傅里叶级数逐点收敛性2

高等微积分讲义14.1第14讲Fourier级数的逐点收敛性（二）4Dini判别法与Lipschitz判别法有了上面一系列的准备工作以后，我们可以来讨论Fourier级数的逐点收敛性了。定理3（Dini判别法）：设()fx在[],ππ−上Riemann可积或广义绝对可积，以2π为周期；若S∃，使得()()()002ufxufxuSϕ=++−−满足：对于某一0h，()uuϕ在[]0,h上Riemann可积或广义绝对可积；则()()0nSfx收敛到S。证明：由于()uϕ在[],hπ上Riemann可积或广义绝对可积，1u在[],hπ上连续，有界，因而()uuϕ在[],hπ上可积或广义绝对可积。由上述结论及已知条件，()uuϕ在[]0,π上可积或广义绝对可积。考虑：()()()()()()()()001021021201210221sin2sin1sin()111sin2sinnfxufxuSSfxSnuduuunuduuunuduuuππππϕπϕπ++−−−=+=+⎛⎞+−+⎜⎟⎝⎠∫∫∫由Riemann-Lebesgue引理，上式第一项当n→+∞时趋于零，而第二项则显然也是趋于零的（12112sinuu−无瑕点），所以()()0nSfxS→。证毕Dini定理（判别法）告诉我们什么样的()uϕ可以使()()0nSfx收敛。因而我们关心S的选取（以及存在性），使()()0nSfx收敛。一般地，有下列的情形：若()fx在0xx=处左、右极限存在（0x至多为第一类间断点），则令：()()002fxfxS+−+=只要Fourier级数的逐点收敛性14.2()()()()()0000fxufxfxufxuuuuϕ+−+−−−=+在[]0,h上Riemann可积或广义绝对可积，则：()()()()00012nSfxfxfx+−⎡⎤→+⎣⎦。推论（Lipschitz判别法）：若()fx在0x点左右极限存在，且(]0,1α∃∈，0L∃，对于充分小的u，满足()()00fxufxLuα±±−≤，则：()()()()00012nSfxfxfx+−⎡⎤→+⎣⎦。证明：由上面讨论知()12uLuuαϕ−≤，当1α=时函数是Riemann可积的，当1α时函数是广义绝对可积的，满足Dini定理的条件，所以结论成立。证毕5Dirichlet-Jordan判别法上一段的Dini判别法是对函数()uuϕ作一些假设后得到的结论，这里讨论的判别法则是从()uϕ本身的性质来判断Fourier级数之收敛性的。为此，先引入一个引理：引理（Dirichlet引理）：设()xϕ在[]0,h上单调有界，则：()()0sinlim02hppxxdxxπϕϕ+→∞=∫。证明：为了证明引理，先考虑一个数值结果：0sin2xdxxπ+∞=∫。由广义积分之Dirichlet判别法，上述积分是收敛的。因此：100002sinsinsinsinlimlimlim2sinppppxxpypydxdxdydyxxyyπππ+∞→∞→∞→∞===∫∫∫∫，其中最后一个等号应用了Riemann-Lebesgue引理。最后令12pn=+，有：()12100012sinsin1limlimcos2sin22nnnknyxdxdykydyxyπππ+∞→∞→∞=+⎡⎤==+=⎢⎥⎣⎦∑∫∫∫。有了上面的积分以后，我们回到定理结论的证明。由于：高等微积分讲义14.3()()()()()()()()()00000123sinsinsin00sinsin00sin0hhhphhpxpxpxxdxdxxdxxxxypxdyxdxyxpxxdxxIIIδδϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+++++⎡⎤=+−⎣⎦⎡⎤=+−⎣⎦⎡⎤+−⎣⎦=++∫∫∫∫∫∫我们分别来考虑上式右端的三个部分。首先，()1lim02pIπϕ+→∞=；对于2I，由于()()0uϕϕ+−单调，无妨设其单调上升，由第二积分中值定理：[]0,ξδ∃∈，使得：()()()()2sinsin00pppxxIdxdxxxδδξξϕδϕϕδϕ++⎡⎤⎡⎤=−=−⎣⎦⎣⎦∫∫，由于0sinxdxx+∞∫收敛，所以sin2ppxdxLxδξ≤∫，因此得：()()()()2sin020ppxIdxLxδξϕδϕϕδϕ++⎡⎤⎡⎤≤−≤−⎣⎦⎣⎦∫，由()0ϕ+的定义，0ε∀0δ∃，使得()()02Lεϕδϕ+−≤，即：2Iε；对于3I，由Riemann-Lebesgue引理，()sinlim0hpxxdxxδϕ→∞=∫；综上可得：()()0sinlim02hppxxdxxπϕϕ+→∞=∫。证毕附注：若()xϕ为有限个单调函数之和，结论仍成立。定理4（Dirichlet-Jordan判别法）：设()fx在[],ππ−上为分段单调函数，则：()()()()00012nSfxfxfx+−⎡⎤→+⎣⎦。