1.1-锐角三角函数(2)教案

第一章直角三角形的边角关系1.1锐角三角函数（2）一、知识点1.认识锐角三角函数——正弦、余弦2.用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比,用正弦、余弦进行简单的计算.二、教学目标知识与技能1.能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系.2.能够用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算.过程与方法1.经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.2、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.情感态度与价值观1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，学有用的数学.2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯.三、重点与难点重点：理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系.难点：体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题.四、复习引入（出示幻灯片2、3）设计意图：以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，避免死记硬背带来的负面作用（大脑负担重，而不会实际运用），第4题的问题引发学生的疑问，激起学生的探究欲望.五、探究新知探究活动1（出示幻灯片4）：如图，请思考：（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2的关系是；（2）的关系是和222111ABCBABCB；（3）如果改变B2在斜边上的位置，则的关系是和222111ABCBABCB；思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________，根据是______________________________________.B1B2AC1C2它的邻边与斜边的比值呢？设计意图：1、在相似三角形的情景中，让学生探究发现：当直角三角形的一个锐角大小确定时，它的对边与斜边的比值也随之确定了.类比学习，可以知道，当直角三角形的一个锐角大小确定时，它的邻边与斜边的比值也是不变的.2、在探究活动中发现的规律，学生能记忆得更加深刻，这比老师帮助总结，学生被动接受和记忆要有用得多.归纳概念（出示幻灯片5）：1、正弦的定义：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边BC与斜边AB的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝________.2、余弦的定义：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,我们把锐角∠A的邻边AC与斜边AB的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=______.3、锐角A的正弦，余弦，正切和余切都叫做∠A的三角函数.温馨提示（出示幻灯片6）：（1）sinA，cosA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角；（2）sinA，cosA中常省去角的符号“∠”.但∠BAC的正弦和余弦表示为:sin∠BAC，cos∠BAC.∠1的正弦和余弦表示为:sin∠1，cos∠1；（3）sinA，cosA没有单位，它表示一个比值；（4）sinA，cosA是一个完整的符号，不表示“sin”,“cos”乘以“A”；（5）sinA，cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长没有必然的关系.设计意图：1、类比正切的定义，让学生理解正弦和余弦的含义；2、让学生了解：求一个角的三角函数，是指求这个角的正切、正弦和余弦，不是单指某一个值；3、正弦和余弦容易出现一些不规范的表示方法，在这里先进行明确，可以减少日后不必要的错误.探究活动2（出示幻灯片7）：我们知道，梯子的倾斜程度与tanA有关系，tanA越大，梯子越陡，那么梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？是怎样的关系？设计意图：在探究中进一步让学生理解正弦和余弦的含义，体会正弦和余弦的生活意义，避免数学知识的枯燥无味，通过利用正弦和余弦来描述梯子的倾斜程度拓展了学生思维，感受到从不同角度去解释一件事物的合理性，感受数学与生活的联系.探索发现（出示幻灯片8）：梯子的倾斜程度与sinA,cosA的关系：sinA越大，梯子；cosA越，梯子越陡.探究活动3（出示幻灯片9）：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=20，sinA=0.6，求BC和cosB.通过上面的计算，你发现sinA与cosB有什么关系呢?sinB与cosA呢？在其它直角三角形中是不是也一样呢？请举例说明.小结规律：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的.设计意图：在探究中进一巩固正弦和余弦的定义，同时发现直角三角形中两个锐角的三角函数值之间存在一定的关系，拓展学生的知识储备.六、及时检测（出示幻灯片10、11）1、如图，在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，sinA的值（）A、扩大100倍B、缩小100倍C、不变D、不能确定2、已知∠A，∠B为锐角(1)若∠A=∠B，则sinAsinB；(2)若sinA=sinB，则∠A∠B.3、如图，∠C=90°，CD⊥AB，sinB=()=()=()设计意图：在练习中检验学生对知识的掌握，同时体会在不同的直角三角形中，（如“双垂直模型”），一个锐角的三角函数可以有不同的表示方法，为日后的知识应用打下基础.七、归类提升（出示幻灯片12、13、14、15）类型一：已知直角三角形两边长，求锐角三角函数值例1、在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=3，AB=6，求∠B的三个三角函数值.类型二：利用三角函数值求线段的长度ACBABC例2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，sinA=513，求AC和AB.类型三：利用已知三角函数值，求其它三角函数值例3、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=35，求cosA、tanB的值.类型四：求非直角三角形中锐角的三角函数值例4、如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求sinB,cosB,tanB.设计意图：分类型进行演练，有利于学生掌握思路和方法，由特殊（直角三角形）到一般（非直角三角形），让学生懂得寻找或构造直角三角形是解决三角函数问题的一般思路.八、总结延伸（出示幻灯片16、17、18）1、锐角三角函数定义：sinA=，cosA=，tanA=；2、温馨提示：（1）sinA，cosA，tanA，是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)；（2）sinA，cosA，tanA是一个完整的符号，表示∠A的正切，习惯省去“∠”号；（3）sinA，cosA，tanA都是一个比值，注意区别,且sinA,cosA,tanA均大于0,无单位；（4）sinA，cosA，tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长没有必然关系；（5）角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等.3、在用三角函数解决一般三角形或四边形的实际问题中，应注意构造直角三角形.设计意图：课堂小结，检查学生掌握情况，同时能对知识进行及时梳理，有利于学生归纳和消化，特别对于重要的方法提示和要注意的细节，能再次呈现，使学生印象深刻.九、随堂小测（出示幻灯片19、20）1、如图，分别求∠α，∠β的三个三角函数值.2、在等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求sinB,cosB.3、在△ABC中，AB=5，BC=13，AD是BC边上的高，AD=4.求:CD和sinC.4、在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是中线，BC=8，CD=5.求sin∠ACD，cos∠ACD和tan∠ACD.5、在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=13，AD=8，BC=18，求sinB,cosB,tanB.CEADFB6、如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DC⊥AC，且tan∠BCD=1/3.求∠A的三个三角函数值.设计意图：设计各种题型，可以检验学生的方法掌握情况，同时巩固学生的知识，提高学生的运用能力，若时间不允许该部分也可作为课后作业完成.