《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版必修二空间图形的基本关系与公理(一)

本课时栏目开关填一填研一研练一练§4(一)[学习要求]1．理解空间中点、线、面的位置关系；2．理解空间中平行直线、相交直线、异面直线、平行平面、相交平面等概念；3．掌握三个公理及推论，并能运用它们去解决有关问题；4．会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质．[学法指导]通过桌面、黑板、地面等有形的实物，对平面有个感性认识，进而抽象出平面的概念及平面的基本性质及推论，感受我们所处的世界是一个三维空间，进而增强学习的兴趣，培养空间想象能力.本课时栏目开关填一填研一研练一练§4(一)1．异面直线：空间中的两条直线叫作异面直线．2．公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．3．公理2：经过的三点，有且只有一个平面．或简单说成：不共线的三点确定一个平面．填一填·知识要点、记下疑难点不同在任何一个平面内两点不在同一条直线上本课时栏目开关填一填研一研练一练§4(一)4．公理3：如果两个的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．5．公理2的推论：推论1：经过一条直线和这条，有且只有一个平面；推论2：经过两条直线，有且只有一个平面；推论3：经过两条直线，有且只有一个平面.填一填·知识要点、记下疑难点不重合直线外一点相交平行本课时栏目开关填一填研一研练一练§4(一)研一研·问题探究、课堂更高效[问题情境]在《西游记》中，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”．结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，如果把孙悟空看作是一个点，他的运动成为一条线，大家说如来佛的手掌像什么？本课时栏目开关填一填研一研练一练§4(一)研一研·问题探究、课堂更高效探究点一空间点、线、面的位置关系导引观察下面三个长方体回答下列问题：问题1观察长方体，你能发现长方体有多少个顶点？多少条棱？多少个面？棱所在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？答长方体有8个顶点、12条棱、6个表面．有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在直线与面平行，有些棱所在直线与面相交等等．本课时栏目开关填一填研一研练一练§4(一)研一研·问题探究、课堂更高效问题2观察导引中的图(1)，你能归纳出空间点与直线有怎样的位置关系？点与线的关系如何用字母表示？答点在直线上和点在直线外两种位置关系．点B在直线b上，但在直线a外，记作：B∈b，Ba.问题3如导引中的图(1)，空间点与平面的位置关系是怎样的？如何用字母表示它们的关系？答点在平面内和点在平面外．图(1)中，点B在平面α内，但点A在平面α外，记作：B∈α，Aα.本课时栏目开关填一填研一研练一练§4(一)研一研·问题探究、课堂更高效问题4观察图(1)中的直线a，b，c，从两直线是否共面及两直线有无交点来说明空间两直线有怎样的位置关系？答在图(1)中，直线a和b在同一个平面内，但没有公共点，这样的两条直线叫作平行直线，记作：a∥b；直线b和c只有一个公共点B，这样的两条直线叫作相交直线，记作：b∩c＝B；直线a和c不同在任何一个平面内，这样的两条直线叫作异面直线．问题5怎样通过图形来表示异面直线？答为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托．如下图：本课时栏目开关填一填研一研练一练§4(一)研一研·问题探究、课堂更高效问题6观察导引中的图(1)，你能归纳出直线和平面有怎样的位置关系？答直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交．问题7直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交的含义是什么？如何用字母表示它们的关系？答直线和平面有无数个公共点，称这条直线在这个平面内，如图(1)中直线b与平面α，记作：bα；直线和平面只有一个公共点，称这条直线与这个平面相交，如图(2)中直线b与平面α相交于点A，记作：b∩α＝A；直线和平面没有公共点，称这条直线与这个平面平行，如图(2)直线a平行于平面α，记作：a∥α.本课时栏目开关填一填研一研练一练§4(一)研一研·问题探究、课堂更高效答如图(2)中，平面α和平面β没有公共点，这样的两个平面叫作平行平面，记作：α∥β；如图(3)中，平面α和平面β不重合，但有公共点，这样的两个平面叫作相交平面．如果平面α与β相交于直线a，记作α∩β＝a.问题8空间中，平面和平面有怎样的位置关系？如何用字母表示它们的关系？本课时栏目开关填一填研一研练一练§4(一)研一研·问题探究、课堂更高效探究点二空间图形的公理问题1实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．从经验中我们能得到什么结论呢？答公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．问题2如何用符号语言表示公理1？公理1有怎样的用途？答A∈l，B∈l，A∈α，B∈α⇒lα；用途是判定直线是否在平面内．本课时栏目开关填一填研一研练一练§4(一)研一研·问题探究、课堂更高效问题3生活中经常看到用三角架支撑照相机；测量员用三角架支撑测量用的平板仪；有的自行车后轮旁只安装一只撑脚．上述事实和类似经验可以归纳出平面怎样的性质？答公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．问题4如何用符号语言表示公理2？