§3.1多维随机变量及其联合分布(修改)资料

一、二维随机变量及其联合分布函数二、多维随机变量及其联合分布函数四、联合密度函数五、常用多维分布§3.1多维随机变量及其联合分布第三章多维随机变量及其分布三、联合分布列()Y图示()X,{},()(),(,),.EXXYYXY　　设是一个随机试验它的样本空间是设和是定义在上的随机变量由它们构成的一个向量叫作二维随机变量，二维随机向量或1、二维随机变量定义一、二维随机变量及其联合分布函数实例1炮弹的弹着点的位置(X,Y)就是一个二维随机变量.二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X、Y有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.说明实例2考查某一地区学前儿童的发育情况,则儿童的身高H和体重W就构成二维随机变量(H,W).2.二维随机变量的分布函数(1)分布函数的定义.,),(},{)}(){(),(:,,,),(的联合分布函数和机变量或称为随的分布函数称为二维随机变量二元函数对于任意实数是二维随机变量设YXYXyYxXPyYxXPyxFyxYXxoy),(yxyYxX,(,).Fxy　　的函数值就是随机点落在如图所示区域内的概率(2)二维随机变量分布函数的性质o是变量和的不减函数即对于任意固性定的当时单调21211(,),,(,)(,),FxyxyyxxFxyFxy).,(),(,1212yxFyxFyyx时当对于任意固定的定理3.1.1任一二维联合分布函数F(x,y)必具有如下四条基本性质：当时，有，对任意给定的有证1212,xxXxXxy，12,,XxYyXxYy由此得同理可证对于任意固定的当时2121,(,)(,).xyyFxyFxyo对任界性和有意的有2,0(,)1,xyFxy,y对于任意固定的,0),(lim),(yxFyFx且有,x对于任意固定的,0),(lim),(yxFxFy，1122(,),(,).FxyPXxYyPXxYyFxy,0),(lim),(yxFFyx.1),(lim),(yxFFyx由概率的性质可知0又因为对任意的正整证数(,)1.,Fxyn1limlim,nxnmXxXm1limlim,nxnmXxXm由概率的连续性得(,)0,Fy对也类似可得(,)0.YyFx(,)0,(,)1.FF同样有o关于右连续关于也右连续即右连续性.3(,),(,)(0,),(,)(,0)FxyxyFxyFxyFxyFxy(,)(,)yFxyxxFxyy固定，仿一维分布函数右连续性的证明可得关于右连续.同样固定，可证得关于证也右连续.o对于负性有非任意112212124(,),(,),,,xyxyxxyy1212,PxXxyYy22211211(,)(,)(,)(,)0.FxyFxyFxyFxyxoy1x2x2y1y1212(,).PxXxyYy随机点落在如图所示兰色区域内的概率22(,)xy11(,)xy证明},{2121yYyxXxP,0221{,}PyXxYy22{,}YPxyX即22211211(,)(,)(,)(,)0.FxyFxyFxyFxy故112{,}0xPyYyX21{,}YyPXx12{,}YyPXx11{,}YyPXxP135例3.1.1举出因不满足性质4而不为分布函数的例子.二、多维随机变量及其联合分布函数1212()()()()()()()).nnXXXnXXXXnn如果，，，是定义在同一个样本空间上的个随机变量，则称=(，，，为维（或元）随机1变.维随变量或随定量义机向多机量12121122(,);,①多维随机变量的关键是定义在同一个样本空间上，对于不同的样本空间，如二维随机变量只能在乘积空间上讨论，因所用的工具更多，这里注不作研究.1212()()()())).nnXXXXXXXX②基于同一个样本空间，=(，，，可简记为=(，，，2.维随变联数多机量合分布函1211221212212,,,()(,,,),,.nnnnnnnnxxxnXxXxXxFxxxPXxXxXxnXXX对于任意个实数，，，，则个事件同时发生的概率定，，，称为维随机变义联合分（,)的布函数量本章主要研究二维随机变量的情形，二维以上的情形可类似进行.若二维随机变量(X,Y)所取的可能值是有限对或可列个数对（xi,yi）,则称(X,Y)为二维离散型随机变量.称定义三、联合分布列,,1,2,,(,),.ijijpPXxYyijXYXY为二维离散型随机变量联合的或随机变量和的分布列联合分布律111021.ijijijpp联合分布列具有基本性质：（）：；（）正则：非负性性性质二维随机变量(X,Y)的分布列也可表示为YX12jyyy12ixxx11121jppp21222jppp12iiijppp1,2,3,4,1~.(,){}.XYXXYPXY设随机变量在四个整数中等可能地取值另一个随机变量在中等可能地取一整数值试求的分布列及解:},{的取值情况是jYiX,4,3,2,1i.的正整数取不大于ij且由乘法公式得},{jYiXP{}{}PXiPYjXi11,4i,4,3,2,1i.ij的分布律为于是),(YX例1XY12341234418112116100000811211210161161161{}XY由此可得事件的概率：411111()0.5208.481216iiiPXYp例2一个袋中有三个球,依次标有数字1,2,2,从中任取一个,不放回袋中,再任取一个,设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以X,Y分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字,求(X,Y)的分布律与分布函数.