高中数学一轮复习课件：数系的扩充与复数的引入

考纲要求1.理解复数的基本概念．2．理解复数相等的充要条件．3．了解复数的代数表示法及其几何意义．4．会进行复数代数形式的四则运算．5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．热点提示1.从近几年的高考试题看，复数的概念及其代数形式的运算成为命题的热点，通常分两种题型，即选择题和填空题．一是考查复数的概念，如纯虚数，两个复数相等；二是复数代数形式的加、减、乘、除四则运算等基础知识．2．预测2011年高考命题仍会以考查复数的概念，包括以实部与虚部、虚数与纯虚数以及复数的代数形式的运算为重点进行命题.•1．复数的有关概念•(1)复数的概念•形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的．若，则a＋bi为实数，若，则a＋bi为虚数，若，则a＋bi为纯虚数．实部和虚部b＝0b≠0a＝0且b≠0•(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔(a，b，c，d∈R)．•(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔(a，b，c，d∈R)．•(4)复平面•建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．•叫做实轴，叫做虚轴．实轴上的点都表示；除原点外，虚轴上的点都表示；各象限内的点都表示．a＝c且b＝da＝c，b＝－dx轴y轴实数纯虚数非纯虚数•3．复数的运算•(1)复数的加、减、乘、除运算法则•设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则•①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝；•②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝；•③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝•；(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)i•(2)复数加法的运算定律•复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝，(z1＋z2)＋z3＝．z2＋z1z1＋(z2＋z3)•任意两复数能比较大小吗？•提示：不一定，只有这两个复数全是实数时才能比较大小.1．复数(1＋1i)3＋(1－1i)3等于()A．0B．1C．4D．－4解析：(1＋1i)3＋(1－1i)3＝(1－i)3＋(1＋i)3＝－2i(1－i)＋2i(1＋i)＝2i·2i＝－4.答案：D•2．若复数z1＝(1＋i)2，z2＝1－i，则复数z＝的共轭复数所对应的点位于复平面的()•A．第一象限B．第二象限•C．第三象限D．第四象限解析：z＝z1z2＝2i1－i＝－2＋2i2＝－1＋i，共轭复数为z＝－1－i，则复数z＝－1－i所对应的点是(－1，－1)，在第三象限，故选C.答案：C3．设复数z＝1－i1＋i＋(1＋i)2，则(1＋z)7展开式的第五项是()A．－21B．35C．－21iD．－35i解析：由z＝1－i1＋i＋(1＋i)2得z＝i，则T5＝T4＋1＝C47z4＝35×i4＝35，故选B.答案：B4．若复数2＋bi31＋2i(b∈R)在复平面上对应的点恰好在直线x＋y＝0上，则b的值为________．解析：利用复数的运算性质，2＋bi31＋2i＝2＋bi31－2i1＋2i1－2i＝2－2b－4＋bi5，该复数对应的点为(2－2b5，－4＋b5)，所以2－2b5－4＋b5＝0，可得b＝－23.•5．设i为虚数单位，那么1＋i＋i2＋…＋i10＝________.•解析：1＋i＋i2＋…＋i10＝[1＋i＋(－1)＋(－i)]＋[1＋i＋(－1)＋(－i)]＋(1＋i－1)＝0＋0＋i＝i.•答案：i【例1】已知m∈R，复数z＝mm＋2m－1＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z是实数？(2)z是虚数？(3)z是纯虚数？解：(1)要使z是实数，m须满足：m2＋2m－3＝0且mm＋2m－1有意义，解得m＝－3.∴当m＝－3时，复数z为实数．(2)要使z是虚数，m须满足：m2＋2m－3≠0，且mm＋2m－1有意义，解得m≠1且m≠－3.∴当m∈R且m≠1，－3时，z为虚数．(3)要使z是纯虚数，m须满足：mm＋2m－1＝0且m2＋2m－3≠0.解得m＝0或m＝－2，∴当m＝0或m＝－2时，z为纯虚数．•此题是基础题，用到了复数的分类．在对复数进行分类时要注意，使得虚部和实部均有意义，如当z为实数时，应有虚部b＝0，还要保证实部a有意义；当z为虚数时，应有虚部b≠0，还要保证实部a有意义；当z为纯虚数时，应有实部a＝0，还要保证虚部b≠0，否则容易发生错误，在做题时要特别小心.变式迁移1当实数m为何值时，z＝m2－m＋6m＋3＋(m2＋5m＋6)i(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数？