证明：由局部化定理，只需证明：0h∀，()()()()()1200000sin112hnufxufxudufxfxuπ+−+⎡⎤++−→+⎡⎤⎣⎦⎣⎦∫而()()()001ufxufxuϕπ=++−⎡⎤⎣⎦是两个单调函数之和，由Dirichlet引理：()()()120sin02hnuuduuπϕϕ++→∫，因而结论成立。Fourier级数的逐点收敛性14.4证毕6函数的Fourier级数展开这里我们举两个例子来说明如何对一个函数进行Fourier级数展开。例1.将函数()2fxx=在[],ππ−上展开为Fourier级数。解：将()2fxx=周期开拓到(),−∞+∞为周期是2π的函数，则：()20123afxdxππππ−==∫，()1sin0nbfxnxdxπππ−==∫，()()20220012cossin4144sincosnnafxnxdxxdnxnxnxdxxdnxnnnπππππππππ−==−=−==∫∫∫∫，所以：()222141cos3nnxnxnπ∞=−=+∑，[],xππ∈−。（由于是分数单调的连续函数，所以等号成立）令：xπ=，得：22116nnπ∞==∑。例2.将()fxx=在[)0,2xπ∈上展开为Fourier级数。解：同例1，将函数周期开拓为以π2为周期的函数，则有：201cos0naxnxdxππ==∫，20012axdxπππ==∫，2012sinnbxnxdxnππ==−∫；所以()0,2xπ∈时，1sin2nnxxnπ∞==−∑，即：1sin2nnxxnπ∞=−=∑。7Fourier级数的推广1)周期为T的函数之Fourier级数以上对函数的Fourier级数的讨论均是对周期为2π的函数进行的，对于周期不是2π的函数，其三角函数展开如何呢？高等微积分讲义14.5按照函数在正交基函数系中展开的思想，设正交基函数为：22221,cos,sin,,cos,sin,xxnxnxTTTTππππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，,22TTx⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦作线性变换：xTtπ2=，则区间由[],,22TTππ⎡⎤−→−⎢⎥⎣⎦，正交基函数变为标准的正交基函数。一般地记：Tπω2=，称为三角函数的圆频率，这时对应的Fourier系数为：()()()()()222222112coscoscos2sinTTTTnTTnaftntdtfxnxdxfxnxdxTbfxnxdxTππωωωππω−−−−====∫∫∫∫()()01~cossin2nnnafxanxbnxωω∞=++∑，,22TTx⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦2)复数形式的Fourier展开回忆Taylor级数展开式：()()()()23212212!!sin13!21!cos112!2!nxnnnnxxexnxxxxnxxxn+=+++++=−++−++=−++−+均是在R上收敛，若在xe之展开式中将x推广至纯虚数ix（只是形式上推广），则有：()()()()()()()22232112!!1112!2!3!21!cossinnixnnnnixixeixnxxxxixnnxix+=+++++⎛⎞⎛⎞=−++−++−++−+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⎝⎠=+因而一般地可将指数函数推广至复数域：()cossinxiyxeeyiy+=+（Euler公式）利用这一公式，有：cos2ixixeex−+=，sin2ixixeexi−−=，所以：Fourier级数的逐点收敛性14.6()()010101~cossin2222222nnninxinxinxinxnnninxinxnnnnnafxanxbnxaeeeeabiaaibaibeeωωωωωωωω∞=−−∞=∞−=++⎛⎞+−=++⎜⎟⎝⎠−+⎛⎞=++⎜⎟⎝⎠∑∑∑记：nnncaib=−，nnnncaibc−=+=，00b=，0,1,2,n=则：()1~2inxnnfxceω∞=−∞∑而：()()()222222cossinTTinxTTnnncaibfxnxinxdxfxedxTTωωω−−−=−=−=∫∫高等微积分讲义14.7§2习题1.利用复数形式求函数()coscossinxex在[],ππ−上的Fourier级数。2.设函数()fx是以2π为周期的函数，它的Fourier系数为,nnab，求函数()fxc+的Fourier系数。3.设函数()fx可积或广义绝对可积，周期为2π，它的Fourier系数为,nnab，求证：()()20112nnbfxxdxnπππ∞==−∑∫。4.设()()01cossin2nnnafxanxbnx∞=++∑∼，()()01cossin2nnkkkaSxakxbkx==++∑，令：()()()01nnSxSxxnσ−++=，求证：1)若()2xfxπ−=，02xπ≤≤，则：()2nxπσ≤；2)1sin12nnxnπ∞=+∑。