3-1任意角和弧度制及任意角的三角函数

考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形第1课时任意角和弧度制及任意角的三角函数考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形1．角的有关概念角的特点角的分类从运动的角度看角可分为、和.从终边位置来看可分为和轴线角α与β角的终边相同β＝(或α＋k·2π，k∈Z)正角负角零角象限角α＋k·360°，k∈Z考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形[思考探究](1)终边相同的角相等吗？它们的大小有何关系？(2)锐角是第一象限角，第一象限角一定是锐角吗？小于90°的角是锐角吗？提示：(1)终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍．(2)第一象限角不一定是锐角，如390°，－300°都是第一象限角，但它们不是锐角．小于90°的角也不一定是锐角，如0°，－30°，都不是锐角．考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形2．弧度的概念与公式在半径为r的圆中：分类定义(公式)1弧度的角把长度等于长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示角α的弧度数公式|α|＝(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝rad②1rad＝.弧长公式弧长l＝.扇形面积公式S＝＝.半径lrπ180180π°r|α|12lr12r2|α|考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形3.任意角的三角函数(1)定义：设角α的终边与单位圆交于P(x，y)，则sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在上，余弦线的起点都是，正切线的起点都是．(3)终边相同的角的三角函数值公式一：sin(α＋k·2π)＝；cos(α＋k·2π)＝；tan(α＋k·2π)＝，其中k∈Z.yxx轴原点(1，0)sinαcosαtanα考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形答案：B1．角α的终边过点P(－1，2)，则sinα＝()A.55B.255C．－55D．－255解析：由三角函数的定义得sinα＝2（－1）2＋22＝255，选B.考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形2．半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角大小是()A．2B．4C．6D．8答案：A解析：设圆心角为α，由公式可得，|α|＝42＝2.考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形3．已知角α的终边上一点A(2，2)，则α的大小为()A.π4B.π6C．k·360°＋45°，k∈ZD．k·360°＋30°，k∈Z考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形答案：C解析：由r＝22＋22＝22，∴sinα＝222＝22，∴α＝k·360°＋45°，k∈Z.考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形4．若点A(x，y)是300°角终边上异于原点的一点，则yx的值为________．解析：yx＝tan300°＝－tan60°＝－3.答案：－3考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形5．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α为第________象限角．解析：当k＝2n时，α＝n·360°＋45°，当k＝2n＋1时，α＝n·360°＋225°，∴α为第一或第三象限角．答案：一或三考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形(1)如果角α是第三象限角，那么角－α，π－α，π＋α的终边在第几象限？(2)写出终边落在直线y＝3x上的角的集合．考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形解析：(1)∵π＋2kπα3π2＋2kπ(k∈Z)，∴－3π2－2kπ－α－π－2kπ(k∈Z)．①∴－α终边在第二象限．又由①各边都加上π，得－π2－2kππ－α－2kπ(k∈Z)．∴π－α是第四象限角．同理可知，π＋α是第一象限角．考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形(2)在0～2π范围内，终边在直线y＝3x上的角有两个：π3、4π3.因此，终边在直线y＝3x上的角的集合为{α|α＝π3＋2kπ，k∈Z}∪{α|α＝4π3＋2kπ，k∈Z}＝{α|α＝π3＋kπ，k∈Z}．考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形1.一般地，角α的终边与角－α的终边关于x轴对称；角α的终边与角π－α的终边关于y轴对称；角α的终边与角π＋α的终边关于原点对称．2．利用与角α的终边相同的角β的集合S＝{β|β＝k·2π＋α，k∈Z}，可以把任意角转化到[0°，360°)范围内来研究．考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形1.已知角α＝45°，写出所有与角α有相同终边的角β，并写出在(－360°，360°)内的角β.解析：所有与角α有相同终边的角可以表示为：β＝k·360°＋45°(k∈Z)；令k分别取－1，0，可得在(－360°，360°)内的角β有－315°及45°.