【全国市级联考】湖南省五市十校教研教改共同体2019届高三12月联考数学(理)试题

.1页湖南省五市十校教研教改共同体2019届高三12月联考理科数学本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结朿后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i是虚数单位，则21ii（）A.1iB.1iC.12iD.12i2.设集合1{0}2xAxx，{Bxlg(23)}yx，则AB（）A.{x32}2xB.{x1}xC.{x2}xD.{x32}2x3.已知向量a，b满足1a，2b，(2)0aab，ab（）A.6B.5C.2D.34.已知数列{}na满足112(2)nnnaaan，24612aaa，1359aaa，则16aa（）A.6B.7C.8D.9.2页5.已知E，F分别是三棱锥PABC的棱AP，BC的中点，6AB，6PC，33EF，则异面直线AB与PC所成的角为（）A.120B.45C.30D.606.—只蚂蚁在三边长分别为6，8，10的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过1的概率为（）A.24B.48C.112D.187.在直角坐标系xOy中，抛物线2:4Cyx的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，直线MN与x轴交于点R，若60NFR，则NR（）A.2B.3C.23D.38.函数1sin1xxeyxe的部分图像大致为（）A.B.C.D.9.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该书完善了珠算口诀，确立了算盘用法，.3页完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.如图所示程序框图的算法思路源于该书中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输入的a的值为4，则输出的m的值为（）A.19B.35C.67D.13110.已知正实数a，b，c满足22290aabbc，则当abc取得最大值时，3112abc的最大值为（）A.3B.94C.1D.011.已知A，B，C是双曲线22221(0,0)xyabab上的三个点，直线AB经过原点O，AC经过右焦F，若BFAC，且3AFCF，则该双曲线的离心率为（）A.102B.52C.103D.2312.设()fx是奇函数()()fxxR的导函数，当0x时，ln()()xxfxfx，则使得2(28)()0xxfx成立的x的取值范围是（）A.(2,0)(4,)B.(,4)(0,2)C.(,2)(0,4)D.(,2)(4,)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。.4页13.若实数x，y满足约朿条件1,1,3270,xyxyxy，则2zxy的最大值为____________.14.6(1)(1)xx的展开式中6x的数为____________.15.函数()sin()fxAx(0,02)A的部分图像如图所示，则(2019)f的值为_______________.16.将正整数12分解成两个正整数的乘积有112，26，34三种，其中34是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34为12的最佳分解.当(pqpq且*,)pqN是正整数n的最佳分解时我们定义函数()fnqp，例如(12)431f.则(88)f的值为___________，数列*{(5)}()nfnN的前2018项的和为____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.已知向量(cos,sin)mxx，(cos,3cos)nxx，xR，设函数1()2fxmn.（1）求函数()fx的解析式及单调递增区间；（2）设a，b，c别为ABC内角A，B，C的对边，若()2fA，22bc，ABC的面积为12，求a的值.18.为全面贯彻党的教育方针，坚持立德树人，适应经济社会发展对多样化高素质人才的需要，按照国家统.5页一部署，湖南省高考改革方案从2018年秋季进入高一年级的学生开始正式实施.新高考改革中，明确高考考试科目由语文、数学、英语3科，及考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择的3科组成，不分文理科.假设6个自主选择的科目中每科被选择的可能性相等，每位学生选择每个科目互不影响，甲、乙、丙为某中学高一年级的3名学生.（1）求这3名学生都选择了物理的概率.（2）设X为这3名学生中选择物理的人数，求X的分布列和数学期望.19.如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，90CDABAD，222ABADDCE，F分别为PD，PB的中点.（1）求证：//CF平面PAD；（2）若截面CEF与底面ABCD所成锐二面角为4，求PA的长度.20.对称轴为坐标轴的椭圆C的焦点为1(3,0)F，2(3,0)F，3(1,)2M在C上.