自回归移动平均模型

第四章时间序列计量经济学模型的理论与方法第一节随机时间序列的特征第二节随机时间序列分析模型第三节协整分析与误差修正模型第四节向量自回归模型§4.1随机时间序列的特征一、随机时间序列模型简介二、趋势平稳与差分平稳三、时间序列平稳性的检验一、随机时间序列模型简介一个标有时间脚标的随机变量序列被称为时间序列(timeseries)。前提假设：时间序列是由某个随机过程(Stochasticprocess)生成的。即，假定序列X1,X2,…,XT的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到。当收集到一个时间序列数据集时，就得到该随机过程的一个可能结果或实现(realization)。假定某个时间序列是由某一随机过程生成，即假定时间序列Xt的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果时间序列Xt满足：1）均值E(Xt)=是与时间t无关的常数；2）方差Var(Xt)=2是与时间t无关的常数；3）协方差Cov(Xt,Xt+k)=k是只与时期间隔k有关，与时间t无关的常数；则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而该随机过程是一平稳随机过程（stationarystochasticprocess）。1.时间序列的平稳性经典计量模型的数学基础是极限法则，以独立随机抽样为样本，如果模型设定正确，模型随机误差项满足极限法则和由极限法则导出的基本假设，继而进行的参数估计和统计推断是可靠的。以时间序列数据为样本，破坏了随机抽样的假定，则经典计量模型的数学基础能否被满足成为一个重要问题。对照极限法则和时间序列的平稳性条件研究发现，如果模型设定正确，并且所有时间序列是平稳的，时间序列的平稳性可以替代随机抽样假定，模型随机误差项仍然满足极限法则。2.平稳性与经典回归3.白噪声和随机游走由定义知：白噪声序列是平稳的。一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立同分布序列：Xt=t，t~N(0,2)该序列常被称为是一个白噪声(whitenoise)。另一个简单的随机时间列序被称为随机游走(randomwalk)，该序列由如下随机过程生成：Xt=Xt-1+t这里，t是一个白噪声,t~N(0,2)。该序列同均值，但方差不同：•E(Xt)=E(Xt-1)X1=X0+1X2=X1+2=X0+1+2……Xt=X0+1+2+…+t•var(Xt)=t2，Xt的方差与时间t有关，而非常数，因此随机游走是非平稳序列。4.齐次非平稳过程如果一个时间序列是非平稳的，经过一次或多次差分后成为平稳序列，产生这样的非平稳序列的随机过程称为齐次随机过程。原序列转化为平稳序列所需的差分次数称为齐次的阶数。对随机游走序列Xt取一阶差分(firstdifference)：1ttttXXX由于t是一个白噪声，则序列{ΔXt}是平稳的。这提示我们如果一个时间序列是非平稳的，常常可以通过取差分的方法形成平稳序列。如果Yt是一阶齐次非平稳过程，则序列：Wt=Yt−Yt-1=Yt就是平稳的。如果Yt是二阶齐次非平稳过程，则序列：Wt=Yt−Yt-1=2Yt就是平稳的。5.单整与非单整•如果一个时间序列经过一次差分变成平稳序列，也称原序列是1阶单整(integratedof1)序列,记为I(1)过程。如果经过d次差分后变成平稳序列,则称原序列是d阶单整(integratedofd),记为I(d)。•I(0)代表平稳时间序列。•多次差分无法变为平稳的时间序列称为非单整的(non-integrated)。随机时间序列Yt的自相关函数(autocorrelationfunction,ACF)：k=k/0自相关函数是关于滞后期k的递减函数。对一个随机过程只有一个实现(样本),因此，只能计算样本自相关函数(Sampleautocorrelationfunction)：121()()ˆ()TkttktkTttYYYYYYkk6.自相关函数、Q统计量•为了检验自相关函数的某个数值ρk是否为0，可以用Bartlett的研究结果：如果时间序列由白噪声生成，则对所有k0，k~N(0,1/T)21ˆ(2)KkkQTTTk•为了检验所有k0的自相关函数ρk都为0的联合假设，可以采用Box-Pierce的Q统计量：•Q统计量近似地服从自由度为k的分布。如果计算出Q值大于显著性水平α下的临界值，就有1-α的把握拒绝所有k(k0)同时为0的原假设。21.确定性时间趋势描述非平稳经济时间序列一般有两种方法，一种方法是包含一个确定性时间趋势：(*)其中ut是平稳序列；a+t是线性趋势函数。这种过程也称为趋势平稳的，因为如果从式(*)中减去a+t，结果是一个平稳过程。二、趋势平稳与差分平稳随机过程ttYatu一般时间序列可能存在一个非线性函数形式的确定性时间趋势，例如可能存在多项式趋势：(**)t=1,2,,T同样可以除去这种确定性趋势，然后分析和预测去势后的时间序列。对于中长期预测而言，能准确地给出确定性时间趋势的形式很重要。如果Yt能够通过去势方法排除确定性趋势，转化为平稳序列，称为退势平稳过程。212ntntYatttu2.差分平稳过程非平稳序列中有一类序列可以通过差分运算，得到具有平稳性的序列，考虑下式(*)也可写成：(**)其中a是常数,ut是一个白噪声序列。式(*)的差分序列是含漂移a的随机游走，说明yt的差分序列yt是平稳序列。（**）式中L表示滞后算子。1tttyayu(1)tttyLyau实际上，以往讨论的回归方程的序列自相关问题暗含着残差序列是一个平稳序列。