《微积分一》曲线的凹向与拐点

首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件§4.6曲线的凹向与拐点xyo)(xfy()ygxABDCBDCxyo)(xfyABxyo()ygxDC不仅要考虑曲线的单调性，还要考虑曲线的弯曲方向.首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件观察与思考曲线弯曲的方向与其切线的位置有什么关系?首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件定义42(曲线的凹向)xyo)(xfy()ygxABDC凹曲线位于切线的上方凸曲线位于切线的下方BDCxyo)(xfyABxyo()ygxDC如果在某区间内曲线弧位于其上任意一点的切线的上方则称曲线在这个区间内是凹的如果在某区间内曲线弧位于其上任意一点的切线的下方则称曲线在这个区间内是凸的首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件xyo)(xfyACCxyo()ygxDC()fx单调递增()fx单调递减()0fx()0fx凹：凸：设函数f(x)在区间(a,b)内具有二阶导数那么如果x(a,b)时恒有f(x)0则曲线yf(x)在(a,b)内凹如果x(a,b)时恒有f(x)0则曲线yf(x)在(a,b)内凸定理47(凹向的判断)首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件定理47(凹向的判断)定理47设函数f(x)在区间(a,b)内具有二阶导数那么如果x(a,b)时恒有f(x)0则曲线yf(x)在(a,b)内凹如果x(a,b)时恒有f(x)0则曲线yf(x)在(a,b)内凸定义43(拐点)凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点3().fxx例如，判定曲线的凹向(0,0)()6fxx()(0,)(,0).fx在上是凹的，在上是凸的0(0)0(0)xx首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件定理47(凹向的判断)定理47设函数f(x)在区间(a,b)内具有二阶导数那么如果x(a,b)时恒有f(x)0则曲线yf(x)在(a,b)内上凹如果x(a,b)时恒有f(x)0则曲线yf(x)在(a,b)内下凹定义43(拐点)曲线凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点说明1.拐点既然是曲线凹弧与凸弧的分界点那么在拐点左右邻近f(x)必然异号因而在拐点处f(x)0或f(x)不存在()0()fxfx的点可能的拐点不存在的点2.拐点是几何意义上的点，零点、驻点均是横坐标x.首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件解例1求曲线yx42x31的凹向与拐点y4x36x2y12x212x12x(x1)得x10x21令y0列表判断可见曲线在区间(0)(1)内凹在区间(01)内凸曲线上点(01)和(10)是拐点yyx(,0)0(0,1)1(1,)001(拐点)0(拐点)首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件解例2求曲线35)2(xy的凹向与拐点解32)2(35xy31)2(910xy当x2时y0y不存在列表判断因此曲线在区间(,2)内凸在区间(2,)内凹拐点是(2,0)yyx(,2)2(2,)不存在0(拐点)