高中新课程数学(苏教)二轮复习精选第一部分 25个必考问题 专项突破《必考问题19 空间向量与立体

必考问题19空间向量与立体几何返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛抓住命题方向返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【真题体验】(2011·江苏，22)如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，点N是BC的中点，点M在CC1上．设二面角A1­DN­M的大小为θ.(1)当θ＝90°时，求AM的长；(2)当cosθ＝66时，求CM的长．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛解建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz.设CM＝t(0≤t≤2)，则各点的坐标为A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N12，1，0，M(0,1，t)，所以DN→＝12，1，0，DM→＝(0,1，t)，DA1→＝(1,0,2)，设平面DMN的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则n1·DN→＝0，n1·DM→＝0，即x1＋2y1＝0，y1＋tz1＝0.令z1＝1，则x1＝2t，y1＝－t，所以n1＝(2t，－t,1)是平面DMN的一个法向量．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛设平面A1DN的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则n2·DA1→＝0，n2·DN→＝0，即x2＋2z2＝0，x2＋2y2＝0，令z2＝1，则x2＝－2，y2＝1，所以n2＝(－2,1,1)是平面A1DN的一个法向量．(1)因为θ＝90°，所以n1·n2＝－5t＋1＝0，解得t＝15，从而M0，1，15，所以AM＝－12＋12＋152＝515.(2)因为|n1|＝5t2＋1，|n2|＝6，所以cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1||n2|＝－5t＋16·5t2＋1，因为〈n1，n2〉＝θ或π－θ，所以－5t＋16·5t2＋1＝66，解得t＝0，或t＝12，所以根据图形和(1)的结论可知t＝12，从而CM的长为12.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【高考定位】高考对本内容的考查主要有：(1)空间向量的坐标表示及坐标运算，属B级要求；(2)线线、线面、面面平行关系判定，属B级要求；(3)线线、线面、面面垂直的判定，属B级要求；(4)求异面直线、直线与平面、平面与平面所成角，属B级要求．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【应对策略】掌握平面向量相关的坐标运算，并类比到空间中．求平面的法向量是重要的基本功，有现成垂线的时候一定要利用，一般利用垂直于平面内的两条相交直线来求解法向量．法向量求解过程中一定要注意方程组求解的准确性，并使法向量的形式尽可能简单．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛必备知识方法返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛必备知识1．异面直线所成的角设a，b分别为异面直线a，b的方向向量，则异面直线a，b的夹角θ满足cosθ＝|a·b||a||b|.2．直线与平面所成的角设a是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，则直线l与平面α所成的角θ满足sinθ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛3．二面角的平面角设二面角α­a­β的平面角为θ.(1)若a是α的方向向量，b⊂α，c⊂β，a·b＝0，a·c＝0，则a⊥b，a⊥c，故|cosθ|＝|cos〈b，c〉|＝|b·c||b||c|.(2)若m，n，分别为平面α，β的法向量，则|cosθ|＝|cos〈m，n〉|＝|m·n||m||n|.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛必备方法1．证明空间任意三点共线的方法设空间三点P，A，B(1)PA→＝λPB→；(2)对空间任一点O，OP→＝OA→＋tAB→；(3)对空间任一点O，OP→＝xOA→＋yOB→(x＋y＝1)．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛2．证明空间的四点共面的方法：设空间四点P，M，A，B，(1)MP→＝xMA→＋yMB→；(2)对空间任一点O，OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→；(3)对空间任一点O，OP→＝xOM→＋yOA→＋zOB→(x＋y＋z＝1)．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛3．利用空间向量求空间角(1)两条异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a1∥a，b1∥b，则a1与b1所成的锐角或直角叫a与b所成的角．向量求法：sinθ＝|cosφ|＝|a·b||a||b|；(2)直线和平面所成的角设直线l的方向向量a，平面的法向量是u，直线与平面所成角为θ，a与u的夹角为φ，则有sinθ＝|cosφ|＝|a·u||a||u|；返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛(3)二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所成的图形叫二面角，向量求法：n1和n2是平面的两个法向量，则它们的夹角或其补角大小即为二面角平面角的大小|cosθ|＝|n1·n2||n1||n2|.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛热点命题角度返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛命题角度一应用向量证明平行与垂直[命题要点](1)线线、线面、面面平行关系判定；(2)线线、线面、面面垂直的判定．