《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-3第一章精要课件 习题课二项

本课时栏目开关试一试研一研练一练习题课【学习要求】1．能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念．2．会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题．本课时栏目开关试一试研一研练一练习题课1．(a＋b)n＝(n∈N*)，这个公式表示的定理叫做二项式定理，其中Crn(r＝0,1,2，…，n)叫做，通项是指展开式的第项，即.试一试·扫描要点、基础更牢固C0nan＋C1nan－1b＋C2nan－2b2＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn二项式系数r＋1Crnan－rbr本课时栏目开关试一试研一研练一练习题课2．二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律)(1)对称性：；(2)性质：Crn＋1＝+；(3)二项式系数的最大值：如果二项式的幂指数n是偶数，那么项的二项式系数最大；如果n是奇数，那么项的二项式系数相等且最大；(4)二项式系数之和C0n＋C1n＋C2n＋…＋Crn＋…＋Cnn＝，所用方法是．试一试·扫描要点、基础更牢固Cmn＝Cn－mnCr－1nCrn赋值法2n本课时栏目开关试一试研一研练一练习题课1.2x3－1x7的展开式中常数项是()A．14B．－14C．42D．－42试一试·扫描要点、基础更牢固解析Tr＋1＝Cr7(2x3)7－r－1xr＝Cr727－r(－1)r·x，令21－72r＝0，∴r＝6，∴T7＝7×2＝14.A21－72r本课时栏目开关试一试研一研练一练习题课试一试·扫描要点、基础更牢固2.x－13x10的展开式中含x的正整数指数幂的项数是()A．0B．2C．4D．6解析Tr＋1＝Cr10x·－13r·x－r＝Cr10－13r·x.若是正整数指数幂，则有10－3r2为正整数，∴r可以取0,2，∴项数为2.B10－3r210－r2本课时栏目开关试一试研一研练一练习题课试一试·扫描要点、基础更牢固3．设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于()A．2nB.3n－12C．2n＋1D.3n＋12解析令x＝1，则a0＋a1＋…＋a2n＝3n；①令x＝－1，则a0－a1＋…＋a2n＝1.②①＋②得：a0＋a2＋…＋a2n＝3n＋12.D本课时栏目开关试一试研一研练一练习题课试一试·扫描要点、基础更牢固4．若x3＋1x2n的展开式中，仅第六项系数最大，则展开式中不含x的项为________．解析由题意知，展开式各项的系数即为各项的二项式系数．第六项系数最大，即第六项为中间项，故n＝10.∴通项为Tr＋1＝Cr10·(x3)10－r·1x2r＝Cr10·x30－5r.令30－5r＝0，得r＝6.∴常数项为T7＝C610＝210.210本课时栏目开关试一试研一研练一练习题课研一研·题型解法、解题更高效题型一求二项展开式的项或系数例1(1)求(x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5的展开式中x2的系数．(2)求(3x＋32)100的展开式中，系数为有理数的项的个数．解(1)方法一∵(x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5＝x－1{1－[－x－1]5}1－[－x－1]＝x－1＋x－16x，∴所求展开式中x2的系数就是(x－1)6的展开式中x3的系数－C36＝－20.本课时栏目开关试一试研一研练一练习题课研一研·题型解法、解题更高效方法二x2的系数为：－C02－C13－C24－C25＝－C36＝－20.(2)Tr＋1＝Cr100(3x)100－r(32)r＝Cr100·3·2x100－r，要使x的系数为有理数，指数50－r2与r3都必须是整数，因此r应是6的倍数，即r＝6k(k∈Z)，又0≤6k≤100，解得0≤k≤1623(k∈Z)，∴x的系数为有理数的项共有17项．50－r2r3本课时栏目开关试一试研一研练一练习题课研一研·题型解法、解题更高效小结(1)求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r的值或取值范围．应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分．(2)对于若干个二项式相乘或相加，或扩展为简单的三项展开式的问题，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征．能够最大限度地考查对知识的把握程度．本课时栏目开关试一试研一研练一练习题课研一研·题型解法、解题更高效跟踪训练1(1)设(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)50＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a50x50，则a3的值是()A．C450B．2C350C．C351D．C451解析a3为x3的系数：a3＝C33＋C34＋…＋C350＝C451，∴选D.D本课时栏目开关试一试研一研练一练习题课研一研·题型解法、解题更高效(2)|x|＋1|x|－23的展开式中的常数项为________．解析∵|x|＋1|x|－23＝|x|－1|x|6，∴所求展开式中的常数项是－C36＝－20.－20本课时栏目开关试一试研一研练一练习题课研一研·题型解法、解题更高效题型二二项式系数的性质的应用例2已知2x－1xn展开式中二项式系数之和比(2x＋xlgx)2n展开式中奇数项的二项式系数之和少112，第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1120，求x.