基本不等式经典例题(学生用)

基本不等式知识点：1.(1)若Rba,，则abba222(2)若Rba,，则222baab（当且仅当ba时取“=”）2.(1)若*,Rba，则abba2(2)若*,Rba，则abba2（当且仅当ba时取“=”）(3)若*,Rba，则22baab(当且仅当ba时取“=”）3.若0x，则12xx(当且仅当1x时取“=”）若0x，则12xx(当且仅当1x时取“=”）若0x，则11122-2xxxxxx即或(当且仅当ba时取“=”）4.若0ab，则2abba(当且仅当ba时取“=”）若0ab，则22-2abababbababa即或(当且仅当ba时取“=”）5.若Rba,，则2)2(222baba（当且仅当ba时取“=”）注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例：求下列函数的值域（1）y＝3x2＋12x2（2）y＝x＋1x技巧一：凑项例已知54x，求函数14245yxx的最大值。技巧二：凑系数例：当时，求(82)yxx的最大值。变式：设230x，求函数)23(4xxy的最大值。技巧三：分离换元例：求2710(1)1xxyxx的值域。技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数()afxxx的单调性。例：求函数2254xyx的值域。技巧六：整体代换（“1”的应用）多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。例：已知0,0xy，且191xy，求xy的最小值。技巧七例：已知x，y为正实数，且x2＋y22＝1，求x1＋y2的最大值.技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝1ab的最小值.技巧九、取平方例:求函数152152()22yxxx的最大值。应用二：利用均值不等式证明不等式例：已知a、b、cR，且1abc。求证：1111118abc应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知0,0xy且191xy，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若)2lg(),lg(lg21,lglg,1baRbaQbaPba，则RQP,,的大小关系是.