2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试题

高三数学（第I卷）第1页（共4页）2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试题2018.5方差公式：2222121()()()nsxxxxxxn，其中121()nxxxxn．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．若复数z满足(1+i)z=2(i是虚数单位)，则z的虚部为▲．2．设集合{24}A，，2{2}(Ba，其中0)a，若AB，则实数a▲．3．在平面直角坐标系xOy中，点(24)P，到抛物线28yx的准线的距离为▲．4．一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如右图所示，则这五人成绩的方差为▲．5．右图是一个算法流程图，若输入值[02]x，，则输出值S的取值范围是▲．6．欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是▲．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置．3．答题时，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其他位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．78824492（第4题图）（第5题图）S2x−x2S1输出S结束开始输入xx＜1YN（第6题图）高三数学（第I卷）第2页（共4页）7．已知函数()sin(π)(02π)fxxx在2x时取得最大值，则▲．8．已知公差为d的等差数列{}na的前n项和为nS，若1054SS，则14ad▲．9．在棱长为2的正四面体PABC中，M，N分别为PA，BC的中点，点D是线段PN上一点，且2PDDN，则三棱锥DMBC的体积为▲．10．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是abc，，，且满足3coscos5aBbAc，则tantanAB▲．11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆22:(1)2Cxy，点(20)A，，若圆C上存在点M，满足2210MAMO，则点M的纵坐标的取值范围是▲．12．如图，扇形AOB的圆心角为90°，半径为1，点P是圆弧AB上的动点，作点P关于弦AB的对称点Q，则OPOQ的取值范围为▲．13．已知函数1(|3|1)0()2ln0xxfxxx，，，，若存在实数abc，满足()()()fafbfc，则()()()afabfbcfc的最大值是▲．14．已知ab，为正实数，且234()abab，则11ab的最小值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，90ADB，CBCD，点E为棱PB的中点．（1）若PBPD，求证：PCBD；（2）求证：CE//平面PAD．QPOBA（第12题图）ABCDPE（第15题图）高三数学（第I卷）第3页（共4页）16．（本小题满分14分）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为abc，，，设△ABC的面积为S，且22243()Sacb.（1）求B的大小；（2）设向量(sin23cos)AA，m，(32cos)A，n，求mn的取值范围．17．（本小题满分14分）下图（I）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II）所示的数学模型．索塔AB，CD与桥面AC均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面AC上一点P到索塔AB，CD距离之比为21:4，且P对两塔顶的视角为135．（1）求两索塔之间桥面AC的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．18．（本小题满分16分）如图，椭圆22221(0)xyabab的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1，点A，B，C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C的直线l交椭圆于点D，交x轴于点1(0)Mx，，直线AC与直线BD交于点22()Nxy，．（1）求椭圆的标准方程；（2）若2CMMD，求直线l的方程；（3）求证：12xx为定值．（第17题图（Ⅰ））（第17题图（Ⅱ））PDCBANDMCBAyxO（第18题图）高三数学（第I卷）第4页（共4页）19．（本小题满分16分）已知函数32()1fxxaxbxab，，R．（1）若20ab，①当0a时，求函数()fx的极值（用a表示）；②若()fx有三个相异零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）函数()fx图象上点A处的切线1l与()fx的图象相交于另一点B，在点B处的切线为2l，直线12ll，的斜率分别为12kk，，且21=4kk，求ab，满足的关系式．20．（本小题满分16分）已知等差数列na的首项为1，公差为d，数列nb的前n项和为nS，且对任意的*nN，692nnnSba恒成立．（1）如果数列nS是等差数列，证明数列nb也是等差数列；（2）如果数列12nb为等比数列，求d的值；（3）如果3d，数列nc的首项为1，1(2)nnncbbn，证明数列na中存在无穷多项可表示为数列nc中的两项之和．高三数学II（附加题）第1页（共2页）2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅱ（附加题）2018．521．【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题．．卡指定区域．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图所示，AB为⊙O的直径，AE平分BAC交⊙O于E点，过E作⊙O的切线交AC于点D，求证ACDE．B．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵214xM=的一个特征值为3，求1M．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有A，B，C，D4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22，23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．答题时，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其他位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．高三数学II（附加题）第2页（共2页）C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为32cos(22sinxttyt，为参数)．以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为2cos()()4aaR，已知圆心C到直线l的距离等于2，求a的值．D．选修4—5：不等式选讲已知实数abc，，满足21abc，2221abc，求证：213c．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为13，乙、丙做对该题的概率分别为()mnmn，，且三位学生能否做对相互独立，设X为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P13ab136（1）求mn，的值；（2）求X的数学期望．23．（本小题满分10分）已知函数21()(5)(R)nfxxnxN，．（1）当2n时，若(2)(2)5ffA，求实数A的值；（2）若(2)(01)fmmN，，求证：()1m．高三数学参考答案第1页（共8页）2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）参考答案一、填空题：1．12．23．44．20.85．01，6．14π7．π28．29．2910．411．7722，12．211，13．22e1214．22二、解答题15．证明：（1）取BD的中点O，连结COPO，，因为CDCB，所以△CBD为等腰三角形，所以BDCO．……………………2分因为PBPD，所以△PBD为等腰三角形，所以BDPO．……………………4分又POCOO，所以BD平面PCO．……………………6分因为PC平面PCO，所以PCBD．……………………7分（2）由E为PB中点，连EO，则EOPD∥，又EO平面PAD，所以EO∥平面PAD．……………………9分由90ADB，以及BDCO，所以COAD∥，又CO平面PAD，所以CO∥平面PAD．……………………11分又=COEOO，所以平面CEO∥平面PAD，……………………13分而CE平面CEO，所以CE∥平面PAD．……………………14分16．解（1）由题意，有22214sin3()2acBacb，…………………………2分则222sin32acbBac，所以sin3cosBB．………………………………4分因为sin0B，所以cos0B，所以tan3B．又0πB，所以π3B．…………………………………………………6分高三数学参考答案第2页（共8页）（2）由向量(sin23cos)AA，m，(32cos)A，n，得2π3sin26cos3sin23cos2332sin(2)34AAAAAmn=．………8分由（1）知π3B，所以2π3AC，所以2π03A．所以ππ13π2()4412A，．……………………………………………………10分所以π2sin(2)142A，．……………………………………………12分所以6323，mn．即取值范围是6323，．……………………14分17．解（1）设21APt，4(0)BPtt，，记==APBCPD，，则60206015tan=tan2174tttt，，………………………………………2分由22015tantan7tan()tan4513001tantan17ttt，…………………4分化简得271253000tt，解得20t或157t（舍去），所以，2520500ACAPPC．…………………………………6分答：两索塔之间的距离AC=500米．（2）设AP=x，点P处的承重强度之和为()Lx.则22()60[](500)ababLxxx，且(0,500)x，即2211()60[],(0,500)(500)Lxabxxx……………………………9分（注：不写定义域扣1分）记2211(),(0,500)(500)lxxxx，则3322'(