6-最小二乘配置

上节内容回顾：1、模型中的参数X具有先验信息，求X的最佳估计称“滤波”；2、另有非模型中的参数X’与模型中参数有相关关系称“推估”；3、协方差函数的确定。《最小二乘配置（拟合推估）》解决的问题：既包含求定信号的估值内容，又包含求定倾向参数的估值内容，即兼有求定信号和参数的估值情况，称为“最小二乘配置法”。最小二乘配置与滤波-推估区别：前者求参数与信号估值；后者求定信号估值。（信号：已测点和未测点）可见：•测量平差中的“滤波”也就是通过L(观测值)求定信号(随机参数）X和X‘的估值的方法；•“配置”是既求信号又求参数的估值方法，或者说当观测方程中含有非随机性质和随机性质的两类参数时，数据处理需用配置方法。•故，可以说，“配置”是一种概括了经典最小二乘平差、滤波和推估的广义平差法。例如：在重力测量中，每一个点上的重力观测值都是正常重力、重力异常和观测误差之和，即：正常重力取决于所采用的参考系统的4个基本参数，是不具有随机性质的变量（倾向）；重力异常则是随机量，亦即信号。()ggXg例：在卫星观测中，距离观测值S是卫星正常轨道参数X以及由地球重力场所引起的扰动T的函数，于是，其中：X是不具有随机性质的变量（倾向参数），地球重力场所引起的扰动T则是随机量，即信号。以上这类问题，都是：如何根据观测数据同时确定非随机参数和信号的最优估值，在测量平差中称为“最小二乘配置法”。12(,,,)uSXXXT不难看出，配置的数学模型可表示为：•其中：X为滤波信号X‘推估信号、Y为倾向参数（非随机参数）12110ttLBXGYXBIXX，1、最小二乘配置的估值公式函数模型：根据广义最小二乘原理，则可写出观测方程为：LBXGYXXXXLXLXLBXGY随机参数的方差阵为XXXZXXXXZXDDDDD令：则：误差方程或写为：权阵：ˆˆˆˆXXXXVXLVXLVBXGYLˆˆZZZVZLVBZGYL120ZZZDDPDD先考虑D△X=0，D△Ｘ´=0情况，即：由广义最小二乘原则求自由极值，得：minTTZZZVPVVPV12000ZDPD()()0;()()0TTZZZTTZZZVPVVPVZZVPVVPVYYˆˆZZZVZLVBZGYL00TZZZTBPVPVGPV即等价：而：按矩阵求导，得：回代到观测方程得法方程：解法方程：解的方差阵：ˆˆ()ˆˆTTTZZZZZZZTTTZBPBPZBPGYBPLPLGPBZGPGYGPL1ˆˆTTTZZZZZZZTTZTZBPBPBPGBPLPLGPBGPGGPLY1ˆˆˆˆˆˆTTZZYZZZZTTYZYZDDBPBPBPGDDGPBGPGσ02等于1•也可以利用矩阵反演公式（取单位权方差σ02=1），可变换公式为：11111ˆ()()()ˆˆ()()ˆˆ()()TTTTXXXTTXXXXTTXXXXXYGBDBDGGBDBDLBLXLDBBDBDLGYBLXLDBBDBDLGYBL11ˆ11ˆˆ11ˆ(())()()()()TTXYTTTTXXXXXXYTTTTXXXXXXXXYDGBDBDGDDDBBDBDEGDGBDBDBDDDDBBDBDEGDGBDBDBD以上求的的实际是估值误差的方差和协方差。若D△X≠0，D△Ｘ´≠0情况下，由广义最小二乘原理：minTVPV120ˆ00ˆˆˆ,minZZZZZZZZZZZTVELELZVZYBXLVBLBGLGYDDDDDPDDDDVPV即：则按间接平差法得：min0TTTVPVBPBXBPL特殊地，当G=0，上述即为最小二乘虑波和推估公式。仍可得到配置的公式：也可以按以下方法推导配置估值计算公式（将配置的函数模型改写，按附有参数条件平差方法求估值）按附有参数的条件平差方法推导出配置公式。ˆˆˆ00VBXXGYL即ˆ0VBXGYL仍按广义最小二乘原则，组成新函数：ˆ2()min00ˆ0TTTXXXVPVVPVKVBXGYLXYVˆ0ˆ0xVBVGyfAVGyf或者：12000xDPD在广义最小二乘准则或直接代入附有参数的条件平差系列公式，得出配置的计算公式。2、滤波、配置的验后单位权方差验后单位权方差估值普遍公式为：1)滤波的验后单位权方差：2)配置的验后单位权方差为：20ˆ,TTXXXyyVPVVPVtnt:为倾向参数Y的个数20ˆ(TTfVPVVPVtdnt是非随机参数个数）20ˆTTXXXVPVVPVn3、最小二乘配置的应用例：在相距均为1.445的5个点处测得F(u)的函数值Li(i=1,2,…5),观测数据列于下表。12)()FtbbtSt（12)()FuaauXu（例题：题意：1、观测值L,(5个），依赖于U；2、建立函数模型F(U),待估参数是：a1,a2,X(U)；3、X(U)是函数残余变形。