2020届湖北省重点中学高三上学期第一次联考试题--数学(理)

-1-湖北省部分重点中学2020届高三第一次联考高三数学试卷（理科)命题学校:武汉六中命题教师考试时间：2019年11月8上午8:00-10:00试卷满分:150分一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）1.集合A={06|2xxx}，集合B={1log|2xx}，则BAA.(-2,3)B.(-∞,3)C.(-2,2)D.(0,2)2.已知a是实数，iia1是纯虚数，则a等于A.-1B.1C.2D.23.若1)2cos(sin2xx，则x2cos4.已知{na}为等比数列，若8,253aa，则87aaA.-32B.96C.-32或96D.-96或325.点P是△ABC所在平面上一点，若ACABAP5352，则△ABP与△ACP的面积之比是A.53B.25C.23D.326.下列说法正确的个数是①命题“若4ba，则a，b中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题②命题“设Rba,，若5ba,则3a或2b”是一个真命题③“0,0200xxRx”的否定是“0,2xxRx”④已知yx,都是实数，“1||||yx”是“122yx”的充分不必要条件A.1B.2C.3D.47.下列函数中，既是偶函数，又在（-∞，0)内单调递增的为A.||2xxyB.||2xyC.xxy22D.221||logxxy8.已知定义在R上的奇函数axfxx212)(，则不等式0)4()2(2xfxf)的解集为A.(-1,6)B.(-6,1)C.(-2,3)D.(-3,2)9.△AOB中，bOBaOA,，满足2||baba,则△A0B的面积的最大值为-2-A.3B.2C.32D.2210.已知函数)31(,1)2()11(),1(log)(xaxfxxxfa(a0且1a)，若21xx,且)()(21xfxf，则21xx的值A.恒小于2B.恒大于2C.恒等于2D.以上都不对11.已知函数0)(sin)42(cossin2)(22xxxxf在区间]65,52[上是增函数，且在区间],0[上恰好取得一次最大值1，则的取值范围是A.]53,0(B.]53,21[C.]43,21[D.)25,21[12.已知对任意实数x都有1)0(),(2)('fxfexfx，若不等式1)-a(x)(xf，（其中al)的解集中恰有两个整数，则a的取值范围是A.)1,23[eB.)1,23[eC.)23,35[2eeD.)1,35[2e二、填空题(本大题共4个小题，共20分）13.已知实数yx,满足约束条件20203xyxyx,则yxz3最小值为.14.非零向量a和b满足)(|,|||2baaba,则a与b的夹角为.15.已知函数)32sin(2)(xxf在区间),317(a上是单调函数，则实数a的最大值为.16.已知函数2)(,212ln)(xexgxxf,若),0(,nRm,使得)()(nfxg成立，则的最小值是.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出证明过程或演算步骤)17.(本题满分10分）已知数列{na}满足...3,2,1,53,111nnaaann.证明：...3,2,1,311naann;(2)求和:12221254433221...nnnnaaaaaaaaaaaa.18.(本小题满分12分)如图，在△ABC中，M是边BC的中点，-3-772cos,1475cosAMCBAM.（1）求∠B的大小；（2）若7AM，求△ABC的面积.19.(本小题满分12分）已知四棱锥P-ABCD中，侧面PAD丄底面ABCD，PB丄AD,△PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，点M为PC的中点.（1）求证:PA//平面MDB;（2）求二面角A-PB-C的余弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆1:2222byaxC的离心率为22，其右顶点为A，下顶点为定点C(0,2)，△ABC的面积为223，过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆C于P,Q两点，直线BP,BQ分别与X轴交于M,N两点.（1）求椭圆C的方程；（2）试探究M,N的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.21.(本小题满分12分)某汽车公司最近研发了一款新能源汽车,并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试。现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图:（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值代表).（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布),(2N，经计算第(1)问中样本标准差s的近似值为50。用样本平均数5作为的近似值，用样本标准差s作为a的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.