2011届高考数学(一轮)复习精品学案课件：第8章 解析几何―直线与圆

学案4直线与圆、圆与圆返回目录1.直线与圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系可分为三种：、、.（2）判定直线与圆的位置关系主要有两种方法：方法一是把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置.相交相离相切Δ0直线和圆.Δ=0直线和圆.Δ0直线和圆.关系：{相交相切相离方法二是把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.dR直线和圆.d=R直线和圆.dR直线和圆.相交相切相离{返回目录2.圆的切线问题(1)圆x2+y2=r2的斜率为k的切线方程是.(2)过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0上一点P(x0,y0)的切线方程为.(3)若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0)上，则过点P的切线方程为.1+kr·±kx=y20F·E2yy·D2xxyyxx0000=++++++rb)-b)(y-(ya)-a)(x-(x200=+返回目录3.圆与圆的位置关系(1)圆与圆的位置关系可分为五种:、、、、.(2)判断圆与圆的位置关系常用几何法:设⊙O1的半径为r1,⊙O2的半径为r2，两圆的圆心距为d,当|r1-r2|＜d＜r1+r2时，两圆;当r1+r2=d时，两圆;当|r1-r2|=d时，两圆;当r1+r2＜d时，两圆;当|r1-r2|＞d时，两圆.内含外离相交外切内切内含相交外切内切外离返回目录已知圆x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m-24=0（m∈R）.(1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；(2)与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；(3)求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.考点一直线与圆的位置关系返回目录【分析】用配方法将圆的一般方程配成标准方程，求出圆心坐标，消去m就得关于圆心的坐标间的关系，就是圆心的轨迹方程；判断直线与圆相交、相切、相离，只需比较圆心到直线的距离d与圆半径的大小即可；证明弦长相等时，可用几何法计算弦长.【解析】（1）证明：配方得（x-3m）2+［y-(m-1)］2=25,x=3my=m-1，l：x-3y-3=0，则圆心恒在直线l：x-3y-3=0上.消去m得设圆心为（x，y），则{返回目录（2）设与l平行的直线是l1：x-3y+b=0，则圆心到直线l1的距离为d=∵圆的半径为r=5，∴当d＜r,即-5-3＜b＜5-3时，直线与圆相交；当d=r，即b=±5-3时，直线与圆相切；当d＞r,即b＜-5-3或b＞5-3时，直线与圆相离.10|b3|10|b)1-3(m-3m|+=[phone]（3）证明：对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1：x-3y+b=0，由于圆心到直线l1的距离d=，弦长=2且r和d均为常量.∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.返回目录10|b3|+22d-r返回目录【评析】判断直线与圆的位置关系可以看成它们构成的方程组有无实数解，也可以根据圆心到直线的距离与半径长的关系进行判断.求圆的弦长有多种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k，直线与圆联立消去y后所得方程两根为x1，x2，则弦长d=·|x1-x2|；三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求.对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷.本题所用方法就是第三种方法.2k1+＊对应演练＊已知圆x2+y2=8，定点P（4，0），问过P点直线的斜率在什么范围内取值时，这条直线与已知圆（1）相切，（2）相交，（3）相离？并写出过P点的切线方程.解法一:设过P点的直线的斜率为k（由题意知k存在），则其方程为y=k(x-4).y=k(x-4)x2+y2=8即(1+k2)x2-8k2x+16k2-8=0,Δ=(-8k2)2-4(1+k2)(16k2-8)=32(1-k2).返回目录消去y，得x2+k2(x-4)2=8,由{(1)令Δ=0，即32(1-k2)=0,∴当k=±1时，直线与圆相切，切线方程为x-y-4=0或x+y-4=0.(2)令Δ＞0，即32(1-k2)＞0,解得-1＜k＜1，∴当-1＜k＜1时，直线与圆相交.(3)令Δ＜0，即32(1-k2)＜0,解得k＞1或k＜-1,∴当k＜-1或k＞1时，直线与圆相离.返回目录返回目录解法二:设圆心到直线的距离为d，则(1)d=r，即=,∴k2=1,∴k=±1时直线与圆相切，其切线方程为x-y-4=0或x+y-4=0.(2)d＜r,即＜,∴k2＜1，即-1＜k＜1时直线与圆相交.(3)d＞r，即＞,∴k2＞1,即k＜-1或k＞1时直线与圆相离..k1|k|4k1|4k-0-k·0|d22+=+=2k1|k|4+2k1|k|4+2k1|k|4+888已知圆O:(x-1)2+(y-2)2=4，求过点P(-1,5)的圆的切线方程.【分析】用待定系数法，设切线方程为y-5=k(x+1)，则圆心到直线的距离等于圆半径，解之即可.考点二直线与圆相切问题返回目录【解析】设切线方程为y-5=k(x+1)（当斜率存在时），即kx-y+k+5=0.由圆心到切线的距离等于半径，得,解得k=-.∴切线方程为5x+12y-55=0.又∵点P在圆O外，过圆外一点可作圆的两条切线,∴还有一条切线为x=-1.返回目录21k|5k2-k|2=+++125返回目录【评析】求过一定点的圆的切线方程，首先必须判断这点是否在圆上.若在圆上，则该点为切点；若在圆外，切线应有两条.一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解较为简单.若求出的斜率只有一个，应找出过这一点与x轴垂直的另一条切线.返回目录＊对应演练＊已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=2,P点为(2,-1)，过点P作圆C的切线，切点为A,B.（1）求直线PA,PB的方程；（2）求切线PA的长；（3）求过两点A,B的直线方程；（4）求弦长|AB|.