太原理工大学计算机数值方法实验报告

本科实验报告课程名称：计算机数值方法实验地点：专业班级：学号：学生姓名：指导教师：成绩：年月日太原理工大学学生实验报告学院名称计算机科学与技术学院专业班级学号学生姓名实验日期成绩课程名称计算机数值方法实验题目实验一方程求根一、实验目的和要求：（1）实验目的：熟悉使用二分法、迭代法、牛顿法、割线法等方法对给定的方程进行根的求解。求方程：f(x)=x*x*x+4*x*x-10=0在[1,2]内的一个实根，且要求满足精度|x*-xn|0.001（2）实验要求：1.应用C,C++或JAVA编出通用程序，源程序要有详细的注释和说明；2.比较计算结果，对不同方法进行比较分析；3.实验完成，提交实验结果并写出报告，分析计算结果是否符合问题的要求，找出计算成功的原因或计算失败的教训。二、实验内容和原理：（1）增值寻根法：基本思想为：从初始值x0开始，按规定的一个初始步长h来增值。令x（n+1）=x（n）+h,(n=0,1,2...),同时计算f（x（n+1））.在增值过程中会遇到三种情况：1.f（x(n+1)）=0,此时x(n+1)即为方程根。2.f（x(n)）和f（x（n+1））同号，说明区间内无根。3.f（x(n)）和f（x（n+1））同号，说明区间内有根，则把步长缩小，直至满足精度要求为止，x(n)或x(n+1)就是满足精度的近似根。（2）二分法：基本思想为：设f(x)在[a,b]内连续，且f(a)*f(b)0，则方程f(x)=0在(a,b)内有实根x*.然后逐步对分区间[a,b]，通过判断两端点函数值乘积的符号，进一步缩小有根区间从而求出满足精度要求的近似值。（3）牛顿迭代法：基本思想为给定一个初始值由牛顿法的迭代公式：x(n+1)=x(n)-f(x(n))/f’(x(n))(n=0,1,2...)逐步求出x（n），直至（x（n+1）-x(n)）的绝对值小于给定精度，则x（n+1）即可作为近似值。（4）双点割线法：由给出的两个初始近似值，再根据双点割线法迭代公式：x(n+1)=x(n)-(f(x(n))/(f(x(n))-f(x(n-1)))*(x(n)-x(n-1)),(n=1,2,3...)逐步求出x（n），直至x(n+1)-x(n)的绝对值满足精度，则x（n+1）即可作为近似值。（5）单点割线法：由给出的两个初始近似值，再根据双点割线法迭代公式：x(n+1)=x(n)-(f(x(n))/(f(x(n))-f(x(0)))*(x(n)-x(0)),(n=1,2,3...)逐步求出x（n），直至x(n+1)-x(n)的绝对值满足精度，则x（n+1）即可作为近似值。三、主要仪器设备：笔记本电脑四、操作方法：源代码：（1）增值寻根法：#includestdio.hdoublefun(doublex){//原函数return(x*x*x+4*x*x-10);//求解方程f(x)=x*x*x+4*x*x-10=0的根，精度为10-3.}intmain(){doublea=1.25,h=1,x=a;printf(初始近似值为：%lf\n,a);do{if(fun(x)==0){printf(根为：%f,x);return0;}/*如果初始值函数值为0，则初始值即为根*/elseif(fun(x)*fun(x+h)0)/*如果fun(x)和fun(x+h)同号则使X加h并跳出本次循环执行下一次*/{x=x+h;continue;}elseif(fun(x)*fun(x+h)0)//若异号则说明在X和X+h之间存在函数根，则缩//短步长继续寻根{h=h/10.0;}}while(h0.001);//当不满足精度要求时继续执行循环体printf(根为：%f\n,x);//跳出循环说明满足精度要求则x可近似作为方程根return0;}（2）二分法：#includestdio.h#includemath.h#defineesp1e-3//精度doublef(doublex)//原函数{return(x*x*x+4*x*x-10);}doubleroot(double(*fun)(double),doubleleft,doubleright,doubledeviation)//用二分法求方程根{//其中形参*fun为指向原函数的指针doublex,y;while(fabs(right-left)deviation)//当不满足精度要求继续执行循环体{x=(right+left)/2;//求出中点的横坐标y=fun(x);//计算中点的函数值if(y==0)returnx;//如果中点函数值等于0则中点即为所求根if(y0)right=x;//若中点函数值大于0则令其为区间右终点值elseleft=x;//否则令其为左端点值}return(right+left)/2;//以中点值作为最终近似值}intmain(){doublea,b;printf(请输入区间左右端点值：\n);scanf(%lf%lf,&a,&b);printf(近似根为%lf\n,root(f,1,2,esp));return0;}（3）牛顿迭代法：#includestdio.h#includemath.hdoublef1(doublex)//原函数{returnx*x*x+4*x*x-10;}doublef2(doublex)//导函数{return3*x*x+8*x;}doublenewton(doublex0,doublee){doublex1;do{x1=x0;//按牛顿迭代公式Xn+1=Xn-(f1(Xn)/f2(Xn))求解x0=x1-f1(x1)/f2(x1);}while(fabs(x0-x1)e);//当不满足精度要求时继续执行循环体returnx0;//满足精度要求时返回Xn+1的值}intmain(){doublex0=1.5;//初始近似值doublee=pow(10,-3);//精度printf(初始近似值为：%lf\n,x0);printf(近似根为：%lf\n,newton(x0,e));