ａ1、ａ2作为非随机参数Y；X（ｕ）为函数变形信号.①函数模型：515551215152LBXGY5510.00011.44512.89014.33515.7800.61081.08632.90344.59256.2714TBEGIuL1212)()()FuaauXuaXuIuaBXGY（由:得:②随机模型：根据协方差函数式计算X和X‘的方差、协方差。r01.4452.8904.3355.7800.72252.16753.61255.05750.12600.05940.00620.000200.10440.02320.0012022()0.1260exp(0.36),ijijijijXDrrruuDELEXO是与两点间隔、（）计算结果列表：ij③代入配置公式即可求出随机参数、非随机参数等。11111ˆ()()()ˆˆ()()ˆˆ()()TTTTXXXTTXXXXTTXXXXXYGBDBDGGBDBDLBLXLDBBDBDLGYBLXLDBBDBDLGYBL120.3252ˆ0.9891aYa0.22210.5590ˆ0.10520.1082X倾向参数：插值点估值：④中间点的函数内插估值为：•将前述求出的Y（a，b）和内插点X’的估值，回代到内插值的方程（上式），就可求四个中间点函数值的内插估值。12ˆ()()Fuaauxuˆ0.81771.91013.79325.4359TF0011460;460;44xxyys为点间距离方法一：按滤波推估方法求解设重力异常估值为X（不考虑其非随机部分）ˆ,,,XXXXLXVXLDDDD即可按滤波推估公式计算估值了•方法二：按最小二乘配置法求解1）把重力异常值与点位的关系（趋势）当成是系统部分；2）信号为重力异常随机部分。LGYX•关于用最小二乘法求重力异常1）重力异常一般认为包含：随机部分和系统部分；2）系统部分一般又表示为各点坐标的线性函数3）重力异常的观测方程4）重力异常的内插方程01020012()()(,)iiiTTaaxxayyTGYYaaaLgGYXGYX或：g,gGYXG是设计矩阵，和欲估点坐标有关例：最小二乘配置在GPS高程拟合中的应用高程异常：ζ=H0-H•在GPS网中,进行了高精度的水准联测的点,称为已测点。•已测点高程异常计算：这些点的大地高H0和正常高H均已知,其高程异常ζ就可由公式精确求得。问题：根据观测数据求高程异常的函数式---------趋势。•方法一：先由已测点的高程异常值用某种数学模型去拟合---常规平面拟合。即：计算求出这个函数,然后由拟合函数求出未测点的高程异常ζ,进而计算未测点的高程。012aaxay采用最小二乘法，求的：拟合函数：012286.201480.000073960.00002376aaa设拟合函数为：286.201480.000073960.00002376xy用常规拟合方法的缺陷：拟合函数毕竟是趋势面，与高程异常实际值之间不可避免有差异（山区更大）。这差值在局部范围有一定规律、但大范围，变化又无规律，即差值是随机参数，也就信号。更好的处理方法：求某点高程异常时，可适当加上该点处的信号的改正，从而得到更为正确的高程异常模型。----最小二乘配置。方法二：将模型误差看作是随机函数的最小二乘配置法。012012TaaxaySBXSXaaa若用最小二乘配置法来处理高程异常:1)将高程异常与其趋势面的差值S看作随机函数,即所谓的信号,就可以用最小二乘配置法来处理这个问题。2)其数学模型为:L=BX+S+Δ式中:L为已测点高程异常的观测值,X为拟合函数未知数，（B与所选择的拟合函数有关）,S为观测信号,Δ为观测信号的噪声。3)将未测点高程异常观测信号用S‘表示,那么其数学模型可表示为L=BX+CZ+Δ式中:C=[EO]、Z=[SS’]T。则，就可按最小二乘配置法来处理未测点高程异常的问题了。4）未测点的平差值：ˆˆˆLBXS关于先验方差和协方差估值•E(Z)=O,E(Δ)=O•DΔΔ、DZZ的求法—按上节课介绍的即采用协方差函数来确定•常用高斯函数：(d为两点之间的距离,b0、k为参数)。2)dD2-(K0（d)=be客观世界的任何一种变化，总可以用某一函数模型来表述。•函数形式可分解为两部分：1、可用某一理想函数表示，即所谓的倾向部分（系统部分）；（即某种拟合函数的系数！）2、除基本变化以外的剩余部分，所谓的函数的剩余变形部分即随机部分。只要已测数据点充分多，且已知观测误差和信号（随机部分）的协方差函数，均可用配置法进行数据处理。中南大学信息物理工程学院