《平面向量的实际背景及基本概念》导学案.ppt1

第二章平面向量知识点新课程标准的要求层次要求领域目标要求平面向量的基本概念1.通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,感受向量以及研究向量的必要性2.理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示,能在图形中辨认相等向量和共线向量本部分概念较多,要结合实际领会概念的意义,在知识理解和掌握的基础上,要注意向量的运算与数量之间运算的比较,明确它们的区别与联系向量既是代数对象,又是几何对象,向量的线性运算(加减、数乘)、平面向量的基本定理以及向量的数量积,都要从,因此,我们要注意数形结合的思想方法在向量中的灵活应用平面向量的线性运算1.通过实例,掌握向量加、减法运算,并理解其几何意义2.通过实例,掌握向量数乘运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义3.了解向量的线性运算性质及其几何意义平面向量的基本定理及坐标表示1.了解平面向量的基本定理及其意义,会用平面向量基本定理解决简单的问题2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件平面向量的数量积1.通过物理中,理解平面向量数量积的含义及其物理意义2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量的应用经过用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,提高运算能力和解决实际问题的能力通过学习,了解向量在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用,能运用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,提高学生的运算能力和解决实际问题的能力第1课时平面向量的实际背景及基本概念同步书·数学（必修4-第二章）1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示法.2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念.3.会区分平行向量、相等向量和共线向量.4.初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.“马走日,象走田”是中国象棋中“马”和“象”的走法,是指“马”走一步时,只能是从一个“日”字形的棋格的一个顶点跳到与之对顶的顶点;“象”走一步时,只能是从一个“田”字形的棋格的一个顶点跳到与之对顶的顶点.我们可以用从出发点到目的点的有向线段来表示“马”和“象”走了“一步”,即“马”和“象”每走一步可以用一个向量来表示.那么想要让“马”从棋盘上的一个点走到它所在的位置左侧的相邻点,应如何走?问题1问题1:向量的概念及其表示方法(1)向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫作向量.(2)向量与数量的区别:向量既有大小又有方向,比较大小,数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算和比较大小.(3)向量的表示方法①用有向线段表示:表示向量的方向，，表示向量的大小.②用字母a,b等表示.③用有向线段的起点与终点的字母表示:不能有向线段的方向有向线段的长度问题2向量的有关概念(1)向量的模:向量的大小,也就是向量的长度(或称模),记作.(2)零向量与单位向量:长度为的向量叫作零向量,记作0.(3)长度等于的向量叫作单位向量.(4)平行向量:①方向的两个非零向量叫作平行向量(也称共线向量);②规定0与任一向量平行.(5)相等向量与相反向量:的两个向量是相等向量;的两个向量互为相反向量.ABAB零1个单位相同或相反大小相等,方向相同大小相等,方向相反问题3向量与有向线段的区别向量只有两个要素,且与起点位置无关,没有具体的形状,为了能够直观地体现向量的大小和方向,我们借助来表示向量;有向线段是个几何图形,有起点、大小和方向,可以直观地表示向量,但不等于向量.问题4平行向量(共线向量)与平行线段、共线线段的区别平行向量(共线向量)不是几何图形,没有几何位置关系,表示两个非零平行向量的有向线段可以,也可以在;平行线段和共线线段是几何图形,有位置关系,两条平行线段所在的直线一定,不会共线,反过来,两条共线线段一定在,不会平行.同一条直线上121.有以下物理量:①速度;②位移;③加速度;④路程;⑤功;⑥质量.其中不是向量的物理量的个数为().A.1B.2C.3D.4C下列结论正确的是().A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线B.任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行【解析】④⑤⑥都不是向量.C【解析】选项A中的向量b如果是零向量,则结论不成立;选项B中的两个向量相等时,向量的起点和终点可以在同一条直线上,此时它们的起点和终点不是平行四边形的四个顶点;在选项C中,如果向量a与b中至少有一个零向量,根据零向量与任意向量共线,则a与b共线,故选项C中的结论是正确的;根据向量平行的概念,两个向量有相同的起点,它们也可能平行.33.在四边形ABCD中,AB∥CD且|AB|≠|CD|,则四边形ABCD的形状是.【解析】∵AB∥CD且|AB|≠|CD|,∴AB∥DC,但AB≠DC,∴四边形ABCD是梯形梯形4判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.