江苏省南通、扬州、泰州2017届高三第三次模拟考试数学试题-Word版含答案

-1-江苏省南通、扬州、泰州2017届高三第三次模拟考试数学试题第Ⅰ卷（共70分）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.设复数zabi(,abR,i为虚数单位），若(43zi)i，则ab的值是．2.已知集合|0,|2UxxAxx，则UAð．3.某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是．4.如图是一个算法流程图，则输出的k的值是．5.为调査某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本，其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人.若其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是．6.设等差数列na的前n项和为nS，若公差52,10da，则10S的值是．7.在锐角ABC中，3,4ABAC，若ABC的面积为33，则BC的长是．8.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22210xyaa经过抛物线28yx的焦点，则该双曲线的离心率是．9.已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为23的扇形，则这个圆锥的高为．-2-10.若直线2yxb为曲线xyex的一条切线，则实数b的值是．11.若正实数,xy满足1xy，则4yxy的最小值是．12.如图，在直角梯形ABCD中，//,90,3,2ABDCABCABBCDC，若,EF分别是线段DC和BC上的动点，则ACEF的取值范围是．13.在平面直角坐标系xOy中，已知点0,2A，点1,1,BP为圆222xy上一动点，则PBPA的最大值是．14.已知函数3,3,xxafxxxxa若函数2gxfxax恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围是．第Ⅱ卷（共90分）二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数sin0,03fxAxA图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点3,32.（1）求函数fx的解析式；（2）若角满足31,0,2ff，求角值.16.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD平面,,,ABCDAPADMN分别为棱,PDPC的中点.求证：-3-（1）//MN平面PAB；（2）AM平面PCD.17.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆222210xyabab的左焦点为1,0F，且经过点31,2.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的弦AB过点F，且与x轴不垂直.若D为x轴上的一点，DADB，求ABDF的值.18.如图，半圆AOB是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA的长为1百米.为了保护景点，基地管理部门从道路l上选取一点C，修建参观线路CDEF,且,,CDDEEF,均与半圆相切，四边形CDEF是等腰梯形，设DEt百米，记修建每1百米参观线路的费用为ft万元，经测算15,03118,23tfttt.-4-（1）用t表示线段EF的长；（2）求修建参观线路的最低费用.19.已知na是公差为d的等差数列，nb是公比为q的等比数列，1q，正整数组,,Emprmpr.（1）若122331ababab，求q的值；（2）若数组E中的三个数构成公差大于1的等差数列，且mpprrmababab，求q的最大值.（3）若11,02nnmmpprrbababab，试写出满足条件的一个数组E和对应的通项公式na.(注：本小问不必写出解答过程)20.已知函数2cos(fxaxxaR），记fx的导函数为gx.（1）证明：当12a时，gx在R上的单调函数；（2）若fx在0x处取得极小值，求a的取值范围；（3）设函数hx的定义域为D，区间,mD.若hx在,m上是单调函数，则称hx在D上广义单调.试证明函数lnyfxxx在0,上广义单调.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A、B、C、四个小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB为圆O的一条弦，点P为弧AB的中点，过点P任作两条弦,PCPD分别交-5-AB于点,EF.求证：PEPCPFPD.B.选修4-2：距阵与变换已知矩阵11aMb，点1,1在M对应的变换作用下得到点1,5，求矩阵M的特征值.C.选修4-4：坐标系与参数方程在坐标系中，圆C的圆心在极轴上，且过极点和点32,4，求圆C的极坐标方程.D.选修4-5：选修4-5：不等式选讲已知,,,abcd是正实数，且1abcd，求证：5555abcdabbd.