1.3-第一课时--组合与组合数公式-课件(北师大选修2-3)

返回返回返回返回观察下列两个问题：(1)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，其中1名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？(2)从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，有多少种不同的选法？问题1：(1)与(2)相同吗？为什么？提示：不相同，(1)中选法是有顺序的，是排列问题；返回(2)中选法没有顺序，不是排列问题．问题2：请写出(2)中所有可能的结果．提示：甲乙，甲丙，乙丙．问题3：从你班56名同学选7名同学组成班委，有顺序吗？提示：没有．返回1．组合一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.所有不同组合的个数Cmn返回从甲、乙、丙、丁4名同学中选3名同学．问题1：3名同学参加某项知识竞赛，试用列举法求出组合数．提示：甲乙丙，甲乙丁，乙丙丁，乙丙丁共4种，即C34＝4.问题2：3名同学分别参加语文、数学、英语竞赛，有多少种选法？提示：A34.返回问题3：如何用分步乘法计数原理解决问题2?提示：第一步，从这4人中任选3人有C34种选法；第二步，将选出的3人作全排列，有A33种选法．由分步乘法计数原理知，共有C34A33种选法．问题4：你能得出什么结论？提示：A34＝C34A34即C34＝A34A33.返回问题5：可把问题4的结论推广吗？提示：可以，把从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可看作由以下两个步骤得到：第一步，从这n个不同元素中取出m个元素，共有Cmn种不同的取法；第二步，将取出的m个元素做全排列，共有Amm种不同的排法．由分步乘法计数原理，知Amn＝CmnAmm，故Cmn＝AmnAmm.返回1nn－1n－2…n－m＋1m！n！m！n－m！乘积形式Cmn＝AmnAmm＝组合数公式阶乘形式Cmn＝备注①n，m∈N＋且m≤n.②规定C0n＝返回从5名学生和1名教师中选出2人参加某项活动．问题1：选出2人参加某项活动与选出4人不参加此项活动的方法数有什么关系？提示：相等，即C26＝C46.返回问题2：选出的2人中含教师有多少种选法？选出的2人中不含教师有多少种选法？提示：C15C25.问题3：我们知道问题1中选出2人就是问题2中的两种情况，由此你得出何结论？提示：C26＝C15＋C25.返回组合数的性质1．Cmn＝；2．Cmn＋1＝＋.Cn－mnCmnCm－1n返回1．组合的特点：只取不排．组合要求n个元素是各不相同的，被取出的m个元素也是不相同的，且m≤n.2．组合的特性：元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求．3．相同的组合：根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，就是相同的组合．返回返回[例1]给出下列问题：(1)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成一件工作，有多少种不同的安排方法？(2)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的安排方法？(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？返回[思路点拨]要分清是组合还是排列问题，只要确定取出的这些元素是否与顺序有关．[精解详析](1)两名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题；(2)两名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题；(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题；(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．返回[一点通]区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，无顺序就是组合问题．要判定它是否有顺序的方法是先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题．返回1．判断下列问题是组合问题，还是排列问题．(1)设集合A＝{a，b，c，d}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个？(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？(3)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？返回(4)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3个客人入座，又有多少种方法？(5)把4本相同的数学书分给5个学生，每人至多得一本，有多少种分配方法？(6)4个人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？返回解：(1)组合问题，因为集合中取出元素具有“无序性”．(2)组合问题，由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法时，与两个元素的位置无关．(3)排列问题，两个元素做除法时，谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关．返回(4)第一问是组合问题，第二问是排列问题，“入座”问题同“排队”，与顺序有关．(5)组合问题，由于4本数学书是相同的，不同的分配方法取决于从5个学生中选择哪4个人，这和顺序无关．(6)排列问题，因为5种工作是不同的，一种分工方法就是从5种不同的工作中选出4种，按一定的顺序分配给4个人，它与顺序有关.返回[例2]求值：(1)C410－C37A33；(2)C98100＋C199200；(3)C38－n3n＋C3n21＋n.[思路点拨]用组合数公式和组合数的性质解决．[精解详析](1)原式＝C410－A37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.返回(2)C98100＋C199200＝C2100＋C1200＝100×992＋200＝4950＋200＝5150.(3)∵38－n≤3n，3n≤21＋n，∴9.5≤n≤10.5.∵n∈N＋，∴n＝10.∴C38－n3n＋C3n21＋n＝C2830＋C3031＝C230＋C131＝30×292×1＋31＝466.返回[一点通](1)对于组合数的有关运算，除了利用组合数公式外，还要注意利用组合数的两个性质，对式子进行适当的变形，选择最恰当的公式计算．(2)有关组合数的证明问题，一般先依据组合数的性质化简，再用组合数的阶乘形式证明．返回2．计算：①C68＝________；②3C25－2C24＝________.解析：①C68＝C28＝28.②3C25－2C24＝3×10－2×6＝18.答案：①28②18返回3．已知C4n，C5n，C6n成等差数列，求C12n的值．解：由已知，得2C5n＝C4n＋C6n，所以2·n！5！n－5！＝n！4！n－4！＋n！6！n－6！，整理，得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14.要求C12n的值，故n≥12，所以n＝14，于是C1214＝C214＝14×132×1＝91.返回4．证明：Cmn＝nmCm－1n－1.证明：∵nm·Cm－1n－1＝nm·n－1！m－1！[n－1－m－1]！＝n！[m·m－1！]n－m！＝n！m！n－m！＝Cmn，∴Cmn＝nmCm－1n－1成立.返回[例3](12分)一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？[思路点拨]先判断是不是组合问题，再用组合数公式写出结果，最后求值．返回[精解详析](1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C38＝8×7×63×2×1＝(4分)(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C11C27＝7×62×1＝(8分)(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C37＝7×6×53×2×1＝(12分)返回[一点通]解简单的组合应用题，要首先判断它是不是组合问题，即取出的元素是“合成一组”还是“排成一列”，其次要看这件事是分类完成还是分步完成．返回5．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有()A．C310种B．A310种C．A27A13种D．C27C13种解析：每个被选的人员无角色差异，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有C13种选法；第二步，选男工，有C27种选法．故有C13C27种不同选法．答案：D返回6．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)解析：从10个人中选4人作为甲组，剩下的6人为乙组，共有C＝210种分组方法．答案：210410返回7．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法有C210＝45种．(2)从6名男教师中选2名有C26种选法，从4名女教师中选2名有C24种选法．根据分步乘法计数原理，共有选法C26C24＝90种．返回1．“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是m个元素形成的一个整体，不是数，组合数是形成的不同组合的个数，是数量．2．对于有关组合数的计算、证明、解方程或不等式时，一是要注意组合数本身的有意义的未知数的取值范围．二是掌握组合数性质，在计算Cmn时，若m＞n2，通常使用Cmn＝Cn－mn转化；求多个组合数的和时，要注意观察上、下标的特征，灵活运用Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n.