因为如果残差序列是一个非平稳序列，则说明因变量除了能被解释变量解释的部分以外，其余的部分变化仍然不规则，随着时间的变化有越来越大的偏离因变量均值的趋势，这样的模型是不能够用来预测未来信息的。残差序列是一个非平稳序列的回归被称为伪回归，这样的一种回归有可能拟合优度、显著性水平等指标都很好，但是由于残差序列是一个非平稳序列，说明了这种回归关系不能够真实的反映因变量和解释变量之间存在的均衡关系，而仅仅是一种数字上的巧合而已。伪回归的出现说明模型的设定出现了问题，有可能需要增加解释变量或者减少解释变量，抑或是把原方程进行差分，以使残差序列达到平稳。一个可行的办法是先把一个非平稳时间序列通过某种变换化成一个平稳序列。一个平稳的时间序列在图形上往往表现出一种围绕其均值不断波动的过程；而非平稳序列则往往表现出在不同的时间段具有不同的均值（如持续上升或持续下降）。1.平稳性检验的图示判断三、时间序列的平稳性检验tXtXtt(a)(b)图9.1平稳时间序列与非平稳时间序列图平稳时间序列与非平稳时间序列图单位根检验（unitroottest）是普遍应用的一类检验时间序列平稳性的方法，以ADF检验最为常用。(1)DF检验我们已知道，随机游走序列Yt=Yt-1+t是非平稳的，其中t是白噪声。序列可看成是随机模型Yt=Yt-1+t中参数=1时的情形。2.平稳性的单位根检验也就是说，对式Yt=Yt-1+t（*）回归，如果确实发现=1，就说随机变量Yt有一个单位根。（*）式可变成差分形式：Yt=(-1)Yt-1+t=Yt-1+t(**)检验（*）式是否存在单位根=1，也可通过（**）式判断是否有=0。一般地:检验一个时间序列Yt的平稳性，可通过检验带有截距项的一阶自回归模型Yt=+Yt-1+t（*）中的参数是否小于1。或者：检验其等价变形式Yt=+Yt-1+t（**）中的参数是否小于0。（*）式中的参数1或=1时，时间序列是非平稳的；对应于（**）式，则是0或=0。针对（**）式Yt=+Yt-1+t零假设H0：=0，即原序列存在单位根；备择假设H1：0，即原序列是平稳的；上述检验可通过OLS法下的t检验完成。Dicky和Fuller于1976年提出了这一情形下t统计量服从的分布（这时的t统计量称为统计量），即DF分布（见下表）。表9.1.3DF分布临界值表样本容量显著性水平2550100500∝t分布临界值（n=∝）0.01-3.75-3.58-3.51-3.44-3.43-2.330.05-3.00-2.93-2.89-2.87-2.86-1.650.10-2.63-2.60-2.58-2.57-2.57-1.28DF分布临界值表通过OLS法估计Yt=+Yt-1+t计算t统计量的值，与DF分布表中给定显著性水平下的临界值比较：如果：t临界值（左尾单侧检验），则拒绝原假设H0：=0，认为时间序列不存在单位根，是平稳的。DF检验的问题：在上述使用Yt=+Yt-1+t对时间序列进行平稳性检验中，实际上假定时间序列是由一阶自回归过程AR(1)生成的，并且随机误差项是白噪声。为了保证DF检验中随机误差项的白噪声特性，Dicky和Fuller对DF检验进行了扩充，形成了ADF（AugmentDickey-Fuller）检验。(2)ADF检验•ADF检验是通过以下3个模型完成的：3个模型检验的原假设都是：H0：=0，即存在一单位根，备择假设：H1:0。111111(*)(**)(***)mttititimttititimttititiYYYYYYYtYY模型1：模型2：模型3：同时估计出上述3个模型的适当形式，然后通过ADF临界值表检验零假设H0：=0。1）只要其中有一个模型的检验结果拒绝了零假设，就可以认为时间序列是平稳的；2）当3个模型的检验结果都不能拒绝零假设时，则认为时间序列是非平稳的。检验原理与DF检验相同。Dicky和Fuller推导了3个模型所使用的ADF分布临界值表。ADF检验也可判断时间序列的单整阶数。ADF检验过程：例1：检验1978~2000年间中国支出法GDP时间序列的平稳性及单整性。1）经过偿试，模型3取了2阶滞后：通过拉格朗日乘数检验对随机误差项的自相关性进行检验：LM(1)=0.92，LM(2)=4.16，•小于5%显著性水平下自由度分别为1与2的2分布的临界值，可见不存在自相关性。1121011.33229.270.0093(1.26)(1.91)(0.31)1.501.01(8.94)(4.95)ttttGDPTGDPGDPGDP•从看，t临界值(查ADF分布表)，不能拒绝存在单位根的零假设。2）经试验，模型2中滞后项取2阶：112357.450.0571.651.15(0.90)(3.38)(10.4)(5.63)(1)0.57,(2)2.85ttttGDPGDPGDPGDPLMLM•LM检验表明模型残差不存在自相关性。•从GDPt-1的参数值看，其t统计量为正值，大于临界值(查ADF分布表)，不能拒绝存在单位根的零假设。3）经试验，模型1中滞后项取2阶：LM检验表明模型残差项不存在自相关性，因此模型的设定是正确的。从GDPt-1的参数值看，其t统计量为正值，大于临界值(查ADF分布表)，不能拒绝存在单位根的零假设。结论：根据ADF检验结果，可断定中国支出法核算的GDP时间序列是非平稳的。1120.0631.7011.194(4.15)(11.46)(6.05)(1)0.17,(2)2.67ttttGDPGDPGDPGDPLMLMDependentVariable:D(GDP)Method:LeastSquaresSample(adjusted):19812000Includedobservations:20afteradjustmentsCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C-1011.330805.7016-1.2552170.2286@TREN