灰色系统简介

第十二章灰色系统建模方法灰色系统简介1灰色关联分析2灰色模型GM3灰色预测4SARS疫情对商品零售业的影响5油藏动态的系统预测6§12.1灰色系统简介1956年，W.R.Ashby著《控制论导论》，对“黑箱”方法作了精辟的阐述。所谓“黑箱”是一种系统，人们可以得到这种系统的输入值和输出值，但是得不到关于系统内部结构的任何信息。从此在控制系统理论中，常常用颜色的深浅来表示系统中信息的多少。1982年，我国学者邓聚龙教授在北荷兰出版公司的《系统与控制通讯》（System&ControlLetters）发表第一篇灰色系统论文《ControlProblemsofGreySystem》，正式标志灰色系统理论的诞生。“黑”表示信息的完全缺乏，“白”表示信息的充分与完整，而介于之间的“灰”则表示信息不完全、不充分与非唯一。具有灰特征的信息称为灰信息，而具有灰信息的系统称为灰色系统。一个系统的信息不完全有下列四种情况。（1）系统的元素，或者参数方面的信息不完全；（2）系统的结构或关系的信息不完全；（3）系统的运行或功能结果的信息不完全；（4）系统与环境边界的信息不完全。1996年，邓聚龙教授指出：“灰色系统以研究‘少数据不确定’（即由于数据—信息少而导致不确定）为已任。§12.1灰色系统简介它不同于研究‘大样本不确定’的概率论与数理统计，也不同于研究‘认知不确定’的模糊集理论”。并且将灰色系统、概率统计、模糊集三者的区别归纳为表12-1。灰色系统概率统计模糊集内涵小样本不确定大样本不确定认知不确定基础灰朦胧集康托集模糊集依据信息覆盖概率分布隶属函数手段生成统计边界取值特点少数据多数据经验数据要求允许任意分布要求典型分布内涵明确目标现实规律历史统计规律认知表达思维方式多角度重复再现外延量化信息准则最少信息无限信息经验信息表12-1“灰”、“概率”、“模糊”的区别§12.1灰色系统简介黑格尔曾说：“我们所要求的，是要能看出异中之同和同中之异”。灰色系统理论正是在发现了与随机性和模糊性迥异的另一种不确定性的基础上产生的。灰色系统的理论由三个基本部分构成：（1）灰信息论。此部分包括灰信息的数学描述，信息认识模式、信息元素现、灰信息的测度、灰信息覆盖等。（2）灰集合论。此部分包括灰朦胧集的定义，灰朦胧集的演化形态，灰朦胧集代数等。（3）灰方法论。此部分包括灰关联分析方法、GM（1，1）模型法、灰预测、灰评估（灰色统计和灰色聚类）、灰决策、灰控制等.人们从不同的视角出发，划分学科体系的方式各不相同。17世纪，培根按人类的记忆能力、想象能力、判断能力将科学划分为历史、诗歌与艺术、哲学三大门类。19世纪后期，恩格斯提出按物质运动形式和次序划分学科。§12.1灰色系统简介在我国，通常将科学划分为文、理两大门类或按自然科学、数学、社会科学三大领域进行划分。自然科学基础学科则按数、理、化、天、地、生六门类划分。钱学森将科学划分为自然科学、社会科学、系统科学、思维科学、人体科学、数学科学六大领域，每一领域又分为基础科学、技术科学、工程技术三个层次.关西普教授将科学划分为自然科学、社会科学、思维科学三大领域，并认为其门类、分支由各门学科相互渗透而形成的交叉学科、综合学科、横向学科组成。刘思峰教授将科学问题分为简单问题、复杂问题、确定性问题、不确定性问题及其衍生问题，并给出了与各类问题相对应的具有方法论意义的横向交叉学科。用圆Ω表示所有科学问题的集合，以圆A、B、C、D分别表示简单问题、复杂问题、确定性问题、不确定性问题的集合，可得到科学问题分类五环图（图1）。标出解决各类问题的科学方法，即得到横断学科分类五环图（图2）。对照图1和图2可看出，灰色系统理论解决不确定半复杂问题，概率统计、模糊数学解决简单不确定问题，它们处理的科学问题不同，从而明确了灰色系统理论在横断学科群中的地位。§12.1灰色系统简介§12.1灰色系统简介研究一个系统，首先要进行系统分析。灰色关联度是两个系统或两个因素间关联性大小的量度，它描述系统发展过程中因素间相对变化的情况，也就是变化大小、方向与速度等的相对性。如果两因素在发展过程中相对变化态势一致性高，则两者的灰色关联度大；反之，灰色关联度就小。所谓灰色关联分析，就是系统的因素分析，是对一个系统发展变化态势的定量比较和反映。灰色关联分析是通过灰色关联度来分析和确定系统因素间的影响程度或因素对系统主行为的贡献测度的一种方法。设X为系统因素（因子）集，xiX为系统因素，其在序号k上的观测数据为xi（k），k=1，2，…，n，则称xi=（xi（1），xi（2），…，xi（n））为因素xi的行为序列。为保证建立模型的质量和系统分析的正确性，对采集来的原始数据一般需进行预处理，使其消除量纲和具有可比性。§12.2灰色关联分析设有序列x=（x（1），x（2），…，x（n））（1）当y(k)=f(x(k))=x(k)/x(1)，x(1)≠0时，称f是初值化变换；（2）当y(k)=f(x(k))=xkx)(，nkkxnx10)(1时，称f是均值化变换；（3）当y(k)=f(x(k))=)(max)(kxkxk，0)(maxkxk时，称f是百分比变换；（4）当y(k)=f(x(k))=)(min)(kxkxk，0)k(xmink时，称f是倍数变换；（5）当y(k)=f(x(k))=oxkx)(，其中x0为某个大于零的实数，称f是归一化变换；（6）当y(k)=f(x(k))=)(max))(min)((kxkxkxkk，0)(maxkxk时，称f是极差最大值化变换；（7）当y(k)=f(x(k))=))(min)((max))(min)((kxkxkxkxkkk，0)(min)(maxkxkxkk时，称f是区间值化变换；§12.2灰色关联分析如果原始数据具有相同的量纲，能够进行比较，也可以不作数据变换。