云南省大理、丽江、怒江2020届高中毕业生第二次复习统一检测-数学(理)试题

·1·秘密★启用前【考试时间：1月2日15∶00—17∶00】大理、丽江、怒江2020届高中毕业生第二次复习统一检测理科数学本试卷满分150分，考试时间120分钟考生注意：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合3,0xMyyx==，()2lg3Nxyxx==−，则MN为（）A．B．()1,+C．)3,+D．()1,32．设i是虚数单位，如果复数2aii++的实部与虚部是互为相反数，那么实数a的值为（）A．3−B．13−C．13D．33．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了4．设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m，//n，则m，n为异面直线；②若m⊥，⊥，m⊥，则⊥；·2·③若//，//，则//；④若m⊥，n⊥，//mn，则⊥．则上述命题中真命题的序号为（）A．①②B．③④C．②③D．②④5．若正整数n除以正整数m后的余数为，则记为(mod)nrm，例如103(mod7)．下面程序框图的算法源于我国南北朝时期闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出n的值等于（）A．29B．30C．31D．326．曲线2lnyxx=−在1x=处的切线的倾斜角为，则cossin+的值为（）A．2105B．105C．105−D．52107．已知函数4,0()4,0xxexfxex−−=−，2g()xx=，则函数()g()yfxx=的大致图象是（）A．B．C．D．8．等比数列na的前n项和为nS，若()()2135213nnSaaaanN−=++++å，1238aaa=，则8S=（）·3·A．510B．255C．127D．65409．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．92B．9C．12D．1610．已知1t，2logxt=，3logyt=，5logzt=，则（）A．235xyzB．523zxyC．352yzxD．325yxz11．设1F、2F分别是椭圆()222210yxabab+=的焦点，过2F的直线交椭圆于P、Q两点，且1PQPF⊥，1PQPF=，则椭圆的离心率为（）A．32−B．63−C．22−D．962−12．已知函数()4sin26fxx=−，460,3x，若函数()()3Fxfx=−的所有零点依次记为1x，2x，3x，，nx，且123nxxxx，则1231222nnxxxxx−+++++=（）A．12763B．445C．455D．14573二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在5()()xyxy+−的展开式中，33xy的系数是．14．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”．其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为．15．已知双曲线()222210,0xyabab−=的两条渐进线均与圆22:8120Cxyx+−+=相切，且双·4·曲线的右焦点为圆C的圆心，则双曲线的方程为．16．平行四边形ABCD中，=3AB，=2AD，=120BAD，P是平行四边形ABCD内一点，且1AP=．若APxAByAD=+，则32xy+的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2226bca+−=−，且sinsin4sinsinbCcBaBC+=．（1）求cosA；（2）求ABC的面积．18．（12分）某工厂预购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．（1）设日收费为y元，每天软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；（2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．·5·ABCMDP19．（12分）在四棱锥PABCD−中，//ABCD，2CDAB=．（1）设AC与BD相交于点M，若存在点N使得()0ANmAPm=，且//MN平面PCD，求实数m的值；（2）若ABADDP==，60BAD=，2PBAD=，且PDAD⊥，求二面角APCB−−的余弦值．20．（12分）设函数()()11xxfxxeae=+−+．（1）求函数()fx的单调区间；（2）若函数()fx在()0,+有零点，证明：2a．21．（12分）设A、B为曲线2:4xCy=上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设弦AB的中点为N，过点A、B分别作抛物线的切线，则两切线的交点为E，过点E作直线l，交抛物线于P、Q两点，连接NP、NQ．证明：2EAEBNPNQABkkkkk+=+=.·6·请考生在第22、23题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为1cossinxy=+=（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2sin333+=，射线:3OM=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长度．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()1fxx=−．（1）求不等式()()336fxfx++−的解集；（2）若不等式()()14fxfxaxb−−++的解集为实数集R，求ab+的取值范围．·7·大理、丽江、怒江2020届高中毕业生第二次复习统一检测理科数学参考答案及评分标准一、选择题题号123456789101112答案DACCDAABBDBC12、函数()4sin26fxx=−，令262xk−=+得123xk=+,kZ，即()fx的对称轴方程为123xk=+,kZ．()fx的最小正周期为T=，4603x，当30k=时,可得463x=，()fx在460,3上有31条对称轴，根据正弦函数的性质可知：函数()4sin26fxx=−与3y=的交点1x，2x关于3对称，2x,3x关于56对称，，故31n=．即12226xx+=,23526xx+=，，30318926xx+=，将以上各式相加得：123303125892222666xxxxx+++++=+++()258894553=++++=．故选C．二、填空题13、014、42915、221124xy−=16、2三、解答题17、解：（1）因为sinsin4sinsin,bCcBaBC+=由正弦定理得：sinsinsinsin4sinsinsin,BCCBABC+=…………………………2分·8·又sinsin0BC，所以4sin2,A=即1sin2A=又2226bca+−=−，由余弦定理得cos0A………………………………………4分所以23cos1sin2AA=−−=−……………………………………………………6分（2）因为222cos2bcaAbc+−=…………………………………………………………8分所以3622bc−−=，即23bc=……………………………………………………10分所以1113sin232222ABCSbcA===…………………………………………12分18、解：（1）由题可知，方案一中的日收费y与x的函数关系式为1060,yxxN=+…………………………………………………………………2分方案二中的日收费y与x的函数关系式为200,15,20100,15,xxNyxxxN=−.…5分（2）设方案一中的日收费为X，由条形图可得X的分布列为X190200210220230P0.10.40.10.20.2所以()1900.12000.42100.12200.22300.2210EX=++++=（元）……8分方案二中的日收费为Y，由条形图可得Y的分布列为Y200220240P0.60.20.2()2000.62200.22400.2212EY=++=（元）…………………………………11分所以从节约成本的角度考虑，选择方案一.…………………………………………………12分19、解：（1）因为//ABCD，所以11,23AMABAMMCCDAC===．……………………1分因为//MN平面PCD，MN平面PAC，平面PAC平面PCDPC=，·9·所以//MNPC．………………………………………………………………3分所以13ANAMAPAC==，即13m=．…………………………………………4分（2）因为,60ABADBAD==，可知三角形ABD为等边三角形，所以BDADPD==，又2BPAD=，故222BPPDDB=+，所有PDDB⊥．由已知,PDADADBDD⊥=，所以PD⊥平面ABCD，如图，以D为坐标原点，,DADP的方向为,xy轴的正方向建立空间直角坐标系，设1AB=，则1,2ABADDPCD====，所以()1,0,0A，()()13,0,,0,1,0,1,0,322BPC−则()13,1,,1,1,322PBPC=−=−−，()1,1,0PA=−…………………………6分设平面PBC的一个法向量为()1111,,nxyz=，则有1100nPBnPC==即111111230,30.xyzxyz−+=+−=令11x=，则112,3yz==，即()11,2,3n=，………………………………………………………………………8分设平面APC的一个法向量为()2222,,nxyz=，则有2200nPAnPC==即222220,30.xyxyz−=−−+=令223xy==，则22z=，即()23,3,2n=．…………………………………………………………………10分所以121212·5315cos,42210nnnnnn===，设二面角APCB−−的平面角为，则15cos4=………………………………12分·10·20、解：（1）()()11xxfxxeae=+−+()()1xfxxae=−−，………………………………………………………………2分1xa−时，()0fx，函数()fx在()1,a−+上单调递增；1xa−时，()0fx，函数()fx在(),1a−−上单调递减；………………4分（2）证明：函数()fx在()