解01,01;||1.xtxt故111,,()2Aba所以1||,()Aba可用级数解.用Neumann级数212511()()()().622xxxx1(,),Kxtxt1210(,)(,)(,)KxtKxKtd101,3xtdxt1320(,)(,)(,)KxtKxKtd612011(),33xtdxt11(,)().3nnKxtxt所以10()(,)()nnxKxtftdt112015()()36nxtdt15()()36nx.所以()x511515()623666nxxx.x例求10()()()xxttdtfx之迭核解.例设方程核为(,),0,1.Kxtxtab求迭核.解1(,),Kxtxt7120(,)()()Kxtxtd1,23xtxt1320(,)(,)(,)KxtKxKtd101()()23txtd,12xt1401(,)()()12Kxtxtd21(,)12Kxt，当21nm时，1211()(),1,2,,12mmKxtm当2nm时，1211()(),1,2,.1223mmxtKxtm定理3.1.2如(,),(,)mxtnxt满足(,)(,)bamxntd8(,)(,)0.banxmtd则核(,)(,)(,)Kxtmxtnxt的迭核和解核等于分别以(,),(,)mxtnxt为核所得的迭核,解核之和.证明记nM为(,)mxt迭核,(,)nNxt为(,)nxt迭核1(,)(,)KxtKxt(,)(,)mxtnxt11,MN21(,)(,)(,)baKxtKxKtd[(,)(,)][(,)(,)]bamxnxmtntd(,)(,)(,)(,)bbaamxmtdnxntd22MN,(,).nnnKxyMN证毕.例求核22(,).1,1.Kxtxtxtab的迭核.解显然912210,xtd12210.xxd对xt,迭核为11()3nxt.对22xt,221(,),Kxtxt1222222212(,),5Kxtxtdxt1222(,)().5nnKxtxt所以迭核为112212()().35nnxtxt§3.2退化核对第二类Fredholm方程()(,)()(),baxKxttdtfx（3.2.1）如它的核(,)Kxt具有下面形式1(,)()()niiiKxtaxbt，（3.2.2）称此核为退化核,而（3.2.1）称退10化核方程,此时（3.2.1）化为：1()()()()(),nbiiaixaxbttdtfx（3.2.3）设(),(1,2,,)iaxin线性无关,(),(1,2,,)ibtin也线性无关.若不然,不妨设()iax线性相关,112211()()()(),nnnaxcaxcaxcax代入（3.2.2）(,)Kxt112211()()()()()()nnaxbtaxbtaxbt112211()()()()()()nnnnncaxbtcaxbtcaxbt令111()()(),nbtbtcbt222()()(),,nbtbtcbt111()()().nnnnbtbtcbt(,)Kxt112211()()()()()().nnaxbtaxbtaxbt如121(),(),,()naxaxax还线性相关,重复上面的过程,直到无关为止.对方程（3.2.3）,等价于111()()()()(),nbiiaixfxaxbttdt（3.2.4）记：()()biiacbttdt,（3.2.5）可得1()()()niiixfxcax,（3.2.6）显然,只要找出ic,则通过（3.2.6）可得方程之解,为方便起见,将上式写成：1()()()njjjxfxcax,对上式两边用()ibx同乘,并求积分()()biabxxdx1()()()().nbbijijaajbxfxdxcbxaxdx记：12()(),biiafbxfxdx()().bijijaabxaxdx1,niijjijcacf或1niijjijcacf.这是一个关于12,,,ncccn的阶方程组,系数阵行列式为：1112121222121()1nnnnnnaaaaaaDaaa（3.2.7）定理3.2.3（Fredholm定理）对于齐次方程1()()()()nbiiaixaxbttdt，（3.2.8）13当()0D时,有唯一解()0x；当()0D时,方程有任意个解,()0D的值称为特征值,对每一特征值,（3.2.8）的对应解称为特征函数.对非其次方程（3.2.4）,()0D,则对一切均有唯一解,()0D时,如,i()()0.biiabxfxdxf则方程有任意解,如if中至少一个不为零,方程无解.例120()(1)().xxxttdt解(),fxx212()1,(),axaxx12()1,(),1.btbtt所以1101(),2ffxdx1201()3fxxxdx14121112011,,3aaxdx11321220011,.24axdxaxdx所以11221211(),32111().243cccccc11211,32131).243ccc得12353,122cc.所以解为1111()()()xxcaxcax2335.212xx例讨论方程的解10()(13)()().xxttdtfx15解取12()1,()3.axaxx12()1,().btbtt所以111110()()1,aaxbxdx1121203()(),2abxaxdx1212101()(),2abxaxdx122220()()1.abxaxdx系数矩阵为：312112，1211223(1),21(1).2ccfccf21()(4).4D2时,方程组有唯一解,162时,方程为1211223,3.ccfccf显然如12ff,则方程无解,如1120,(1)()0.fftftdt即1213ccf.代入（3.2.6）,可得解为：21122()()((3)()())xfxcfaxcax212()2(3(3))fxcfcx12()26(1)fxfcx.2c为任意常数.当2时,方程化为1211221,3,ccfccf类似地讨论,可知123ff无解,123ff无数个解且解为23()()2(13).2xfxfcx2c为常数.当()0fx时,齐次方程为10()(13)()xxttdt.171211223(1)0,21(1)0.2cccc当2时,则方程只有零解.2时,得121230,30,cccc即1223()3(1).ccxcx这是与特征值2对应的特征函数.同样,容易求出2的全部特征函数为22(13)cx.例10()()()()xxttdtfx.例0()1sin()()xxttdt.例设核为(,),0,1Kxtxtxt,求它的特征值.