线性系统大作业1

研究生课程论文(2014-2015学年第一学期)线性系统的基本特性研究生：提交日期：2014年10月30日研究生签名：学号201420114258201420114425201420114289学院自动化科学与工程学院课程编号S0811040课程名称线性系统理论I学位类别硕士任课教师苏为洲教授教师评语：成绩评定：分任课教师签名：年月日线性系统理论的研究对象为线性系统。线性系统是最为简单和最为基本的一类动态系统。线性系统理论是系统控制理论中研究最为充分、发展最为成熟和应用最为广泛的一个分支。线性系统理论中的很多概念和方法，对于研究系统控制理论的其他分支，如非线性系统理论、最优控制理论、自适应控制理论、鲁棒控制理论、随机控制理论等，同样也是不可缺少的基础。线性系统的一个基本特征是其模型方程具有线性属性即满足叠加原理。叠加原理是指，若表系统的数学描述为L，则对任意两个输入变量u1和u2以及任意两个非零有限常数c1和c2必成立关系式：11221122()()()LcucucLucLu对于线性系统，通常还可进一步细分为线性时不变系统（lineartime-invariantsystems)和线性时变系统（lineartime-varyingsystems)两类。线性时不变系统也称为线性定常系统或线性常系数系统。其特点是，描述系统动态过程的线性微分方程或差分方程中，每个系数都是不随时间变化的函数。从实际的观点而言，线性时不变系统也是实际系统的一种理想化模型，实质上是对实际系统经过近似化和工程化处理后所导出的一类理想化系统。但是，由于线性时不变系统在研究上的简便性和基础性，并且为数很多的实际系统都可以在一定范围内足够精确地用线性时不变系统来代表，因此自然地成为线性系统理论中的主要研究对象。线性时变系统也称为线性变系数系统。其特点是，表征系统动态过程的线性微分方程或差分方程中，至少包含一个卷数为随时间变化的函数。在视实世界中，由于系统外部和内部的原因，参数的变化是不可避免的，因此严格地说几乎所有系统都属于时变系统的范畴。但是，从研究的角度，只要参数随时间的变化远慢于系统状态随时间的变化，那么就可将系统按时不变系统来研究，由此而导致的误差完全可以达到忽略不计的程度。线性时不变系统和线性时变系统在系统描述上的这种区別，既决定了两者在运动状态特性上的实质性差别.也决定了两者在分析和综合方法的复杂程度上的重要差别。事实上，比之线性时不变系统，对线性时变系统的研究要远为复杂得多，也远为不成熟得多。因此本论文将主要介绍线性时不变系统的基本特性及它们之间的内在联系。1.叠加性和齐次性用线性微分方程描述的元件或系统，称为线性元件或线性系统。线性系统的重要性质是可以应用叠加原理。叠加原理有两重含义,即具有叠加性和齐次性(或均匀性）。现举例说明：设有线性微分方程为22(t)(t)(t)(t)dcdccfdtdt当1(t)(t)ff时，上述方程的解为1(t)c；当2(t)(t)ff时，其解为2(t)c。如果12(t)(t)(t)fff，容易验证，方程的解必为2(t)(t)(t)tccc，这就是可叠加性。而当1(t)(t)fAf时，式中A为常数，则方程的解必为1(t)(t)cAc，这就是齐次性。线性系统的叠加原理表明，两个外作用同时加于系统所产生的总输出，等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和，且外作用的数值增大若干倍时，其输出亦相应增大同样的倍数。因此，对线性系统进行分析和设计时，如果有几个外作用词时加于系统，则可以将它们分别处理，依次求出各个外作用单独加入时系统的输出，然后将它们叠加。此外，每个外作用在数值上可只取单位值，从而大大简化了线性系统的研究工作。本论文使用了一个简单的线性系统，即RLC电路仿真来验证线性系统的叠加性和齐次性。RLC电路图连接如图1：图1RLC串联电路设电感电流为(t)Li，电容电压为(t)cu，根据电路，列出KVL方程：改写为标准形式：利用Matlab进行仿真，求解状态方程。将RLC电路微分方程写成状态空间表达式代码如下:functionxdot=funcforex14(t,x,flag,R,L,C)xdot=zeros(2,1);xdot(1)=-R/L*x(1)-1/L*x(2)+1/L*f(t);xdot(2)=1/C*x(1);functionin=f(t)in=(t0)*2;endend仿真求解状态方程代码如下：L=1;C=0.1;R=1.5;[t,x]=ode45('funcforex14',[-1,10],[0;1],[],R,L,C);figure(1);plot(t,x(:,1),'r');holdon;xlabel('timesec');grid;xlabel('t/ms');ylabel('电压/V');title('齐次性');text(0.55,0.95,'\leftarrowu_0(t)');[t,x]=ode45('funcforex15',[-1,10],[0;2],[],R,L,C);figure(1);plot(t,x(:,1),'b');text(0.61,0.48,'\leftarrowu_1(t)');[t,x]=ode45('funcforex14',[-1,10],[0;1],[],R,L,C);figure(2);plot(t,x(:,1),'r');holdon;xlabel('timesec');grid;text(0.55,0.95,'\leftarrowu_1(t)');[t,x]=ode45('funcforex15',[-1,10],[0;2],[],R,L,C);figure(2);plot(t,x(:,1),'b');text(0.61,0.48,'\leftarrowu_2(t)');[t,x]=ode45('funcforex16',[-1,10],[0;3],[],R,L,C);figure(2);plot(t,x(:,1),'k');text(0.58,1.42,'\leftarrowu_0(t)');xlabel('t/ms');ylabel('电压/V');title('叠加性');齐次性验证仿真结果如图2:图2齐次性的仿真结果0(t)u为输入电压4V,电容初始状态为2V时的系统响应。