（1）求椭圆C的方程；（2）设不过原点O的直线:(0,0)lykxmkm与椭圆C交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，则当OPQ的面积为74时，求直线PQ的方程.21.已知函数()ln1fxxax..6页（1）当1a时，求证：()0fx恒成立；（2）若关于x的方程2()10fxx至少有两个不相等的实数根，求实数a的最小值.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.[选修4一4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为22222xtyt（t为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为26(cossin)14.（1）写出圆C的直角坐标方程；（2）设直线l与圆C交于A，B两点，求弦长AB.23.[选修4一5：不等式选讲]已知函数()2fxxxa，其中aR.（1）当1a时，求不等式()6fx的解集；（2）若存在0xR，使得0()2018fxa，求实数a的取值范围.理科数学参考答案一、选择题1-5:BDABD6-10:BABCC11、12:AC二、填空题13.214.515.116.3，100951.7页三、解答题17.解：（1）2()cos3sincosfxxxx1sin(2)126x令26x2,222kk，kZ，解得；,36xkk，kZ；所以函数()fx的单调递増区间为,36kk，kZ.（2）()sin(2)126fxA，sin(2)6A.0A，132666A，262A，即6A.由11sin22SbcA得2bc，又22bc由余弦定理得2222abcbc2cos()2(1cos)AbcbcA，解得31a.18.解：（1）设“这3名学生都选择了物理”为事件A，依题意得每位学生选择了物理的概率都为12，故311()()28PA，即这3名学生都选择了物理的概率为18.（2）X的所有可能取值为0,1,2,3，由题意1(3,)2XB0303111(0)()()228PXC，1213113(1)()()228PXC，2123113(2)()()228PXC，3033111(3)()()228PXC所以X的分布列为X0123P18383818所以X的数学期望13()0188EX31323882.19.解：（1）证明：取PA的中点Q，连接QF，QD，.8页F是PB的中点，//QFAB且12QFAB，底面ABCD为直角梯形，90CDABAD，222ABADDC，//CDAB，12CDAB，//QFCD且QFCD，四边形QFCD是平行四边形，//FCQD，又FC平面PAD，QD平面PAD，//FC平面PAD.（2）如图，分别以AD，AB，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PAa。则，(0,0,0)A，(0,22,0)B，(22,2,0)C，(22,0,0)D，(2,0,)2aE，(0,2,)2aF，取平面ABCD的法向量为1(0,0,1)n.(2,2,)2aCE，(22,0,)2aCF，设平面CEF的法向量为2(,,)nxyz，则有2200CEnCFn，即22022202axyzaxz，不妨取42z，则xa，ya，即2(,,42)naa.12cos,nn121222||||nnnn，解得4a即4PA.20.解：（1）设椭圆C的方程为22221xyab(0)ab，.9页由题意可得3c，又由12||||2MFMFa，得2a，故2221bac，椭圆C的方程为2214xy；（2）设11(,)Pxy，22(,)Qxy.由题意直线l的方程为：:lykxm，(0,0,1)km联立2214ykxmxy得222(14)8440kxkmxm，222644(14)kmk2(44)0m，化简，得2241mk①122814kmxxk②，21224414mxxk③直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，21212yykxx，21212()()kxmkxmkxx，化简，得212()0mkxxm228014kmmk，241k，又0k，12k，且由①知22m.221212||1()4PQkxxxx2224(1)(2)14kmk原点O到直线PQ的距离2||1mdk.1||2OPQSPQd222||214mmk27||24mm，解得12m（负舍）或72m（负舍）.直线PQ的方程为：1122yx或1722yx.21.解：（1）证明：当1a时，()ln1fxxx，11()1xfxxx，令()01fxx，所以当(0,1)x时，()0fx，()fx单调递增；当(1,)x时，()0fx，()fx单调递减.故max()(1)0fxf，所以()0fx..10页（2）2ln20xxaxln2xaxxx至少有两个根，记ln2()(0)xxxxxx，所以22221ln2ln1()1xxxxxxx，记2()ln1(0)hxxxx，所以2121()2xhxxxx，令22()0(22hxxx舍）所以当20,2x，()0hx，()hx单调递减，2,2x时，()0hx，()hx单调递增，所以()hx的最小值为2222ln1222h111ln2(1ln2)0222，又(1)0h，所以(1,)x时，()0hx，又当1xe时，2111ln1heee2211110ee，因此必存在唯一的012,2x