-4-（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据拋掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”,则可获得购车优惠券3万元。已知硬币出现正、反面的概率都是0.5,方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、第20格。遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次。若掷出正面，遥控车向前移动一格(从k到k+1)，若掷出反面，遥控车向前移动两格(从k到k+2)，直到遥控车移到第19格(胜利大本营)或第20格(失败大本营）时，游戏结束。设遥控车移到第n(ln19)格的概率为，试证明{1nnPP}是等比数列,并求参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值。22.已知函数xxxxgxxxfsincos)(,sin)(.（1）判断函数)(xg在区间(0,3)上零点的个数；（2）函数)(xf在区间(0,+∞)上的极值点从小到大分别为nxxxxx...,,,1432,……，证明:(i)0)()(21xfxf;(ii)对一切0)(...)()()(,321nxfxfxfxfNn成立.湖北省部分重点中学2020届高三第一次联考数学（理）参考答案5.选择题：1.A2.B3.C4.C5.C6.B7.D8.D9.A10.B11.B12.C二、填空题：13.514.3215.126516.2ln三、解答题：17.（1）3,2,1,531nnaann①4,3,2,5)1(31nnaann②-5-12221254433221nnnnaaaaaaaaaaaa12221254433221nnnnaaaaaaaaaaaa2114217211475772BAMBMBAMsinsin1sinsinBBAMAMBM372117sin2BAMBMAMSSABMABC①－②得3,2,311naann4分（2）)()()(12122534312nnnaaaaaaaaa))(3(2642naaaa7分由（1）得na2为公差为3的等差数列，又由7,8221aaa得23329)32)1(7)(3(2nnnnn10分18.（1）由1421sin1475cosBAMBAM得由cos721sin,772AMCAMC得又)cos(cosBAMAMCBBAMAMCBAMAMCsinsincoscos),0(B32B6分（2）在中，由正弦定理，得BAMBMBAMsinsin1sinsinBBAMAMBM因为M是边BC的中点，所以1MC．故372117sin2BAMBMAMSSABMABC12分解法二：在中，由正弦定理，得因为M是边BC的中点，所以，，所以19.1）连结AC，交BD于O，由于底面ABCD为菱形，O为AC中点又M为ＰＣ的中点，PAMO//，又MDBPAMDB平面，平面MO372117sin2SABCAMCMCAMSAMC-6-060EABEBADMDB//平面PA5分（２）过Ｐ作ADPE，垂足为Ｅ，由于ＰＡＤ为正三角形，Ｅ为ＡＤ的中点。由于侧面ABCD底面PAD，由面面垂直的性质得ABCDPE平面。取ＰＢ的中点Ｎ，连结ＮＭ、ＮＡ，由于PBAN2ABAP，又ＭＮ为PBC的中位线，ＭＮ//ＢＣ，ＢＣ//ＡＤ，ＰＢＡＤ，PBMNMNA是二面角CPBA的平面角。在26EN6PB3EB3PEPEBRT，，，中，由PBADPE,AD，得PEB平面AD，在AENRT中，26tanAEENNAE由于AD//MN，MNA与NAE互补，所求二面角的余弦值为510。12分解法2：过Ｐ作ADPE，垂足为Ｅ，由于ＰＡＤ为正三角形，Ｅ为ＡＤ的中点。由于侧面ABCD底面PAD，由面面垂直的性质得ABCDPE平面。由PBADPE,AD，得PEB平面AD以E为坐标原点，EP为Z轴，EA为X轴，EB为y轴，建立空间直角坐标系。则)3,0,0(),0,3,2(),3,0,1(),0,0,1(PCBA，设平面PAB的法向量为),,(1111zyxn，平面PAB的法向量为),,(2222zyxn，由0PA011nABn及得03031111yxyx，取31x，得平面PAB的一个法向量为)1,1,3(同理可求得平面PAB的一个法向量)1,1,0(，由法向量的方向得知所求二面角的余弦值为5102121nnnn12分20.（1）由已知，),,0(),0,(,bBaABA的坐标分别是由于ABC的面积为223，223)2(21ab有，又bae222得由，解得1,2ba-7-（千米）30040550001.035550004.030550009.025550004.020550002.0x1222yxC的方程为椭圆4分（2）设直线PQ的方程为2kxy，P，Q的坐标分别为),(),,(2211yxQyxP则直线BP的方程为1111xxyy，令0y，得点M的横坐标111yxxM直线BQ的方程为1122xxyy，令0y，得点N的横坐标122yxxN)3)(3()1)(1(21212121kxkxxxyyxxxxNM9)(32121221xxkxxkxx把直线2kxy代入椭圆1222yx得068)21(22kxxk由韦达定理得221221216,218kxxkkxx3218924669)218(32162162222222k