高中数学选修2-3---第1章-计数原理第一章1.1(一)

本课时栏目开关填一填研一研练一练【学习要求】1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．2．会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题．【学法指导】两个计数原理是推导排列数、组合数计算公式的依据，其基本思想贯穿本章始终，理解两个原理的关键是分清分类与分步.本课时栏目开关填一填研一研练一练填一填·知识要点、记下疑难点两个计数原理1．分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法.2．分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法.m＋nm×n本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效探究点一分类加法计数原理问题1用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？答因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26＋10＝36(种)不同的号码．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效问题2问题1中最重要的特征是什么？答最重要的特征是“或”字的出现：每个座位都可以用一个英文字母或一个阿拉伯数字编号，有两类方案．问题3由问题1你能归纳出一般结论吗？答分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．问题4分类加法计数原理中的“各种方法”与“完成这件事”有什么关系？答分类加法计数原理中的“各种方法”都能独立“完成这件事”，与“其他方法”没关系．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效例1在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效解这名同学可以选择A、B两所大学中的一所．在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法．又由于两所大学没有共同的强项专业，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为5＋4＝9.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效问题5若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学，那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？答这名同学可以选择A、B、C三所大学中的一所．在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法，在C大学中有3种专业选择方法．又由于三所大学没有共同的强项专业，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为5＋4＋3＝12.小结如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同的方法．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1某校高三共有三个班，其各班人数如下表：班级男生数女生数总数高三(1)302050高三(2)303060高三(3)352055(1)从三个班中选一名学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从(1)班、(2)班男生中或从(3)班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？解(1)从三个班中任选一名学生，可分三类：第1类，从高三(1)班任选一名学生，有50种不同选法；第2类，从高三(2)班任选一名学生，有60种不同选法；第3类，从高三(3)班任选一名学生，有55种不同选法．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效由分类加法计数原理知，不同的选法共有N＝50＋60＋55＝165(种)．(2)由题设知共有三类：第1类，从(1)班男生中任选一名学生，有30种不同选法；第2类，从(2)班男生中任选一名学生，有30种不同选法；第3类，从(3)班女生中任选一名学生，有20种不同选法．由分类加法计数原理知，不同的选法共有N＝30＋30＋20＝80(种)．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效探究点二分步乘法计数原理问题1如图，从丽水经杭州到上海的途径有多少种？答所用途径为6×10＝60(种)．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效问题2用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？答编写一个号码要先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字，我们可以用树形图列出所有可能的号码．如图：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6×9＝54(个)不同的号码．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效问题3由上述问题1,2，你能归纳猜想出一般结论吗？答分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．问题4分步乘法计数原理中的“各步方法”与“完成这件事”有什么关系？答要完成这件事，“各步”中的方法必须依次都完成，步与步之间是连续的，且相互依存．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效问题5如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事需要n个步骤，做每一步中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？答m1×m2×m3，m1×m2×…×mn.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效例2某商店现有甲种型号电视机10台，乙种型号电视机8台，丙种型号电视机12台，从这三种型号的电视机中各选一台检验，有多少种不同的选法？解完成从这三种型号的电视机中各选一台检验可分三步完成：第一步：从甲种型号中选一台，有10种不同的方法；第二步：从乙种型号中选一台，有8种不同的方法；第三步：从丙种型号中选一台，有12种不同的方法；根据分步乘法计数原理，得10×8×12＝960(种)．因此共有960种不同的方法．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效小结利用分步乘法计数原理解决问题时，一定要正确设计“分步”的程序，即完成这件事共分几步，每一步的具体内容是什么，各步的方法、种数是多少，最后用分步乘法计数原理求解．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数是多少？解圆的方程由三个量a、b、r确定，a、b、r分别有3种、4种、2种选法，由分步乘法计数原理得，可表示不同的圆的个数为3×4×2＝24.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效探究点三两个计数原理的综合应用问题比较分类加法计数原理和分步乘法计数原理，你能找出它们的区别与联系吗？答(1)相同点：都是回答有关完成一件事的不同方法种数的问题．(2)不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事可分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事分为若干步，各个步骤相互依存，只完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效例3书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．(1)从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？(2)从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？(3)从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？解(1)从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类方法是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类方法是从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数是N＝m1＋m2＋m3＝4＋3＋2＝9.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效(2)从书架的第1,2,3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是N＝m1×m2×m3＝4×3×2＝24.(3)N＝4×3＋4×2＋3×2＝26.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效小结解两个计数原理的综合应用题时，最容易出现不知道应用哪个原理解题的情况，其思维障碍在于没有区分该问题是“分类”还是“分步”，突破方法在于认真审题，明确“完成一件事”的含义．具体应用时灵活性很大，要在做题过程中不断体会和思考，基本原则是“化繁为简”．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？(4)要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？解(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法，根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效(2)分为三步：国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法．(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画．由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法，所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法．(4)从3幅画出选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法．根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是N＝3×2＝6.本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为()A．7B．12C．64D．81解析要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12(种)不同的配法．B本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处2．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为()A．1＋1＋1＝3B．3＋4＋2＝9C．3×4×2＝24D．以上都不对B本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处3．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线()A．24种B．16种C．12种D．10种C本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有________个．解析第一步取b的数，有6种方法，第二步