高中数学选修2-2第一章导数测试题

选修2-2第一章单元测试(一)时间：120分钟总分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．函数f(x)＝x·sinx的导数为()A．f′(x)＝2x·sinx＋x·cosxB．f′(x)＝2x·sinx－x·cosxC．f′(x)＝sinx2x＋x·cosxD．f′(x)＝sinx2x－x·cosx2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－13．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝()A．e2B．eC.ln22D．ln24．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于()A．0B．－4C．－2D．25.图中由函数y＝f(x)的图象与x轴围成的阴影部分的面积，用定积分可表示为()A.-33f(x)dxB.13f(x)dx＋1－3f(x)dxC.-31f(x)dxD.-31f(x)dx－13f(x)dx6．如图是函数y＝f(x)的导函数的图象，给出下面四个判断：①f(x)在区间[－2，－1]上是增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数；④x＝2是f(x)的极小值点．其中，所有正确判断的序号是()A．①②B．②③C．③④D．①②③④7．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是()A．0≤a≤21B．a＝0或a＝7C．a0或a21D．a＝0或a＝218．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()A．30元B．60元C．28000元D．23000元9．函数f(x)＝－xex(ab1)，则()A．f(a)＝f(b)B．f(a)f(b)C．f(a)f(b)D．f(a)，f(b)大小关系不能确定10．函数f(x)＝－x3＋x2＋x－2的零点个数及分布情况为()A．一个零点，在－∞，－13内B．二个零点，分别在－∞，－13，(0，＋∞)内C．三个零点，分别在－∞，－13，－13，0，(1，＋∞)内D．三个零点，分别在－∞，－13，(0,1)，(1，＋∞)内11．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有()A．f(0)＋f(2)2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1)D．f(0)＋f(2)2f(1)12．设f(x)是定义在R上的可导函数，且满足f′(x)f(x)，对任意的正数a，下面不等式恒成立的是()A．f(a)eaf(0)B．f(a)eaf(0)C．f(a)f0eaD．f(a)f0ea二、填空题(每小题5分，共20分)13．过点(2,0)且与曲线y＝1x相切的直线的方程为________．14．已知M＝011－x2dx，N＝0π2cosxdx，则程序框图输出的S＝________.15．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列1fn(n∈N＋)的前n项和是________．16．已知函数f(x)＝12mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)设函数f(x)＝－x3－2mx2－m2x＋1－m(其中m－2)的图象在x＝2处的切线与直线y＝－5x＋12平行．(1)求m的值；(2)求函数f(x)在区间[0,1]上的最小值．18．(12分)已知函数f(x)＝kx3－3(k＋1)x2－k2＋1(k0)，若f(x)的单调递减区间是(0,4)，(1)求k的值；(2)当kx时，求证：2x3－1x19.(12分)已知函数f(x)＝kx3－3x2＋1(k≥0)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的极小值大于0，求k的取值范围．20.(12分)湖北宜昌“三峡人家”风景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x(x≥10)万元之间满足：y＝f(x)＝ax2＋10150x－blnx10，a，b为常数，当x＝10时，y＝19.2；当x＝20时，y＝35.7.(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)(1)求f(x)的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值．(利润＝旅游收入－投入)21.(12分)已知函数f(x)＝13x3－12x2＋cx＋d有极值．(1)求c的取值范围；(2)若f(x)在x＝2处取得极值，且当x0时，f(x)16d2＋2d恒成立，求d的取值范围．22.(12分)(2015·银川一中月考)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln2－1且x0时，exx2－2ax＋1.答案1．Cf′(x)＝(x)′·sinx＋x·(sinx)′＝12x·sinx＋x·cosx，故选C.2．A∵y′＝2x＋a，∴曲线y＝x2＋ax＋b在(0，b)处的切线方程的斜率为a，切线方程为y－b＝ax，即ax－y＋b＝0.∴a＝1，b＝1.3．Bf′(x)＝(xlnx)′＝lnx＋1，∴f′(x0)＝lnx0＋1＝2，∴x0＝e.4．Bf′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.5．D由定积分的几何意义可知，函数y＝f(x)的图象与x轴围成的阴影部分的面积为1－3f(x)dx－13f(x)dx.