考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形已知一扇形的圆心角是α，半径为R，弧长l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解析：(1)α＝60°＝π3rad，∴l＝α·R＝π3×10＝10π3(cm)．考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形(2)由题意得l＋2R＝20，∴l＝20－2R(0R10)．∴S扇＝12l·R＝12(20－2R)·R＝(10－R)·R＝－R2＋10R.∴当且仅当R＝5时，S有最大值25.此时l＝20－2×5＝10，α＝lR＝105＝2(rad)．∴当α＝2rad时，扇形面积取最大值．考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形1.在弧度制下，弧长公式为l＝α·r，扇形面积公式为S＝12l·r＝12α·r2，α为圆心角，α∈(0，2π)，r为半径，l为弧长．2．有关最值的问题，一般转化为求函数的最值，把所求问题表示成某一变量的函数，进而求得最值．考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形2.已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20cm，求扇形的面积．解析：∵α＝π180×72＝25π∴S＝12α·r2＝12×25π×202＝80π(cm2)∴扇形的面积为80πcm2.考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形已知角α终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x，求sinα，tanα的值．解析：∵P(x，－2)(x≠0)，∴P到原点的距离r＝x2＋2，又cosα＝36x，∴cosα＝xx2＋2＝36x，∵x≠0，∴x＝±10，∴r＝23.考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形当x＝10时，P点坐标为(10，－2)，由三角函数定义，知sinα＝－66，tanα＝－55；当x＝－10时，P点坐标为(－10，－2)，∴sinα＝－66，tanα＝55.考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形3.若β的终边所在直线经过点Pcos3π4，sin3π4，则sinβ＝________，tanβ＝________．考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形解析：因为β的终边所在直线经过点cos3π4，sin3π4，所以β的终边所在直线为y＝－x，则β在第二或第四象限．所以sinβ＝22或－22，tanβ＝－1.答案：22或－22－1考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形1．常见的终边相同的角的表示角α终边的位置角α的集合在x轴的非负半轴上{α|α＝2kπ，k∈Z}在x轴的非正半轴上{α|α＝2kπ＋π，k∈Z}在y轴的非负半轴上在y轴的非正半轴上在x轴上在y轴上在坐标轴上αα＝2kπ＋π2，k∈Zαα＝2kπ＋3π2，k∈Z{αα＝kπ，k∈Z}αα＝kπ＋π2，k∈Zαα＝kπ2，k∈Z考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形2.三角函数线的应用三角函数线是三角函数的一种几何表示，三角函数线体现了数形结合的思想．例如，借助三角函数线可以直接得到sinα与cosα的大小关系．在直角坐标系内作直线y＝x(如图所示)，则有：考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形(1)当角α的终边落在直线y＝x上时，sinα＝cosα；(2)当角α的终边落在直线y＝x的上方时，sinα＞cosα；(3)当角α的终边落在直线y＝x的下方时，sinα＜cosα.考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形从近两年的高考试题来看，三角函数的定义、三角函数的符号判定及终边相同角的问题是高考的热点，题型以选择题为主，一般难度较小．考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形忽视角的终边位置致误·名师点拨增分(2011·全国新课标卷)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()A．－45B．－35C．35D．45考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形答案：B解析：设P(t，2t)(t≠0)为角θ终边上任意一点，则cosθ＝t5|t|.当t0时，cosθ＝55；当t0时，cosθ＝－55.因此cos2θ＝2cos2θ－1＝25－1＝－35.考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形错因分析(1)误认为角θ的终边在第一象限；(2)不知道在终边y＝2x上取一些特殊点求值．备考建议(1)利用定义来求任意角的三角函数，关键是求出角的终边上点P的横、纵坐标及点P到原点的距离，再利用定义求解.(2)若角的终边落在某条直线上，这时终边位置实际上有两个，对应的三角函数值有两组，应分别求解.考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形已知α和β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－π3，则sinα＝()A．－32B.32C．－12D.12考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形答案：D解析：因为α和β的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β＝2kπ＋π2(k∈Z)，又β＝－π3，所以α＝2kπ＋5π6(k∈Z)，即得sinα＝12.考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形课时作业返回目录