步步高大一轮复习讲义数学4.1任意角弧度制及任意角的三角函数

§4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为________、________、________.②按终边位置不同分为________和________．(2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成_______________________________________________．(3)弧度制①1弧度的角：_______________________________________________叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为______，负角的弧度数为________，零角的弧度数为______，|α|＝______，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值lr与所取的r的大小________，仅与____________有关．④弧度与角度的换算：360°＝______弧度；180°＝______弧度．⑤弧长公式：________，扇形面积公式：S扇形＝________＝__________.2．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝______，cosα＝______，tanα＝______，它们都是以角为__________，以比值为__________的函数．(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的__________．由三角函数的定义知，点P的坐标为________________，即______________，其中cosα＝______，sinα＝______，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tanα＝______.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的__________、__________、__________.三角函数线(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)有向线段______为正弦线；有向线段______为余弦线；有向线段______为正切线[难点正本疑点清源]1．对角概念的理解要准确(1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°α90°}，第一象限角的集合为{α|k·360°αk·360°＋90°，k∈Z}．(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．2．对三角函数的理解要透彻三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数，也可以看成是以实数为自变量的函数，定义域为使比值有意义的角的范围．如tanα＝yx有意义的条件是角α终边上任一点P(x，y)的横坐标不等于零，也就是角α的终边不能与y轴重合，故正切函数的定义域为α|α≠kπ＋π2，k∈Z.3．三角函数线是三角函数的几何表示(1)正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负．(2)余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负．(3)当角α的终边在x轴上时，点T与点A重合，此时正切线变成了一个点，当角α的终边在y轴上时，点T不存在，即正切线不存在．(4)在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上，还可以从图形角度考察任意角的三角函数，即用有向线段表示三角函数值，这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方．1．(课本改编题)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－513，则x的值为________．2．(课本改编题)若点P在角2π3的终边上，且|OP|＝2，则点P的坐标是________．3．若4πα6π且α与－23π终边相同，则α＝________.4．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝________.5．已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A．1B．4C．1或4D．2或4题型一求与已知角终边相同的角例1已知角α＝45°，(1)在区间[－720°，0°]内找出所有与角α有相同终边的角β；(2)设集合M＝x|x＝k2×180°＋45°，k∈Z，N＝x|x＝k4×180°＋45°，k∈Z，那么两集合的关系是什么？探究提高第(1)小题与α角终边相同的角(连同角α在内)，可以表示为β＝k·360°＋α，k∈Z.第(2)小题也可对整数k的奇、偶数情况展开讨论．(1)如果α是第三象限的角，那么－α，2α的终边落在何处？(2)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(3)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角．题型二三角函数的定义例2已知角α的终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x，求sinα＋1tanα的值．探究提高任意角的三角函数值与终边所在的位置有关，与点在终边上的位置无关，故要首先判定P点所在的象限，确定r，最后根据定义求解．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．题型三三角函数值的符号及判定例3(1)如果点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限．(2)若θ是第二象限角，试判断sincosθcossin2θ的符号是什么？探究提高(1)熟练掌握三角函数的符号法则是解决此类题目的关键．(2)由三角函数符号判断角所在象限，在写角的集合时，注意终边相同的角．已知sin2θ0，且|cosθ|＝－cosθ，则点P(tanθ，cosθ)在第几象限？题型四扇形的弧长、面积公式的应用例4已知一扇形的圆心角为α(α0)，所在圆的半径为R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？探究提高(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．(3)记住下列公式：①l＝αR；②S＝12lR；③S＝12αR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，α(0α2π)为圆心角，S是扇形面积．若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，该扇形的周长取到最小值？8.数形结合具体体现三角函数线的应用试题：(12分)(1)求函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域；(2)设θ是第二象限角，试比较sinθ2，cosθ2，tanθ2的大小．审题视角(1)求定义域，就是求使3－4sin2x0的x的范围．用三角函数线求解．(2)比较大小，可以从以下几个角度观察：①θ是第二象限角，θ2是第几象限角？首先应予以确定．②sinθ2，cosθ2，tanθ2不能求出确定值，但可以画出三角函数线．③借助三角函数线比较大小．规范解答解(1)∵3－4sin2x0，∴sin2x34，∴－32sinx32.[2分]利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x∈kπ－π3，kπ＋π3(k∈Z)．[4分](2)∵θ是第二象限角，∴π2＋2kπθπ＋2kπ，k∈Z，∴π4＋kπθ2π2＋kπ，k∈Z，∴θ2是第一或第三象限的角．[6分](如图阴影部分)，结合单位圆上的三角函数线可得：①当θ2是第一象限角时，sinθ2＝AB，cosθ2＝OA，tanθ2＝CT，从而得，cosθ2sinθ2tanθ2；[8分]②当θ2是第三象限角时，sinθ2＝EF，cosθ2＝OE，tanθ2＝CT，得sinθ2cosθ2tanθ2.[10分]综上所得，当θ2在第一象限时，cosθ2sinθ2tanθ2；当θ2在第三象限时，sinθ2cosθ2tanθ2.[12分]批阅笔记(1)第(1)小题的实质是解一个简单的三角不等式，可以用三角函数图像，也可以用三角函数线，用三角函数线更方便．(2)第(2)小题比较大小，由于没有给出具体的角度，所以用图形可以更直观的表示．(3)本题易错点：①不能确定θ2所在的象限；②想不到应用三角函数线．原因在于概念理解不透，方法不够灵活.方法与技巧1．在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP|＝r一定是正值．2．三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：sinα上正下负；cosα右正左负；tanα奇正偶负．3．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．失误与防范1．注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示．课时规范训练(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1．若角α和角β的终边关于x轴对称，则角α可以用角β表示为()A．2kπ＋β(k∈Z)B．2kπ－β(k∈Z)C．kπ＋β(k∈Z)D．kπ－β(k∈Z)2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为()A．2B．4C．6D．83．有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等；②终边不同的角的同名三角函数的值不等；③若sinα0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cosα＝－xx2＋y2.其中正确的命题的个数是()A．1B．2C．3D．4二、填空题4．若三角形的两个内角α，β满足sinαcosβ0，则此三角形的形状为____________．5．已知α的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点P(－4m,3m)(m0)是α终边上一点，则2sinα＋cosα＝________.6．设α为第二象限角，其终边上一点为P(m，5)，且cosα＝24m，则sinα的值为________．三、解答题7．已知sinθ＝1－a1＋a，cosθ＝3a－11＋a，若θ是第二象限角，求实数a的值．B组专项能力提升题组一、选择题1．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，则m的值为()A．－12B.12C．－32D.322．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．43．已知点Psin3π4，cos3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为()A.π4B.3π4C.5π4D.7π4二、填空题4．函数y＝2cosx－1的定义域为________．5．若β的终边所在直线经过点Pcos3π4，sin3π4，则sinβ＝__________，tanβ＝________.6．一扇形的中心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为__________．三、解答题7．角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a0)，角β终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求sinα·cosα＋sinβ·cosβ＋tanα·tanβ的值．答案要点梳理1．(1)①正角负角零角②象限角轴线角(2)α＋k·360°(k∈Z)(3)①把长度等于半径长的弧所对的圆心角②正数负数零lr③无关角的大小④2ππ⑤l＝|α|r12lr12|α|r22．(1)yrxryx自变量函数值3．正射影(cosα，sinα)P(cosα，sinα)OMMPAT余弦线正弦线正切线MPOMAT基础自测