设X为灰关联因子集，x0=(x0（1），x0（2），…，x0（n）)X，xi=（xi（1），xi（2），…，xi（n））X，i=1，2，…，m,.令|)()(|)(kxkxkiooi，式子))(maxmax)(())(maxmax)(minmin())(),((kkkkkxkxroikioioikioikiio称为关联系数，其中称为分辨系数，（0，1），常取0.5.实数nkioiokxkxrnr1))(),((1),(xx称为xi关于x0的关联度.例1某市道路改建有6种方案：x1--分车道，x2—快速轨道，x3—混行双层，x4—地铁，x5—现道架设轨道，.x6—高架桥分层.各方案指标见表12-2§12.2灰色关联分析表12-2路改方案指标功能造价拆迁费交通量车速线路标准公害安全综合系数施工难易k12345678910x1x2x3x4x5x688366236366226550468803343046160447602549017700262011880495495118002200800200080080035002560308060500.510.750.580.700.750.630.500.670.330.330.330.500.330.670.500.830.500.672.253.002.503.253.003.000.80.40.60.20.40.6§12.2灰色关联分析以相对优化原则构造参考序列))10(,),2(),1((0000xxxx,比如，交通功能“越大越好”，则选8862,36,36,62,36,88max)1(max)1(610iixx,工程造价“越小越好”，则选2549025490,44760,46160,33430,46880,26550)2()2(610mimxmimxii，可得0x=(88,25490,495,3500,80,0.75,0.33,0.83,3.25,0.8).经计算得r(x0,x1)=0.8422,r(x0,x2)=0.8747,r(x0,x3)=0.8255,r(x0,x4)=0.8892,r(x0,x5)=0.8716,r(x0,x6)=0.8776,关联序为r(x0,x4)r(x0,x6)r(x0,x2)r(x0,x5)r(x0,x1)r(x0,x3)，这表明“地铁方案”最优。§12.3灰色模型GM在灰色系统中，原始数据往往由于噪音污染而呈现随机离乱的情形。如果此时将这种灰色数列变换或生成为较有规律的数列再建立微分方程，在灰色系统理论中称这种近似的模型为灰色微分方程模型，简记为GM（GreyModel）。一.GM（1，1）模型设系统只有一个行为因子))(,),2(),1(()0()0()0()0(nxxxx，作累加kjjxkx1)0()1()()(，生成数列))(,),2(),1(()1()1()1()1(nxxxx，微分方程2)1(1)1()()(btxbdttdx（12.2）是1阶1个变量的微分方程模型，记为GM（1，1）.§12.3灰色模型GM为了辨识模型参数21,bb，在区间ktk1上，令)()1(tx=))()1((21)()0()0()1(kxkxkz，dttdx)()1(=)()1()()()0()1()1(kxkxkxkd，则（12.2）化为离散模型2)1(1)()(bkzbkd（12.3）用数值积分的观点出发，可以证明（12.3）只是（12.2）的2阶精度的数值模型，而6))1()(4)1(()())1()((5.0)()()()1()1()1()1()0()0(2)1(1kxkxkxkzkxkxkdbkzbkd（12.4）则（12.2）的4阶精度的数值模型.记T21),(bbb，T((2),(3),,(1))dddnD，(1)(1)(1)(2)1(3)1(1)1zzznB，可将（12.3）或（12.4）化为D=Bb，一般可用最小二乘法))()min((TBbDBbD求出b的估计值bˆ，可以证明，当BBT可逆时，有DBB)(Bb1TTˆ（12.5）§12.3灰色模型GM二.GM（1，N）模型设系统有N个行为因子Ninxxxxiiii,,2,1,))(,),2(),1(()0()0()0()0(，作累加运算kjiijxkx1)0()1()()(，可得累加生成数列Ninxxxxiiii,,2,1,))(,),2(),1(()1()1()1()1(，微分方程)()()()()()1()1(33)1(22)1(11)1(1txatxatxatxadttdxNN（12.6）是1阶N个变量的微分方程模型，记为GM（1，N）.类似地，当ktk1时，令)()1(1tx=))()1((21)()0(1)0(1)1(1kxkxkz，dttdx)()1(1=)()1()()()0(1)1(1)1(11kxkxkxkd，Nikxkztxiii,,2),()()()1()1()1(，将（12.6）化成离散模型)()()()()()1()1(33)1(22)1(111kzakzakzakzakdNN（12.7)同样可以证明（12.7）是（12.6）的2阶精度数值模型，而下式则为4阶精度数值模型：§12.3灰色模型GMNikxkxkxkzkxkxkdkzbkzbkdiiiiNiii,,2,1,)1()(4)1(61)()1()(21)(,)()()()1()1()1()1()0(1)0(112)1()1(111（12.8）记T21),,,(Naaaa，T111))(,),3(),2((ndddD，)()()()3()3()3()2()2()2()1()1(2)1(1)1()1(2)1(1)1()1(2)1(1nzn