解依题意得2n－22n－1＝－112，整理得(2n－16)(2n＋14)＝0.解得n＝4，所以第二个展开式中二项式系数最大的项是第五项．依题意得C48(2x)4(xlgx)4＝1120，化简得x4(1＋lgx)＝1，所以x＝1，或4(1＋lgx)＝0，即x＝110，故所求x的值为1或110.本课时栏目开关试一试研一研练一练习题课研一研·题型解法、解题更高效小结利用C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n列出方程，通过解指数方程求出n的值；然后，利用二项式系数的性质，列出含x的有关方程，求出x的值，另外，解决该题时，要注意灵活变形．本课时栏目开关试一试研一研练一练习题课研一研·题型解法、解题更高效跟踪训练2若(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值．解在(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(2＋3)4，令x＝－1可得a0－a1＋a2－a3＋a4＝(3－2)4，∴(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)＝(3＋2)4(3－2)4＝[(3)2－22]4＝1.本课时栏目开关试一试研一研练一练习题课研一研·题型解法、解题更高效题型三二项式定理的综合应用例3(1)求证：5151－1能被7整除；(2)求1.9975精确到0.001的近似值．(1)证明因为5151－1＝(49＋2)51－1＝C0514951＋C1514950·2＋…＋C505149·250＋C5151·251－1，易知除C5151251－1以外其余各项都能被7整除．又因为251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－1＝C017717＋C117716＋…＋C16177＋C1717－1＝7(C017716＋C117715＋…＋C1617)显然能被7整除，所以5151－1能被7整除．(2)解1.9975＝(2－0.003)5＝C0525－C15×24×0.003＋C25×23×0.0032－C35×22×0.0033＋C45×21×0.0034－C55×20×0.0035≈32－0.24＋0.00072≈31.761.本课时栏目开关试一试研一研练一练习题课研一研·题型解法、解题更高效小结(1)利用二项式定理可以证明整除问题或求余数问题，在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式，要注意变形的技巧．(2)近似计算是二项式定理的重要应用，用二项式定理近似计算也是分析问题、解决问题的主要体现，在高考中时有考查．本课时栏目开关试一试研一研练一练习题课研一研·题型解法、解题更高效跟踪训练3求证：2n＋2·3n＋5n－4(n∈N*)能被25整除．证明原式＝4·6n＋5n－4＝4·(5＋1)n＋5n－4＝4(C0n·5n＋C1n·5n－1＋C2n·5n－2＋…＋Cnn)＋5n－4＝4(C0n·5n＋C1n·5n－1＋…＋Cn－2n·52＋Cn－1n·51)＋4Cnn＋5n－4＝4(C0n·5n＋C1n·5n－1＋…＋Cn－2n·52)＋20n＋4＋5n－4＝4(C0n·5n＋C1n·5n－1＋…＋Cn－2n·52)＋25n.以上各项均为25的整数倍，故2n＋2·3n＋5n－4能被25整除.本课时栏目开关试一试研一研练一练习题课练一练·当堂检测、目标达成落实处1．1.056的计算结果精确到0.01的近似值是()A．1.23B．1.24C．1.33D．1.34解析1.056＝(1＋0.05)6＝C06＋C16×0.05＋C26×0.052＋C36×0.053＋…＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…≈1.34.D本课时栏目开关试一试研一研练一练习题课练一练·当堂检测、目标达成落实处2．已知x0，(1＋x)101＋1x10展开式中的常数项为()A．1B．(C110)2C．C120D．C1020解析(1＋x)101＋1x10＝1＋x1＋1x10＝x＋1x＋210＝x＋1x20.设其展开式的通项为Tr＋1，则Tr＋1＝Cr20x10－r，当r＝10时，为常数项．D本课时栏目开关试一试研一研练一练习题课练一练·当堂检测、目标达成落实处3．设A＝37＋C27·35＋C47·33＋C67·3，B＝C17·36＋C37·34＋C57·32＋1，则A－B的值为()A．128B．129C．47D．0解析A－B＝37＋C27·35＋C47·33＋C67·3－C17·36－C37·34－C57·32－1＝C07·37－C17·36＋C27·35－C37·34＋…＋C67·3－1＝(3－1)7＝128.A本课时栏目开关试一试研一研练一练习题课练一练·当堂检测、目标达成落实处4.2x2－1x6的展开式中的常数项是第________项，整数项有________项，x的最高次项是第________项，二项式系数之和是________，系数之和是________．解析Tr＋1＝Cr6(2x2)6－r－1xr＝(－1)r·26－r·Cr6x12－3r.依题意12－3r＝0，解得r＝4，所以常数项是第5项；整数项是第1,2,3,4,5项，共5项；x的最高次项是第1项；二项式系数之和为64；系数之和为1.551641本课时栏目开关试一试研一研练一练习题课练一练·当堂检测、目标达成落实处1．求二项式展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数．2．求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入．3．确定二项展开式中的最大或最小项：利用二项式系数的性质．4．用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者前面)一、二项就可以了.本课时栏目开关试一试研一研练一练