①向量AB与CD是共线向量,则A、B、C、D四点必在同一直线上;②单位向量都相等;③任一向量与它的相反向量不相等;④一个向量方向不确定当且仅当模为0.【解析】①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量在同一直线上.②不正确.单位向量的模均相等且为1,但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的.④正确.指出下列命题是否正确,若不正确,请说明理由.(2)若两个向量平行,则这两个向量的方向相同或相反;(3)两个有共同起点且相等的向量,其终点必然相同;(4)两个有共同终点的向量必然是共线向量;(5)有向线段就是向量,向量就是有向线段;(6)若|a||b|,则ab.(1)向量AB的长度与向量BA的长度相等;【解析】(1)正确;(2)不正确,当两者中有一个是零向量时,其方向不确定;(3)正确;(4)不正确,起点不一定相同;(5)不正确,向量是用有向线段来表示的,但并不是有向线段;(6)不正确,两个向量不能比较大小,模可以比较大小.7平行向量与相等向量如图,D,E,F分别为△ABC的三边AB,AC,BC的中点,写出与DE平行的向量(图中所有线段对应的向量)和与其相等的向量.【解析】与DE平行的向量有BF,BC,FC,CF,CB,FB,ED;与DE相等的向量有BF,FC.利用有向线段表示向量在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1),试用直尺画出下列向量:(1)OA,使|OA|=42,点A在点O的北偏东45°方向;(2)AB,使|AB|=4,点B在点A的正东方向;(3)BC,使|BC|=6,点C在点B的北偏东30°方向.【解析】(1)由于点A在点O北偏东45°处,所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等.又|OA|=42,小方格的边长为1,所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点A的位置可以确定,画出向量OA如图所示.(2)由于点B在点A的正东方向处,且|AB|=4,所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点B的位置可以确定,画出向量AB如图所示.(3)由于点C在点B北偏东30°处,且|BC|=6,依据勾股定理可得:在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3,纵向小方格数为33≈5.2,于是点C的位置可以确定,画出向量BC如图所示.判断下列命题是否正确,若不正确,请说明理由.(1)AB=BA;(2)若|a|=0,则a=0;(3)对于任意向量|a|=|b|,且a,b方向相同,则a=b;(4)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量.【解析】(1)不正确,两个向量的方向不同;(2)不正确,a=0,注意区分0与数0的不同;(3)正确;(4)正确.||如图,四边形ABCD和四边形CDFE均为平行四边形,(1)写出图中所有与向量AB平行的向量;(2)试问图中哪些向量分别与向量AD、AF、DC相等.【解析】(1)与向量AB平行的向量有BA,CD,DC,EF,FE.(2)与向量AD相等的向量是向量BC,与向量AF相等的向量是向量BE,与向量DC相等的向量是向量AB,FE.一辆汽车从A点出发向西行驶了100公里到达点B,然后又改变方向向西偏北50°行驶了200公里到达点C,最后又改变方向,向东行驶了100公里达到点D.(1)作出向量AB,BC,CD;(2)求|AD|.【解析】(1)如图所示.(2)由题意,易知AB与CD的方向相反,故AB与CD共线.又∵|AB|=|CD|,∴在四边形ABCD中,AB�CD,∴四边形ABCD为平行四边形.∴|AD|=|BC|=200(公里).1.物理学中的作用力与反作用力().A.不是向量B.是大小相等,方向相同的向量C.是大小不等,方向不同的向量D.是大小相等,方向相反的向量【解析】作用力与反作用力大小相等,方向相反.2.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,|AB|=1,|AC|=2,则|BC|=().A.5B.3C.3D.5【解析】∵|BC|2=|AB|2+|AC|2=1+4=5,∴|BC|=5.DA3.某人从点A出发向东行走了2km后,又向东偏北45°方向行走了(6+2)km,则此人的位移为.【解析】如图,设此人从点A出发向东行走了2km到达点B,再向东偏北45°方向行走了(6+2)km到达点C.由点C作AB的垂线CD交AB的延长线于点D,则BD=CD=(6+2)sin45°=(3+1)km,从而AD=2+(3+1)=(3+3)km.在Rt△ACD中,tanA=CDAD=3+13+3=33,所以,∠A=30°,从而AC=2CD=(23+2)km.故此人从点A向东偏北30°的方向行走了(23+2)km.232km4.设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K、L、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点,求证:KL=NM.【解析】连接AC,在△ABC中,∵K、L分别是AB、BC的中点,∴KL∥AC且KL=12AC,∴KL与AC同向,且|KL|=12|AC|,同理可证NM与AC同向,且|NM|=12|AC|.∴KL与NM同向,且|KL|=|NM|,∴KL=NM.