公理2有怎样的用途？答符号表示为：A、B、C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α.公理2的用途是确定平面的依据．问题5如图所示，直线BC外一点A和直线BC能确定一个平面吗？为什么？答能确定一个平面，因为点A与直线BC上的两点B，C不共线，根据公理2，A，B，C三点确定一个平面ABC.本课时栏目开关填一填研一研练一练§4(一)研一研·问题探究、课堂更高效问题6如图所示，两条相交直线能不能确定一个平面？为什么？答能确定一个平面，因为直线AB，AC相交于点A，三点A，B，C确定的平面就是直线AB和AC确定的平面．问题7如图所示，两条平行直线能不能确定一个平面？为什么？答能确定一个平面，因为两条平行线中含有不共线的三点A，B，C，由公理2可知，这个平面是确定的．问题8我们已经看到各种棱柱、棱锥的每两个相交的面之间的交线都是直线段，由此你能总结出怎样的结论？答公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．本课时栏目开关填一填研一研练一练§4(一)研一研·问题探究、课堂更高效问题9如何用符号语言表示公理3？公理3有怎样的用途？答符号表示为：P∈α∩β⇒α∩β＝l，且P∈l；用途是①判断两个平面相交的依据；②判断点在直线上，即如果点P∈α，P∈β，且α∩β＝l，则点P∈l.本课时栏目开关填一填研一研练一练§4(一)研一研·问题探究、课堂更高效例1如图中的△ABC，若AB、BC在平面α内，判断AC是否在平面α内？解∵AB在平面α内，∴A点一定在平面α内，又BC在平面α内，∴C点一定在平面α内，因点A、点C都在平面α内，由公理1知，直线AC在平面α内．小结要判断或证明直线在平面内，只需要直线上的两点在平面内即可．本课时栏目开关填一填研一研练一练§4(一)研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1求证：两两平行的三条直线如果都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证直线a、b、c和l共面．证明如图．∵a∥b，由推论3可知直线a与b确定一个平面，设为α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈a，B∈b.则A∈α，B∈α.而A∈l，B∈l，∴由公理1可知lα.∵b∥c，由推论3可知直线b与c确定一个平面，设为β，同理可知lβ.本课时栏目开关填一填研一研练一练§4(一)研一研·问题探究、课堂更高效∵平面α和平面β都包含直线b与l，且l∩b＝B，∴由推论2可知：经过两条相交直线，有且只有一个平面．∴平面α与平面β重合，∴直线a、b、c和l共面．本课时栏目开关填一填研一研练一练§4(一)研一研·问题探究、课堂更高效例2如图，正方体AC1中，对角线A1C和平面BDC1交于O，AC与BD交于点M，求证：点C1、O、M共线．证明∵C1、O、M∈面BDC1，又C1、O、M∈面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．本课时栏目开关填一填研一研练一练§4(一)研一研·问题探究、课堂更高效小结证明点共线问题常用方法：(1)先找出两个平面，再证明这三个点都是这两个平面的公共点，根据公理3从而判定他们都在交线上；(2)选择两点确定一条直线，再证另一点在这条直线上．本课时栏目开关填一填研一研练一练§4(一)研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD上的点，已知EF和GH相交于点M，求证：EF、GH、BD三条直线交于一点．证明如图，连接BD，则BD＝面ABD∩面BCD，∵E∈AB，F∈AD，∴EF面ABD.又M∈EF，∴M∈面ABD①同理可证HG面CBD，M∈面BCD②由①②可得点M∈面ABD∩面BCD＝BD.故点B、D、M在同一直线上(或者点B、D、M共线)，即EF、GH、BD三条直线交于一点.本课时栏目开关填一填研一研练一练§4(一)练一练·当堂检测、目标达成落实处1．下列命题中正确的个数是()①一个平面长4米，宽2米；②2个平面重叠在一起比一个平面厚；③一个平面的面积是25平方米；④将一个平面内的一条直线延长，它就会伸出这个平面．A．0B．1C．2D．3解析几何中的平面是无限延展的，不可进行所有类型的度量，容易判断所有命题都不对．A本课时栏目开关填一填研一研练一练§4(一)练一练·当堂检测、目标达成落实处2．平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A．3B．4C．5D．6解析如图，用列举法知符合要求的棱为：BC、CD、C1D1、BB1、AA1，故选C.C本课时栏目开关填一填研一研练一练§4(一)练一练·当堂检测、目标达成落实处3．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成________部分．解析如图所示，三个平面α、β、γ两两相交，交线分别是a、b、c且a∥b∥c.观察图形，可得α、β、γ把空间分成7部分．7本课时栏目开关填一填研一研练一练§4(一)练一练·当堂检测、目标达成落实处1．三个公理的作用：公理1——判定直线在平面内的依据；公理2——判定点共面、线共面的依据；公理3——判定点共线、线共点的依据．2．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一条直线，再证明其他点也在这条直线上．3．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证明其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．4．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．本课时栏目开关填一填研一研练一练