故选D.6．B由函数y＝f(x)的导函数的图象可知：(1)f(x)在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数；(2)f(x)在x＝－1处取得极小值，在x＝2处取得极大值．故②③正确．7．Af′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数不存在极值点．故选A.8．D设毛利润为L(P)，由题意知L(P)＝PQ－20Q＝Q(P－20)＝(8300－170P－P2)(P－20)＝－P3－150P2＋11700P－166000，所以L′(P)＝－3P2－300P＋11700，令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去)．此时，L(30)＝23000.根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元．9．Cf′(x)＝－ex－xexex2＝x－1ex，当x1时，f′(x)0，即f(x)在区间(－∞，1)上单调递减，又∵ab1，∴f(a)f(b)．10．A利用导数法易得函数f(x)在－∞，－13内单调递减，在－13，1内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，而f－13＝－59270，f(1)＝－10，故函数f(x)的图象与x轴仅有一个交点，且交点横坐标在－∞，－13内，故选A.11.C当1≤x≤2时，f′(x)≥0，则f(2)≥f(1)；而当0≤x≤1时，f′(x)≤0，则f(1)≤f(0)，从而f(0)＋f(2)≥2f(1)．12．B构造函数g(x)＝fxex，则g′(x)＝f′x－fxex0，故函数g(x)＝fxex在R上单调递增，所以g(a)g(0)，即faeaf0e0，即f(a)eaf(0)．13．x＋y－2＝0解析：设所求切线与曲线的切点为P(x0，y0)，∵y′＝－1x2，∴y′|x＝x0＝－1x20，所求切线的方程为y－y0＝－1x20(x－x0)．∵点(2,0)在切线上，∴0－y0＝－1x20(2－x0)，∴x20y0＝2－x0.①又∵x0y0＝1，②由①②解得x0＝1，y0＝1，∴所求直线方程为x＋y－2＝0.14.π4解析：M＝011－x2dx＝14π×12＝π4，N＝∫π20cosxdx＝sinx|π20＝1，MN，不满足条件MN，则S＝M＝π4.15.nn＋1解析：f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，得m＝2，a＝1.则f(x)＝x2＋x，1fn＝1nn＋1＝1n－1n＋1，其和为11－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.16．[1，＋∞)解析：根据题意，知f′(x)＝mx＋1x－2≥0对一切x0恒成立，∴m≥－1x2＋2x，令g(x)＝－1x2＋2x＝－1x－12＋1，则当1x＝1时，函数g(x)取得最大值1，故m≥1.17．解：(1)因为f′(x)＝－3x2－4mx－m2，所以f′(2)＝－12－8m－m2＝－5，解得m＝－1或m＝－7(舍去)，即m＝－1.(2)令f′(x)＝－3x2＋4x－1＝0，解得x1＝1，x2＝13.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x00，131313，11f′(x)－＋f(x)250272所以函数f(x)在区间[0,1]上的最小值为f13＝5027.18．解：(1)f′(x)＝3kx2－6(k＋1)x，由f′(x)0得0x2k＋2k，∵f(x)的递减区间是(0,4)，∴2k＋2k＝4，∴k＝1.(2)证明：设g(x)＝2x＋1x，g′(x)＝1x－1x2.当x1时，1xx2，∴1x1x2，∴g′(x)0，∴g(x)在x∈[1，＋∞)上单调递增．∴x1时，g(x)g(1)，即2x＋1x3，∴2x3－1x.19.解：(1)当k＝0时，f(x)＝－3x2＋1，∴f(x)的单调增区间为(－∞，0]，单调减区间[0，＋∞)．当k0时，f′(x)＝3kx2－6x＝3kxx－2k，∴f(x)的单调增区间为(－∞，0]，2k，＋∞，单调减区间为0，2k.(2)当k＝0时，函数f(x)不存在极小值，当k0时，依题意f2k＝8k2－12k2＋10，即k24，所以k的取值范围为(2，＋∞)．20．解：(1)由条件得a×102＋10150×10－bln1＝19.2a×202＋10150×20－bln2＝35.7，解得a＝－1100，b＝1，则f(x)＝－x2100＋10150x－lnx10(x≥10)．(2)由题意知T(x)＝f(x)－x＝－x2100＋5150x－lnx10(x≥10)，则T′(x)＝－x50＋5150－1x＝－x－1x－5050x，令T′(x)＝0，则x＝1(舍去)或x＝50.当x∈(10,50)时，T′(x)0，T(x)在(10,50)上是增函数；当x∈(50，＋∞)时，T′(x)0，T(x)在(50，＋∞)上是减函数，∴x＝50为T(x)的极大值点，又T(50)＝24.4.故该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为24.4万元．21.解：(1)∵f(x)＝13x3－12x2＋cx＋d，∴f′(x)＝x2－x＋c，要使f(x)有极值，则方程f′(x)＝x2－x＋c＝0，有两个实数解，从而Δ＝1－4c0，∴c14.(2)∵f(x)在x＝2处取得极值，∴f′(2)＝4－2＋c＝0，∴c＝－2.∴f(x)＝13x3－12x2－2x＋d.∵f′(x)＝x2－x－2＝(x－2)(x＋1)，∴当x∈(－∞，－1)时，f′(x)0，函数单调递增，当x∈(－1,2]时，f′(x)0，函数单调递减．∴x0时，f(x)在x＝－1处取得最大值76＋d，∵x0时