(X,Y)的可能取值为),2,1(,312231}2,1{YXP,312132}1,2{YXP.312132}2,2{YXP解),1,2().2,2(122故(X,Y)的分布律为21213103131,31,022211211pppp下面求分布函数.XY2112oxy)2,2()2,1()1,1()1,2(,11)1(时或当yx),(yxF),(yxF,21,21)2(时当yx,2,21)3(时当yx),(yxF},{yYxXP;011p;01211pp;31,21,2)4(时当yx;31),(2111ppyxF,2,2)5(时当yx),(yxF22122111pppp.12112oxy)2,2()2,1()1,1()1,2(所以(X,Y)的分布函数为,21,2.2,2,1,2,21,31,11,0),(yxyxyxyxyxF或或说明离散型随机变量(X,Y)的分布函数归纳为,),(xxyyijijpyxF.,,求和的其中和式是对一切满足jiyyxxji(,)(,),(,),(,)(,)dd,(,),(,)(,),.yxXYFxyfxyxyFxyfuvuvXYfxyXYXY对于二维随机变量的分布函数如果存在非负的函数使对于任意有则称是连续型的二维随机变量函数称为二维随机变量的概率密度或联称为随机合概变和的率密度量定义四、联合密度函数性质(1)(,)0.fxy非负性：联合密度函数的基本性质(2)(,)dd(,)1.fxyxyF正则性＋＋：.dd),(}),{(GyxyxfGYXP内的概率为落在点平面上的一个区域是设GYXxoyG),(,)3(.),(),(,),(),()4(2yxfyxyxFyxyxf则有连续在若表示介于f(x,y)和xoy平面之间的空间区域的全部体积等于1.,dd),(}),{(GyxyxfGYXP,1dd),(yxyxf说明.),(,}),({为顶面的柱体体积以曲面为底的值等于以yxfzGGYXP.),(,表示空间的一个曲面几何上yxfz解,1dd),()1(yxyxf因为，所以1dd)6(2042xyyxk;81k}.4{)4(};5.1{)3(};3,1{)2(;)1(.,0,42,20),6(),(),(YXPXPYXPkyxyxkyxfYX求求确定常数其他具有概率密度设二维随机变量例3}3,1{)2(YXP;83dd)6(811032xyyx}5.1{)3(XP;3227dd)6(815.1042xyyx}4{)4(YXP.32dd)6(814240yxyxy}4{YXPoxyyx42442五、常用多维分布1.多项分布121212121122112212,,,,(),1,2,,.1.,1,2,,.()(),,!,,,!!riiiriirrrrrrnrAAAApPAirpppXnAirXXXnnnAnAnAnnPXnXnXnnnn进行次独立重复试验有个可能结果：且每次试验中发生的概率为记为次独立重复试验中出现的次数则取值的概率，即出现次出现次出现次的概率为121212!.rnnnrrrpppnnnn其中这个联合分布列称为，又称，记为这个概率是多项式展开式中项分布多的一项故其和为当时，即项分为二项分布布1212(),1.2.(,,,,)nrrrMnppnnnrp①满足两两互斥，其和为必然事件.②当一个试验对象按某种属性分成几类就会涉及这注：种分布.12,,,rAAA12340.150.700.100.05AAAA一种产品分为一等品（），二等品（），三等品()和不合格品（）四类.若已知厂家生产这4个等次的产品比率依次为，，和例如，从该厂产品中抽取个（视为有放回的一次抽1个抽次）记，，，依次为这个产品中4个等次的个数，则，，，服从多项分布四项分布，即为，，，12341234((,0.150.)700.100.05).nnXXXXnXXXnXMX举出（而求出二维随机变量（的联合分布列例138,,)~(3,0.6,0.3.13,0.1.4),,).XYZMXYP2.多维超几何分布口袋中有N只球，分成r类.第i种球有Ni只,N1+N2+……+Nr=N.i=1,2,…r.从中任取n只，记Xi为取出的n只球中，第i种球的只数.则(X1,X2,……,Xr)的联合分布列为：......其中12.rnnnn......,)=12121122(,,rrrrnnnNNNnNPXnXnXnCCCC例4=55030205100,,0,1,,5,0,1,,5,5.ijijPXCCCiYjCijij件产品中有件一等品，件二等品，件三等品.从中不放回地抽取件，以分别表示取出5件中一等品、二等品的件数，求（）的联合分布列.143(.2.)1005030205,,PXYXY设取出的件中有件一等品件二等品件三等品5,,5,0,1,,5,0,1,,5,5.ijijijij解这是一个三维超几何分布，所求的分布列为：3.多维均匀分布1212121212(,,,)1,(,,,),,,0,(,,,)(,,,)~().nDnnDnnnDRSXXXxxxDSPxxxXXXDXXXUD设为中的一个有界区域，其度量（平面为面积，空间为体积等）为，如果多维随机变量的联合密度函数为，其他.则称服从上的，均为多记维匀分布二维均