历年高考数学考前提醒82个问题(224页)

高考数学考前提醒的82个问题1.对于集合,,AB当AB时，你是否注意到一个极端情况：A或B,求集合的子集时,是否忘记了?【例】已知2210,AxxpxxR，AR，求p的取值范围.【分析】AR,容易理解为方程2210xpx的两根为非正,而忽视了A的可能,此题应分为A,A为单元素集合,A含有两个非正元素三种情况讨论.（答案:4,p）.2.对于含有nnN个元素的有限集合M,其子集,真子集,非空子集,非空真子集的个数依次为2,21,21,22.nnnn【例】(2006年,全国卷Ⅰ,理,12)设集合1,2,3,4,5I。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有(A)50种(B)49种(C)48种(D)47种【分析及解】这是一个计数问题，.从条件(2)中的“B中最小的数”入手，显然有四种情形：①B中最小的数为2.此时A仅有1种选法,即1的非空子集数,而B可以有8种选法,即3,4,5的所有子集数，有188种选法.②B中最小的数为3,此时A有3种选法,即1,2的非空子集数,而B有4种选法,即4,5的所有子集数，有3412种选法.③B中最小的数为4,此时A有7种选法,即1,2,3的非空子集数,而B有2种选法,即5的所有子集数，有7214种选法④B中最小的数为5,此时A有15种选法,即1,2,3,4的非空子集数,而B仅有1种选法,即5在B中.有15115种选法由以上,不同的选择方法共有812141549种.3.映射的概念你理解吗?是否注意到了在:fAB中,A中元素的任意性和B中元素的唯一性?4.记住函数的几个重要性质：（1）关于对称性.①如果函数yfx对于xR,都有faxfax,那么,函数yfx的图象关于直线xa对称;如果函数yfx对于xR,都有faxfbx,那么,函数yfx的图象关于直线2abx对称;②如果函数yfx对于xR,都有faxfax,那么,函数yfx的图象关于点(,0)a对称;如果函数yfx对于xR,都有2faxfaxb,那么,函数yfx的图象关于点(,)ab对称;③函数yfx与yfx的图象关于直线0x对称;函数yfx与yfx的图象关于直线0y对称;函数yfx与yfx的图象关于原点0,0对称;④函数yfax与yfax的图象关于直线0x对称;函数yfax与yfbx的图象关于直线2abx对称;⑤函数yfx与1yfx的图象关于直线yx对称;(2)关于奇偶性与单调性的关系.①如果奇函数yfx在区间0,上是递增的,那么函数yfx在区间,0上也是递增的;②如果偶函数yfx在区间0,上是递增的,那么函数yfx在区间,0上是递减的;(3)关于复合函数的单调性.如果函数,yfuugx在区间D上定义,①若yfu为增函数,ugx也为增函数,则yfgx为增函数;②若yfu为增函数,ugx为减函数,则yfgx为减函数;③若yfu为减函数,ugx也为减函数,则yfgx为增函数;④若yfu为减函数,ugx为增函数,则yfgx为减函数;(4)关于分段函数的单调性.若函数,,,,gxxabfxhxxcd,gx在,ab上是增函数,hx在,cd上是增函数,则fx在,,abcd上不一定是增函数,若使得fx在,,abcd上=不一定是增函数,需补充条件:gbhc.【例】（2006年北京卷）已知(31)4,1()log,1aaxaxfxxx是(,)上的减函数，那么a的取值范围是（A）0,1（B）10,3（C）11,73（D）1,17【分析及解】本题从表面上看并不困难,若(31)4fxaxa为减函数,则13103aa,若logafxx为减函数,则01a,于是a的取值范围是10,3但是,这个结果是错误的,对(B)是误选.为什么呢？解题时，忽略了分段函数的问题.因为是分段函数,又要求在(,)上是减函数,就必须满足(31)1410aaf,即17a,于是1173a,故选(C).(5)关于图象变换.①函数0yfxaa的图象是把函数yfx的图象沿x轴向左平移a个单位得到的;②函数0yfxaa的图象是把函数yfx的图象沿x轴向右平移a个单位得到的;③函数0yfxaa的图象是把函数yfx的图象沿y轴向上平移a个单位得到的;④函数0yfxaa的图象是把函数yfx的图象沿y轴向下平移a个单位得到的.(6)关于周期性.①若函数满足faxfx,则其周期Ta;②若函数满足faxfx,则其周期2Ta③若函数满足1fxafx(其中0,0fxa),则其周期2Ta④若函数满足faxfax且fbxfbx,即函数yfx的图象关于直线xa对称又关于直线xb对称(ab),则其周期2()Tab⑤若偶函数yfx的图象关于直线xa对称,则其周期2Ta(即④中的0b);⑥若函数满足fxafxb(ab),其周期Tab;⑦若函数满足faxfax且fbxfbx,即函数yfx的图象关于直线xa对称又关于点,0b对称(ab),则其周期4()Tab⑧若奇函数yfx的图象关于直线xa对称,则其周期4Ta(即⑦中的0b);【例1】(2006年安徽卷,理)函数fx对于任意实数x满足条件12fxfx，若15,f则5ff__________.