解：(1)若z为实数，则m2＋5m＋6＝0，m＋3≠0，解得m＝－2，(2)若z为虚数，则m2＋5m＋6≠0且m＋3≠0，解得m≠－2且m≠－3.(3)若z为纯虚数，则m2＋5m＋6≠0，m2－m－6m＋3＝0，解得m＝3.•【例2】已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.•思路分析：设x＝a＋bi，y＝a－bi(a，b∈R)，根据复数相等的条件求解．解：设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2，代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i，根据复数相等得4a2＝4－3a2＋b2＝－6，解得a＝1b＝1或a＝1b＝－1或a＝－1b＝1或a＝－1b＝－1.故所求复数为x＝1＋iy＝1－i或x＝1－iy＝1＋i或x＝－1＋iy＝－1－i或x＝－1－iy＝－1＋i.•解这类题的关键是将复数设成z＝a＋bi(a，b∈R)的代数形式，然后根据复数相等，实现复数问题向实数问题的转化，使问题得以解决.变式迁移2已知m1＋i＝1－ni，其中m、n是实数，i是虚数单位，则m＋ni＝()A．1＋2iB．1－2iC．2＋iD．2－i解析：直接推算或对四个选项中的m，n值逐一代入条件检验．由m1＋i＝1－ni，得m2－m2i＝1－ni，则m2＝1且－m2＝－n，故m＝2，n＝1.∴选C.答案：C•思路分析：主要是应用复数的加、减、乘、除的运算法则及其运算技巧．【例3】计算：(1)2＋2i41－3i5；(2)－23＋i1＋23i＋(21－i)2010；(3)(1＋i1－i)6＋2＋3i3－2i.解：(1)原式＝161＋i41－3i41－3i＝162i2－2－23i21－3i＝－6441＋3i21－3i＝－161＋3i×4＝－41＋3i＝－1＋3i.(2)原式＝i1＋23i1＋23i＋21－i21005＝i＋(2－2i)1005＝i＋i1005＝i＋i4×251＋1＝i＋i＝2i.(3)解法一：原式＝1＋i226＋2＋3i3＋2i32＋22＝i6＋6＋2i＋3i－65＝－1＋i.解法二：(技巧解法)原式＝1＋i226＋2＋3ii3－2ii＝i6＋2＋3ii2＋3i＝－1＋i.变式迁移3计算：(1)－1＋i2＋ii3；(2)1－i1＋i2＋1＋i1－i2；(3)(1＋i2)2007＋(1－i2)2007.解：(1)－1＋i2＋ii3＝－3＋i－i＝－1－3i.(2)1－i1＋i2＋1＋i1－i2＝1－i2i＋1＋i－2i＝1＋i－2＋－1＋i2＝－1.(3)(1＋i2)2007＋(1－i2)2007＝122007[(1＋i)2006·(1＋i)＋(1－i)2006·(1－i)]＝122007[(2i)1003·(1＋i)＋(－2i)1003·(1－i)]＝12[(－i)·(1＋i)＋i·(1－i)]＝2.【例4】如右图，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)AO→表示的复数，BC→表示的复数；(2)对角线CA→所表示的复数．•思路分析：求某个向量对应的复数，只要求出向量的起点和终点对应的复数即可．解：(1)AO→＝－OA→，∴AO→表示的复数为－3－2i.∵BC→＝AO→，∴BC→所表示的复数为－3－2i.(2)CA→＝OA→－OC→，∴CA→所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.•解决这类题是利用复数a＋bi(a，b∈R)与复平面内以原点为起点的向量之间一一对应的关系，相等的向量表示同一复数，然后借助于向量运算的平行四边形法则和三角形法则进行求解.变式迁移4若复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则称|z|＝x2＋y2为复数z的模．已知非零复数z1、z2分别对应向量OA→、OB→，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则向量OA→与OB→的关系是()A.OA→＝OB→B．|OA→|＝|OB→|C.OA→⊥OB→D．OA与OB→共线解析：如右图，OA→与OB→对应复数z1、z2，∴OC→、BA→分别对应复数z1＋z2和z1－z2，∵|z1＋z2|＝|z1－z2|，∴|OC→|＝|BA→|，∴平行四边形OACB为矩形，∴OA⊥OB，即OA→⊥OB→.答案：C•1．复数的代数运算•(1)复数代数运算的实质是转化为实数运算，在转化时常用的知识有复数相等，复数的加、减、乘、除运算法则，模的性质，共轭复数的性质．(2)一些常用的结论①(1±i)2＝±2i；②1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i；③i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，其中n为整数．•2．复数的几何意义•(1)•(2)|z|表示复数z对应的点与原点的距离．•(3)|z1－z2|表示两点间的距离，即表示复数z1与z2对应点间的距离．•结合复数的几何意义、运用数形结合的思想，可把复数、解析几何有机地结合在一起，达到了学科间的融合，而且方法更灵活．