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【例1】►如图，在直三棱柱ADEBCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．运用向量方法证明：(1)OM∥平面BCF；(2)平面MDF⊥平面EFCD.[审题视点]找准建立空间直角坐标系的原点．[听课记录]返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛证明法一由题意，AB，AD，AE两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形边长为1，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(1,0,1)，M12，0，0，O12，12，12.(1)OM→＝0，－12，－12，BA→＝(－1,0,0)，∴OM→·BA→＝0，∴OM→⊥BA→.∵棱柱ADE­BCF是直三棱柱，∴AB⊥平面BCF，∴BA→是平面BCF的一个法向量，且OM⊄平面BCF，∴OM∥平面BCF.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛(2)设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．∵DF→＝(1，－1,1)，DM→＝12，－1，0，DC→＝(1,0,0)，由n1·DF→＝n1·DM→＝0，得x1－y1＋z1＝0，12x1－y1＝0，解得y1＝12x1，z1＝－12x1，令x1＝1，则n1＝1，12，－12.同理可得n2＝(0,1,1)．∵n1·n2＝0，∴平面MDF⊥平面EFCD.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛法二(1)OM→＝OF→＋FB→＋BM→＝12DF→－BF→＋12BA→＝12(DB→＋BF→)－BF→＋12BA→＝－12BD→－12BF→＋12BA→＝－12(BC→＋BA→)－12BF→＋12BA→＝－12BC→－12BF→.∴向量OM→与向量BF→，BC→共面，又OM⊄平面BCF，∴OM∥平面BCF.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛(2)由题意知，BF，BC，BA两两垂直，∵CD→＝BA→，FC→＝BC→－BF→，∴OM→·CD→＝－12BC→－12BF→·BA→＝0，OM→·FC→＝－12BC→－12BF→·(BC→－BF→)＝－12BC→2＋12BF→2＝0.∴OM⊥CD，OM⊥FC，又CD∩FC＝C，∴OM⊥平面EFCD.又OM⊂平面MDF，∴平面MDF⊥平面EFCD.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛(1)要证明线面平行，只需证明向量OM→与平面BCF的法向量垂直；另一个思路则是根据共面向量定理证明向量OM→与BF→，BC→共面．(2)要证明面面垂直，只要证明这两个平面的法向量互相垂直；也可根据面面垂直的判定定理证明直线OM垂直于平面EFCD，即证OM垂直于平面EFCD内的两条相交直线，从而转化为证明向量OM→与向量FC→、DC→垂直．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【突破训练1】如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE.则点N、E的坐标分别为22，22，0、(0,0,1)．∴NE→＝－22，－22，1.又点A、M的坐标分别是(2，2，0)、22，22，1返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛∴AM→＝－22，－22，1.∴NE→＝AM→且NE与AM不共线．∴NE∥AM.又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.(2)由(1)知AM→＝－22，－22，1，∵D(2，0,0)，F(2，2，1)，∴DF→＝(0，2，1)∴AM→·DF→＝0，∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛命题角度二利用向量计算空间角[命题要点](1)求算异面直线所成角；(2)求直线与平面所成角；(3)求二面角．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【例2】►(2012·无锡模拟)如图，边长为2的正方形A1ACC1绕直线CC1旋转90°得到正方形B1BCC1，D为CC1的中点，E为A1B的中点，G为△ADB的重心．(1)求直线EG与直线BD所成的角；(2)求直线A1B与平面ADB所成角的正弦值．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛[审题视点]用坐标表示EG→、BD→、A1B→并求出平面ADB的法向量求解．[听课记录]解建立如图所示的空间直角坐标系．(1)由题意得A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(0,0,1)，A1(2,0,2)，则E(1,1,1)，G23，23，13.BD→＝(0，－2,1)，GE→＝13，13，23.cos〈BD→，GE→〉＝0，所以直线EG与直线BD所成的角为π2.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛(2)BA1→＝(2，－2,2)，AB→＝(－2,2,0)，AD→＝(－2,0,1)，设平面ADB的一个法向量n＝(x，y，z)，则n·AB→＝0，n·AD→＝0，得－2x＋2y＝0，－2x＋z＝0，取x＝1，n＝(1,1,2)．设求直线A1B与平面ADB所成角为θ，则sinθ＝|cos〈BA1→，n〉|＝23.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛异面直线所成角的余弦等于两条异面直线方向向量夹角余弦的绝对值；线面所成角的正弦等于平面的法向量与直线方向向量夹角余弦的绝对值；二面角平面角余弦与二面角两平面法向量夹角的余弦绝对值相等，其正负可以通过观察二面角是锐角还是钝角进行确定．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【突破训练2】在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB＝PA＝1aBC(a＞0)．(1)当a＝1时，求证：BD⊥PC；(2)若BC边上有且只有一个点Q，使得PQ⊥QD，求此时二面角A­PD­Q的余弦值．返回上页下页抓住命题方向必