【分析及解】由12fxfx得14()2fxfxfx，所以(5)(1)5ff，则115(5)(1)(12)5fffff。【例2】(1996年全国卷)设xf是,上的奇函数,xfxf2,当10x时,xxf,则5.7f等于().（A）0.5（B）0.5（C）1.5（D）1.5【分析及解】因为xf是,上的奇函数,且xfxf2则2fxfx，于是，xf关于原点成中心对称，关于1x成轴对称，因此，xf是以4为周期的周期函数.由10x时,xxf,及xf是以4为周期的周期函数,则7.57.580.50.50.5.ffff故选(B).关于xf是以4为周期的周期函数.还可作如下证明:xfxf242fxfxfx.(7)关于奇偶性.①若奇函数yfx在0x处有定义,则00f;②任何一个定义域关于原点对称的函数Fx,总可以表示为一个奇函数fx和一个偶函数gx的和,其中,2FxFxfx2FxFxgx.(8)关于反函数.①你掌握求反函数的步骤了吗?(求yfx的值域反求x互换,xy注明定义域)②反函数存在的充分条件是:y与x一一对应或yfx在区间D上单调;③若函数yfx在区间D上单调递增,则其反函数也在区间D上单调递增④关于反函数的一个结论:11,ffaaffaa或者1.fabfba⑤求一个函数的反函数时,要先求反函数,后求值.(例如求11fx,顺序是先求1fx,再代入1x得11fx).5.求方程或不等式的解集,或者求定义域,值域时,要按要求写成集合的形式.6.求函数的解析式,特别是解应用题是的函数式,以及求反函数时,一定要注明定义域.7.充要条件的概念要掌握好,特别是会用集合的子集的方法判断充要条件.8.要区分逻辑联结词的不同用法,了解四种命题的相互关系,知道什么时候用反证法.9.“方程20axbxc有实数解”转化为“240bac”，你是否注意到“0a”（除解决二次方程的有关问题时要注意之外，在解决直线与圆锥曲线的位置关系时，也常常遇到），在题目中没有指出是“二次”函数，方程，不等式时，就要分类讨论0,0aa的不同情况，不要忽略0a的讨论.【例】(2005年，重庆卷)已知椭圆C1的方程为1422yx，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.（Ⅰ）求双曲线C2的方程；（Ⅱ）若直线2:kxyl与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足6OBOA（其中O为原点），求k的取值范围.【分析及解】（Ⅰ）设双曲线C2的方程为22221xyab，则.1,31422222bcbaa得再由故C2的方程为.1322yx(Ⅱ)将2kxy代入1422yx得.0428)41(22kxxk由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221kkk即.412k①将2ykx代入22221(13)62903xykxkx得.由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得2222130,(62)36(13)0.kkk即213k且21k②设(,),(,),AABBAxyBxy则22629,1313ABABkxxxxkk223766,.31ABABABABkOAOBxxyyxxyyk由得而于是22376,31kk解此不等式得.31151322kk或③由①、②、③得.11513314122kk或故k的取值范围为)1,1513()33,21()21,33()1513,1(10.判断函数的奇偶性,要注意定义域是否关于原点对称?11.证明函数的单调性的方法为定义法和导数法.12.要知道函数bfxaxx0,0ab的有关性质:①定义域：,00,，②奇偶性：奇函数；③单调性：在区间,ba和,ba上单调递增，,0ba和0,ba上单调递减；④在定义域内的极值是bxa时有极大值，bxa时有极小值。在指定的定义域内的极值或最值要根据单调性或图象来判断。⑤记住bfxaxx0,0ab的图象的草图。⑥要能够类比得出22,nnbbfxaxfxaxnxxN的有关性质.13.是否掌握了指数函数和对数函数的性质和图象?在解指数函数和对数函数的有关问题时要注意“底”的要求：0.1aa，在解对数函数的有关问题时，要注意定义域.14.要记住对数恒等式：logaNaN和换底公式：logloglogcacbba，特别是111loglogloglognnaababbab.15.记住弧度制下的弧长公式和扇形面积公式：1,.2lrSlr16.应用三角函数线可以得到：0,2x时,sintanxxx.17.三角函数sin,cos,tanyxyxyx的图象能迅速画出吗?对于它们的性质(定义域,值域,单调性,奇偶性,最值,对称性,周期性等)是否