第4章-随机变量的数字特征

•数学期望•方差•协方差及相关系数•矩、协方差矩阵设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：分数4060708090100人数1691572)(5.76271596110029078015709606401分一、数学期望的定义则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即1||kkkpx定义若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…,且，则称1)(kkkpxXE为随机变量X的数学期望。数学期望——描述随机变量取值的平均特征例掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望。2761)(611kkkkkpxXE解：定义若X~f(x),-x,dxxxfXE)()(,)(||dxxfx为X的数学期望。则称例若随机变量X服从拉普拉斯分布，其密度函数为试求E(X)。0)(exp21)(xxf解：dxxxXEexp2)(dtttxt||exp2令dttexp01、0-1分布B(1,p),101ppPXEX=1×p+0×(1-p)=p；2、二项分布B(n,p)nkknkppknknkXE0)1()!(!!)(nkppCkXPknkkn,...1,0)1(}{二、几个重要的随机变量的数学期望)1(111)1()!()!1()!1(knknkppknknnp;nplnlnllnppCnpkl1101)1(1令3、泊松分布π(λ)...,2,1,0,!}{~kekkXPXk4、均匀分布U(a,b),,0,,1)(~其他bxaabxfX011;)!1(!)(kkkkekekkXEbabadxabxXE;21)(5、指数分布e()0001)(xxexfx;dxexXEx01)(0xxdedxexexx006、正态分布N(,2)xexfXx,21)(~222)(dxexXEx222)(2)(dtetxtt222令设随机变量X的分布律为解:Y的分布律为求随机变量Y=X2的数学期望。XPk-101313131YPk10313231131031)1(32310321)(222YE三、随机变量函数的期望定理若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…,则Y=g(X)的期望;)()]([)(1kkkpxgXgEYE定理若(X,Y)~P{X=xi,Y=yj,}=pij,i,j=1,2,…,则Z=g(X，Y)的期望;),()],([)(11ijijijpyxgYXgEZE若X~f(x),-x,则Y=g(X)的期望.)()()]([)(dxxfxgXgEYE若(X,Y)~f(x,y),-x,-y,则Z=g(X,Y)的期望.),(),()],([)(dxdyyxfyxgYXgEZE例设随机变量(X,Y)的概率密度求数学期望。其它01,123),(23xxyxyxyxfXYEYE1),(例设随机变量(X,Y)的分布律如下，求E(XY)。XY1200.150.1510.450.25解:)(XYE15.01015.02045.01125.02195.01、E(C)=C,C为常数;四、数学期望的性质2、E(cX)=cE(X),c为常数；3、E(X+Y)=E(X)+E(Y)；证明:以连续型随机变量为例，设(X,Y)~f(x,y)，则dxdyyxfyxYXE),()()(dxdyyxxf),(dxdyyxyf),(dxdyyxfx]),([dydxyxfy]),([dxxxfX)(dyyyfY)()()(YEXE4、若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y).dxdyyxxyfXYE),()(dxdyyfxxyfYX)()(dyyyfdxxxfYX)()()()(YEXE证明:同样，以连续型随机变量为例，设(X,Y)~f(x,y)，则例设随机变量nXX,...,1均服从),(2N求随机变量niiXnX11的数学期望解:niiXEnXE1)(1)(分布，例若X~B(n,p),求E(X)解:设次实验不成功第次实验成功第iiXi,0,1则,1niiXX,)(pXEiniiXEXE1)()(nppni1因此设某种疾病的发病率为p，在N个人中普查这种疾病,为此要化验每个人的血。方法是，每k个人一组，把从k个人抽来的血混在一起化验，如果混合血样呈阴性，则通过，如果混合血样呈阳性，则再分别化验该组每个人的血样。假设每个人的化验反应相互独立。(1)试说明：当p较小时，相比一个个地验血，选取适当的k可以减少化验次数；(2)求k的最佳值。五、数学期望的应用1、在医疗化验方面某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量。他们估计出售一件产品可获利m元，而积压一件产品导致元n的损失。再者,他们预测销售量Y（件）服从参数为θ0的指数分布，其概率密度为：问若要获得利润的数学期望最大，应生产多少件产品（m,n,θ均已知）？2、市场策略方面0001)(yyeyfy方差是衡量随机变量取值波动程度的一个数字特征。如何定义？一、方差的定义定义若E(X),E(X2)存在，则称E[X-E(X)]2,为随机变量X的方差，记为D(X),或Var(X)。连续型情形离散型情形,)()]([},{)]([)(212dxxfXExxXPXExXDkkk)()(XDX称为随机变量X的标准差。