【必做题】第22、23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图，在四棱锥SABCD中，SD平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，90,2,1ADCDABSDADABDC.（1）求二面角SBCA的余弦值；-6-（2）设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正弦值为22613，求线段CP的长.23.已知函数00,0cxdfxaacbdaxb，设nfx为1nfx的导数，nN.（1）求12,fxfx；（2）猜想nfx的表达式，并证明你的结论.江苏省南通、扬州、泰州2017届高三第三次模拟考试数学试题参考答案一、填空题:1．122.|02xx3.564.35.75006.1107.138.529.2210.111.812：4,613.214.3,22二、解答题:15.解：(1)由条件，周期2T，即22，所以1，即sin3fxAx.因为fx的图象经过点3,32，所以23sin,1,sin323AAfxx.(2)由312ff，得sin3cos1332，即sin3cos1,2sin13333，即1sin2.因为-7-0,,6或56.16.解：(1)因为,MN分别为棱,PDPC的中点，所以//MNDC，又因为底面ABCD是矩形，所以//,//ABDCMNAB.又AB平面,PABMN平面PAB，所以//MN平面PAB.(2)因为,APADM为PD的中点，所以AMPD.因为平面PAD平面ABCD，又平面PAD平面,,ABCDADCDADCD平面ABCD，所以CD平面PAD，又AM平面PAD，所以CDAM.因为,CDPD平面,,PCDCDPDDAM平面PCD.17.解：(1)由题意，知222233211114,222aa.又2221,,3cabcb，所以椭圆的标准方程为22143xy.(2)设直线AB的方程为1ykx.①若0k时，24,1,4ABABaFDFODF.②若0k时，1122,,,,AxyBxyAB的中点为00,Mxy，代入椭圆方程，整理得22223484120kxkxk，所以2222212000222246146143,,,134343434kkkkkkxxxykxkkkk，所以AB的垂直平分线方程为2223143434kkyxkkk.因为DADB，所以点D为AB的垂直平分线与x轴的交点，所以22222233,0,1343434kkkDDFkkk，因为椭圆的左准线的方程为4x，离心率为12，由1142AFx，得1142AFx，同理2212021112124,442234kBFxABAFBFxxxk，所以4ABDF，综上，得ABDF的值为4.-8-18.解：设DE与半圆相切于点Q，则由四边形CDEF是等腰梯形知，,OQlDQQE，以OF所在直线为x轴，OQ所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.(1)设EF圆切于G，连结OG过点E作EHAB，垂足为H.因为,,EHOGOFGEFHGOFHEF，所以1,2RtEHFRtOGFHFFGEFt.由2221111,0224tEFHFEFtEFtt.(2)设修建该参观线路的费用为y万元.①当11320,525342ttytttt，由232'502yt，则y在10,3上单调递减，所以当13t时，y取得最小值为32.5.②当123t时，2111632821242tytttttt，所以223316241331'12tttyttt，212,33103ttt，且当1,13t时，'0y；当1,2t时，'0y，所以y在1,13上单调递减，在1,2上单调递增.所以当1t时，y取得最小值为24.5.由①②知，y取得最小值为24.5.答：（1）EF的长为114t百米；（2）修建该参观线路的最低费用为24.5万元.-9-19.解：(1)由条件，知21111211112abqadbqadbqadb，即21221,2101dbqqqqdbq，11,2qq.(2)由mpprabab，即pmpraabb，所以pmrmmpmdbqq，同理可得，1rmmrpdbq，因为,,mpr成等差数列，所以12pmrprm.记pmqt，则有2210tt，1,1qt，故12t，即1,102pmqq.记pm，则为奇函数，又公差大于1，所以113113,22q，即1312q，当3时，q取最大值为1312.(3)满足题意的数组,2,3Emmm，此时通项公式为11331,288mnanmmN.例如：3111,3,4,88nEan.20.解：(1)当12a时，21cos,'sin2fxxxfxxx，即sin,'1cos0gxxxgxx，gx在R上单调递增.(2)'2sin,'2cosgxfxaxxgxax.①当12a时，'1cos0gxx，所以函数'fx在R上单调递增.若0x，则'00fxf；若0x，则''00fxf，所以函数fx的单调增区间是0,，单调减区间是,0，所以fx在0x处取得极小值，符合题意.②当12a时，'1cos0gxx，所以函数'fx在R上单调递减.若0x，则''00fxf；若0x，则''00fxf，所以fx的单调减区间是0,，单调增区间是,0，所以