1(t)u为输入电压2V,电容初始状态为1V时的系统响应，由响应曲线可知0(t)u的响应为1(t)u的2倍，齐次性得证。叠加性仿真结果如图3所示：图3叠加性仿真结果0(t)u为输入电压6V,电容初始状态为3V时的系统响应。1(t)u为输入电压4V,电容初始状态为2V时的系统响应，2(t)u为输入电压1V,电容初始状态为1V时的系统响应，由响应曲线可知0(t)u的响应为1(t)u和1(t)u之和，叠加性得证。2零输入响应和零状态响应线性系统的一个基本属性是满足叠加原理。基于叠加原理，可以把系统同时在初始状态0x和输入u作用下的状态运动(t)x，分解为由初始状态0x,和输入u分别单独作用所产生的运动0ux和0xx的叠加.即00(t)(t)(t)uxxxx并且，称0(t)ux为系统的零输入响应，0(t)xx为系统的零初态响应。线性系统运动的可分解属性为分析系统运动过程的演化规律提供了简便性和直观件。线性系统的零输入响应0(t)ux定义为只有初始状态作用即00x而无输入作用即(t)0u时系统的状态响应。线性系统的零初态响应0(t)xx定义为只有输入作用即(t)0u而无初始状态作用即00x时系统的狀态响应。利用线性系统的叠加性可得，系统的响应输出为系统的零输入响应和零状态响应之和。利用Matlab仿真结果如下。仿真代码如下：L=1;C=0.1;R=1.5;[t,x]=ode45('funcforex12',[-1,10],[0;0],[],R,L,C);figure(1);plot(t,x(:,1),'r');holdon;xlabel('timesec');grid;text(0.57,0.20,'\leftarrow零状态响应');xlabel('t/ms');ylabel('电压/V');title('系统响应');[t,x]=ode45('funcforex13',[-1,10],[0;1],[],R,L,C);figure(1);plot(t,x(:,1),'k');holdon;xlabel('timesec');text(0.70,0.07,'\leftarrow零输入响应)');[t,x]=ode45('funcforex12',[-1,10],[0;1],[],R,L,C);figure(1);plot(t,x(:,1));holdon;xlabel('timesec');text(0.55,0.31,'\leftarrow系统全响应');仿真结果如图4所示:图4系统响应输出与零输入响应和零状态响应的关系由响应曲线可以看出系统响应是零状态响应和零输入响应之和。3系统状态空间表达式的非唯一性对于一个给定的定常系统，可以选取许多种状态变量，相应地有许多种状态空间表达式描述同一系统，也就是说系统可以有多种结构形式。所选取的状态矢量之间，实际上是一种矢量的线性变换（或称坐标变换)。设给定系统为0;(0)xAxBuxxyCxDu我们总可以找到任意一个非奇异矩阵T,将原状态向量x作线性变換，得到另一状态矢量z,设变换关系为xTz即1zTx代入上式，得到新的状态空间表达式11110;(0)(0)zTATzTBuzTxTxyCTzDu很明显，由于T为任意非奇异阵，故状态空间表达式为非唯一的。通常称T为变换矩阵。4系统特征值的不变性及系统的不变量4.1系统特征值系统xAxBuyCxDu系统特征值就是系统矩阵A的特征值，也即特征方程：0IA的根。方阵A有n个特征值；实际物理系统中，A为实数方阵，故特征值或为实数，或为成对共轭复数；如A为实数对称方阵，则其特征值都是实数。4.2系统的不变量与特征值的不变性同一系统，经非奇异变換后，得11zTATzTBuyCTzDu公式(4.1)其特征方程为10ITAT公式(4.2)公式(4.1)与公式(4.2)形式虽然不同，但实际是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。可以证明如下：11111111()ITATTTTATTTTATTIATTIATTTIAIA将特征方程写成多项式形式1110...0nnnIAaaa。由于特征值全由特征多项式的系数1210,,...,nnaaaa唯一地确定，而特征值经非奇异变换是不变的，那么这些系数1210,,...,nnaaaa也是不变的量。所以称特征多项式的系数为系统的不变量。5记忆性与因果性若一个系统当前的输出只与当前的输入有关，则该系统称为无记忆性系统。纯电阻电路就是一个无记忆性的系统。若一个系统当前的输出与过去、当前和将来的输入有关，则该系统称为有记忆性的系统。特殊地，当系统的当前输出只与过去和当前的输入有关，而与将来的输入无关，则该系统为具有因果性的系统。任何一个物理系统都是因果系统，即在建立一个物理系统时，因果性是一个必要的条件。当系统的输入为一个理想的脉冲信号并且初始状态为0时，令系统的输出即脉冲响应为，t为系统的当前时刻，为脉冲信号作用到系统的时刻。对于因果系统来说，当时，。记单位脉冲信号为，即或在单位脉冲信号作用下系统的零状态响应称为系统的单位脉冲响应，用表示。考虑一个单输入单输出线性系统的零状态响应。令为图X所示的脉冲，其宽度为Δ，高度为1/Δ，作用时间是时刻。因此，输入可以近似看成多个脉冲序列的和，即可近似看成多个之和，即图５ti时刻的脉冲图6输入信号的近似令为输入的脉冲响应函数，根据线性系统的齐次性和叠加性，有如下：所以当系统的输入为时，可得到的近似输出如下：当时，该叠加和可用积