可见推论D(X)=E(X2)-[E(X)]2证明:D(X)=E[X-E(X)]2})]([)(2{22XEXXEXE22)]([)()(2)(XEXEXEXE22)]([)(XEXE例设随机变量X的概率密度为101011)(xxxxxf(1)求D(X),(2)求D(X2)。0)1()1()()1(1001dxxxdxxxXE61)1()1()(1020122dxxxdxxxXE61))(()()(22XEXEXD解：2242)]([)()()2(XEXEXD1040144)1()1()(dxxxdxxxXE151180761151))(()()(22242XEXEXD1、D(C)=0；2、D(aX)=a2D(X),a为常数；证明:222)]([)()(aXEXaEaXD222)]([)(XaEXEa})]([)({222XEXEa)(2XDa二、方差的性质3、)()(2)(2)()()(YEXEXYEYDXDYXD特别地，若X，Y独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y);niniiinXDXDXX111)()(,...,独立，则若类似地1、二项分布B(n,p)nkppCkXPknkkn,...1,0)1(}{三、几个重要的随机变量的方差设则,1niiXX22)()()(iiiXEXEXDniiXDXD1)()()1()1(1pnpppni)1(2pppp,,0,1次实验不成功第次实验成功第iiXi且2、泊松分布π()...,2,1,0,!}{~kekkXPXk0122)!1(!)(kkkkkekekkXE而1)!1()(kkkeXE两边对求导得ekkkk)1()!1(11ekkk1)!1()1()!1(1kkkek222)1())(()()(XEXEXD3、均匀分布U(a,b)12)()(2abXD21)(XD4、指数分布e()5、正态分布N(,2)2)(XD例设活塞的直径X~N(22.40,0.032),气缸直径Y~N(22.50,0.042),X与Y相互独立。任取一只活塞和一只气缸，求活塞能装入气缸的概率。例已知随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，且每个Xi的期望都是0，方差都是1，令Y=X1+X2+…+Xn，求E(Y2)。定理若随机变量X的期望和方差存在，则对任意0，有这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。;)(}|)({|2XDXEXP.)(1}|)({|2XDXEXP已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。解:由切比雪夫不等式1.01.0}|1{|22aaXP1.02a32.0a它有等价形式定义若随机变量X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在,则称Cov(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}为X与Y的协方差。特别地，当Cov(X,Y)=0时，称X与Y不相关。“X与Y独立”和“X与Y不相关”有何关系？§3协方差及相关系数易见Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)。设(X,Y)在D={(X,Y)：x2+y21}上服从均匀分布，求证：X与Y不相关，但不是相互独立的。(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,c)=0(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b为常数；(4)Cov(X+Y，Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);(5)D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y).协方差的性质设随机变量XB(12,0.5),YN(0,1),Cov(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y的方差与协方差。解：由XB(12,0.5),YN(0,1)知D(X)=np(1-p)=12×0.5×(1-0.5)=3,D(Y)=1因此D(V)=D(4X+3Y+1)=D(4X+3Y)=D(4X)+D(3Y)+2Cov(4X,3Y)=16D(X)+9D(Y)+24Cov(X,Y)=33D(W)=D(-2X+4Y)=4D(X)+16D(Y)-12Cov(X,Y)=40Cov(V,W)=Cov(4X+3Y,-2X+4Y)=Cov(4X,-2X)+Cov(4X,4Y)+Cov(3Y,-2X)+Cov(3Y,4Y)=-8Cov(X,X)+10Cov(X,Y)+12Cov(Y,Y)=-22定义若随机变量X,Y的方差和协方差均存在,且DX0,DY0,则称DYDXYXCovXY),(注：称为X的标准化。DXXEXX)(*易知EX*=0，DX*=1。且)(),(****YXEYXCovXY二、相关系数为X与Y的相关系数。相关系数的性质(1)|XY|1；(2)|XY|=1存在常数a,b使P{Y=aX+b}=1；(3)X与Y不相关XY=0。设(X,Y)服从区域D:0x1,0yx上的均匀分布,求X与Y的相关系数。D1x=yothersDyxyxf0),(2),(解:(1,1)0xy,322)(010xdyxdxXE,312)(010xydydxYE,412)(010xydyxdxXYE,361)()()(),(YEX