中考一次函数、反比例函数、二次函数

二次函数函数一次函数正比例函数一次函数反比例函数（一）、常量与变量1.常量与变量：在某一变化过程中，不断变化的数量叫变量.在某一变化过程中保持不变的量叫常量.2.变量之间的关系:在某一变化中,如果一个变量Y随着另一个变量X的变化而不断变化,那么X叫自变量,Y叫因变量.一、函数（二）、函数1.一般地.在某个变化中,有两个变量x和y,如果给定一个x的值,相应地就确定了y的一个值,那么我们称y是x的函数,其中x叫自变量,y叫因变量.2.要点：①是一个变化的过程；②有两个变量；3函数的实质是两个变量之间的关系.解析法:用一个式子表示函数关系;列表法:用列表的方法表示函数关系;图象法:用图象的方法表示函数关系.（三）、函数表示方法二、一次函数1.若两个变量x,y的关系可以表示成y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的形式,则称y是做x的一次函数(x为自变量,y为因变量).2.特别地,当常数b＝0时,一次函数y=kx+b(k≠0)就成为:y=kx(k是常数，k≠0),称y是x的正比例函数.3.一次函数与正比例函数之间的关系:正比例函数是当b=0时的特殊的一次函数.（一）、一次函数:由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可.一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-kb，0）画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可1、正比例函数与一次函数的关系:正比例函数一次函数y=kx(k≠0)y=kx+b(k≠0)(b=0)正比例函数是特殊的一次函数图象与性质:都是一条直线xyxyk0k0b=0b0b0b=0b0b0(0,b)bb2、一次函数y=kx+b(k≠0)的图象的位置及增减性:•y随x的增大而增大;xyoxyoy随x的增大而减小.b0b0b=0b0b0b=0当k0时当k0时3、特殊的一次函数——正比例函数y=kx（k≠0）的性质：1正比例函数y=kx的图象必经过原点；2当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；3当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．4、由于k，b的符号不同,直线所经过的象限也不同；①当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；②当k＞0，b0时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；③当k﹤0，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；④当k﹤0，b﹤0时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．（二）、一次函数,一元一次方程和不等式的关系•(1)当y=0时,为一元一次方程kx+b=0,这时方程的解为:•(2)当y0时,为一元一次不等式kx+b0;当y0时,为一元一次不等式kx+b0.这时不等式的解集分别为:一次函数,一元一次方程,一元一次不等式的关系驶向胜利的彼岸xyoY=kx+b(o,b)Y=0·Y0Y0;kbx.;kbxkbx二、反从例函数2．反比例函数的概念需注意以下几点：(1)k为常数，k≠0；K的几何意义。(2)自变量x的取值范围是x≠0的一切实数,且要使实际问题有意义。xkyy=kx-1xy=k1．反比例函数：一般地，形如(k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数.其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数.kyx3、反比例函数的图象及性质•1.形状反比例函数的图象是由两支双曲线组成的.因此称反比例函数的图象为双曲线;•2.位置•当k0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内;•当k0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内;xyoxyoxkyxky•当k0时,双曲线的两支分别在第一、三象限，在每一象限内,y随x的增大而减小xyoxyoxkyxky当k0时,双曲线的两支分别在第二、四象限，在每一象限内,y随x的增大而增大•4.图象的发展趋势反比例函数的图象无限接近于x,y轴,但永远达不到x,y轴,画图象时,要注意这点。xyoxyoxkyxky反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x和y=-x。0xy12y=—kxy=x双曲线关于坐标原点中心对称，即双曲线一支上任意一点A(a,b)关于原点对称点A'(-a,-b)比在双曲线的另一支上。y=-x5.对称性函数正比例函数反比例函数解析式图象形状K0K0位置增减性位置增减性y=kx(k≠0)(k是常数,k≠0)y=xk直线双曲线一三象限y随x的增大而增大一三象限y随x的增大而减小二四象限二四象限y随x的增大而减小y随x的增大而增大填表分析正比例函数和反比例函数的区别10、正比例与反比例函数的联系与区别PoPPPPxy6、反比例函数中的比例系数k的几何意义kxy=(k≠0）总等于常量|k|xP(x,y)oy任取一点，过这一点分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积kxy=如图，在反比例函数的图象上面积不变性：7、利用反比例函数解决实际问题:关键是:建立反比例函数模型.8、主要类型:(1)形积类:(2)行程类:(3)压强类:(4)电学类:体积不变,底面积与高成反比例.总路程不变,速度与时间成反比例.压力不变,压强与面积成反比例.电压不变,电流与电阻成反比例.(5)杠杆原理:阻力×阻力臂=动力×动力臂电压不变,输出功率与电阻成反比例.则垂足为轴的垂线作过有上任意一点是双曲线设,,)1(:,)0(),(AxPkxkynmP||21||||2121knmAPOASOAPP(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx9、面积性质（一）).(||||||,,,,)2(如图所示则垂足分别为轴的垂线轴分别作过矩形knmAPOASBAyxPOAPBP(m,n)AoyxBP(m,n)AoyxB面积性质（二）).(,),,(),()3(如图所示则点轴的垂线交于作与过轴的垂线作过关于原点的对称点是设|k|2|2n||2m|21|PAAP|21PΔPASAyPxPnmPnmPP(m,n)AoyxP/面积性质（三）三、二次函数1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.2.定义要点:(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且a≠0.(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.驶向胜利的彼岸3、二次函数的三种表达方法2yaxbxc2()yaxhk12()()yaxxxx一般式：顶点式：交点式：4、二次函数y=a(x-h)2+k的性质抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2+k(a0)y=a(x-h)2+k(a0)（h，k）（h，k）直线x=h直线x=h由h和k的符号确定由h和k的符号确定向上向下当x=h时,最小值为k.当x=h时,最大值为k.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.5、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.abacab44,22abacab44,22abx2直线abx2直线abacabx44,22最小值为时当abacabx44,22最大值为时当顶点式,对称轴和顶点坐标公式:利润=售价-进价.6、最值问题二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质abacab44,22.44222abacabxay总利润=每件利润×销售数量.abx2直线7、二次函数与一元二次方程二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac有两个交点有两个相异的实数根b2-4ac0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac0(1)用描点法作二次函数y=ax2+bx+c的图象；8、一元二次方程的图象解法1.利用二次函数的图象估计一元二次方程ax2+bx+c=0的根的一般步骤：(2)观察估计二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标(可将单位长再等分,借助计算器确定其近似值,)；(3)写出方程ax2+bx+c=0的近似解;