return0;}（4）双点割线法：#includestdio.h#includemath.h#defineesp10e-3//精度doublef(doublex)//原函数{return(x*x*x+4*x*x-10);}doublefun(doublex0,doublex1)//双点割线法求近似根{doublex;inti=0;while(fabs(x1-x0)esp)//当不满足精度要求继续执行循环体{x=x1-f(x1)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0));x0=x1;x1=x;i++;}//达到精度要求后跳出循环printf(执行循环次数为i=%d\n,i);return(x1);//返回最终近似根}main(){doublem,n,result;printf(请输入两个双精度初始近似值mn:\n);//输入两个双精度初始近似值scanf(%lf%lf,&m,&n);result=fun(m,n);printf(result=%lf\n,result);//输出最后结果，保留四位小数}（5）单点割线法：#includestdio.h#includemath.h#defineesp5*(10e-3)//精度doublef(doublex)//原函数{return(x*x*x-3*x-1);}doublefun(doublex0,doublex1)//单点割线法求近似根{doublex;inti=0;while(fabs(x1-x0)esp)//当不满足精度要求继续执行循环体{x=x1-f(x1)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0));x1=x;i++;}//达到精度要求后跳出循环printf(执行循环次数为i=%d\n,i);return(x1);//返回最终近似根}main(){doublem,n,result;printf(pleaseinputmn:\n);//输入两个双精度初始近似值scanf(%lf%lf,&m,&n);result=fun(m,n);printf(result=%.4f\n,result);//输出最后结果，保留四位小数}五、实验结果：程序运行结果：（1）增值寻根法：初始近似值为：1.250000根为：1.360000Pressanykeytocontinue（2）二分法：请输入区间左右端点值：12近似根为1.364746Pressanykeytocontinue（3）牛顿迭代法：初始近似值为：1.500000近似根为：1.365230Pressanykeytocontinue（4）双点割线法：请输入两个双精度初始近似值mn:12执行循环次数为i=4result=1.365212Pressanykeytocontinue（5）单点割线法：pleaseinputmn:12执行循环次数为i=15result=1.365200Processreturned14(0xE)executiontime:4.411sPressanykeytocontinue.六、结果分析：（1）通过对不同方法比较可知，收敛速度：牛顿迭代法双点割线法单点割线法,二分法和增值寻根法的收敛速度就相对较慢，且结果相对前三种方法较不精确。（2）但二分法和增值寻根法的优点是简单，对f(x)只要求连续，局限性是只能用于求实根，不能求复根及偶数重根。（3）牛顿法则收敛很快，而且可求复根，缺点是对重根收敛较慢，要求函数一阶导数存在。（4）割线法省去了牛顿法求函数导数过程，简化了计算步骤，且收敛速度也较快，其中双点割线法比单点割线法收敛速度快。七、心得体会：本次实验内容较为简单，最主要的是要学会将数学方法转变为程序上机实现，同时要学会对不同方法进行比较，确定时间复杂度最小的算法。实验地点指导教师太原理工大学学生实验报告学院名称计算机科学与技术学院专业班级学号学生姓名实验日期成绩课程名称计算机数值方法实验题目实验二线性方程组的直接求解法一、实验目的和要求:（1）实验目的：合理利用Gauss消元法、LU分解法求解下列方程组：0.001X1+2.000X2+3.000X3=1.000-1.000X1+3.712X2+4.623X3=2.000-2.000X1+1.072X2+5.643X3=3.000（2）实验要求：1.应用C,C++或JAVA编出通用程序，源程序要有详细的注释和说明；2.比较计算结果，对不同方法进行比较分析；3.实验完成，提交实验结果并写出报告，分析计算结果是否符合问题的要求，找出计算成功的原因或计算失败的教训。二、实验内容和原理:（1）Gauss消元法：基本思想为：对于n阶线性方程组，只要各步主元素不为0，经过n-1步消元，就可以得到一个等价的的系数矩阵为上三角形矩阵的方程组，然后再利用回代过程即可求得原方程的解。时间复杂度约为O（n3）。（2）Gauss列主元素消元法：基本思想：在用高斯消元法求解方程组时，用作除法的小主元素可能使舍入误差增加，因此需要考虑依次按列选主元素，然后换行使之变到主元素位置上，再进行消元计算。（3）Gauss完全主元素消元法：基本思想：首先在系数矩阵A中选取绝对值最大的元素作为主元素，然后交换相应行和列，进行高斯消元，其次在A（1）的2~n行及2~n列选取主元素进行消元，依次进行下去。（4）LU分解法：当系数矩阵A满足顺序主子式不为0时，可将A分解为为一个单位下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，且分解唯一，然后方程式变为Ly=b,Ux=y,接着先求y，再求出x。三、主要仪器设备：笔记本电脑四、操作方法：(1)Gauss消元法:源代码：/*矩阵A用于存放线性方程组的增广矩阵，向量X表示线性方程组的解,例题为P43例2*/#includestdio.h#includemath.hintmain(){doublem,p,A[10][10],X[10];