返回目录（1）由题意可设圆的切线方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0，由圆心C(1,2)到切线的距离为半径2,即k2-6k+7=0,解之得k=7或k=-1.因而所求切线方程为7x-y-15=0或x+y-1=0.⇒=+21k|3--k|2（2）在Rt△PCA中，|PA|2=|PC|2-|AC|2=8，∴|PA|=2.（3）以P为圆心，|PA|长为半径的圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=8，则线段AB为两圆的公共弦，由圆系知，公共弦所在直线AB的方程为x-3y+3=0.（4）圆心(1,2)到弦AB的距离d=,圆半径的平方r2=2,由平面几何知识得|AB|=返回目录2102(-3)1|36-1|22=++.1054104-22d-r222==返回目录a为何值时,两圆x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和x2+y2+2x-2ay+a2-3=0,(1)相切;(2)相交;(3)相离.考点三圆与圆的位置关系【分析】用两圆的圆心距d和两圆半径的和及差的绝对值比较大小.【解析】将两圆方程化为标准方程：(x-a)2+(y+2)2=9,(x+1)2+(y-a)2=4.设两圆圆心距为d,则d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5.(1)当d=5,即2a2+6a+5=25时两圆外切,此时a=-5或a=2;当d=1,即2a2+6a+5=1时,两圆内切,此时a=-1或a=-2.返回目录返回目录(2)当1d5时,即12a2+6a+525时,两圆相交,此时-5a-2或-1a2.(3)当d5,即2a2+6a+525时,两圆相离,此时a2或a-5.【评析】圆和圆的位置关系,从交点个数也就是方程组解的个数来判断,有时得不到确切的结论.比如两圆只有一个交点时,固然相切.但是内切还是外切呢?就不清了,所以判断两圆的位置关系,通常还是从圆心距d与两圆半径R,r的关系下手.返回目录返回目录＊对应演练＊已知圆C1：x2+y2-2mx+4y+m2-5=0，圆C2：x2+y2+2x-2my+m2-3=0，m为何值时，（1）圆C1与圆C2相外切；（2）圆C1与圆C2内含？对于圆C1与圆C2的方程，经配方后C1：（x-m）2+（y+2）2=9；C2：（x+1）2+（y-m）2=4.（1）如果C1与C2外切，则有即（m+1）2+（m+2）2=25.∴m2+3m-10=0，解得m=-5或m=2.2.32)m()1(m22+=+++（2）如果C1与C2内含，则有∴(m+1)2+(m+2)2＜1,∴m2+3m+2＜0,得-2＜m＜-1,∴当m=-5或m=2时，圆C1与圆C2外切；当-2＜m＜-1时，圆C1与圆C2内含.2.-32)m()1(m22+++返回目录返回目录考点四直线与圆相交的有关问题已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x-12y+24=0.（1）若直线l过P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；（2）求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.【分析】（1）根据弦长求法，求直线方程中的参数.（2）由垂直关系找等量关系.3返回目录【解析】（1）解法一：如图所示，AB=4，D是AB的中点，CD⊥AB，AD=2，圆x2+y2+4x-12y+24=0可化为（x+2）2+（y-6）2=16，圆心C（-2，6），半径r=4，故AC=4，在Rt△ACD中，可得CD=2.33设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y-5=kx，即kx-y+5=0.由点C到直线AB的距离公式：，得k=.此时直线l的方程为3x-4y+20=0.又直线l的斜率不存在时，此时方程为x=0.则y2-12y+24=0，∴y1=6+2，y2=6-2，∴y2-y1=4，故x=0满足题意.∴所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0.返回目录2-1)(k|56--2k|22=++43333解法二：设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y-5=kx，即y=kx+5.y=kx+5x2+y2+4x-12y+24=0，消去y得（1+k2）x2+（4-2k）x-11=0.①设方程①的两根为x1，x2，x1+x2=x1x2=.②返回目录联立直线与圆的方程2k14-2k+2k111-+由根与系数的关系得{{由弦长公式得|x1-x2|=,将②式代入，解得k=,此时直线的方程为3x-4y+20=0.又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x=0.∴所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D（x，y），则CD⊥PD，即CD·PD=0，（x+2，y-6）·（x，y-5）=0，化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0.返回目录2k1+[]34x4x-)x(x)k(1212212=++43【评析】在研究弦长及弦中点问题时，可设弦AB两端点的坐标分别为A（x1，y1）,B（x2，y2）.（1）若OA⊥OB（O为原点），则可转化为x1x2+y1y2=0，再结合根与系数的关系等代数方法简化运算过程，这在解决垂直关系问题中是常用的；（2）若弦AB的中点为（x0,y0），圆的方程为x2+y2=r2，则该法叫平方差法，常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题.2222222121ryxryx=+=+0021212121yx-yyxx-x-xy-y=++==k∴{返回目录＊对应演练＊设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为2，求圆的方程.设圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2.设所求圆的圆心为（a，b），半径为r.∵点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点A′仍在这个圆上，∴圆心（a，b）在直线x+2y=0上，∴a+2b=0，①(2-a)2+(3-b)2=r2.②2返回目录又∵直线x-y+1=0截圆所得的弦长为2，∴r2-③解由方程①②③组成的方程组得b=-3b=-7,a=6a=14,r2=52r2=244.∴所求圆的方程为（x-6）2+（y+3）2=52或（x-14）2+（y+7）2=244.返回目录22)2()21b-a(=+或{{返回目录1.过圆外一点M可以作两条