二次函数常用公式、结论及训练

第1页共16页初中函数问题涉及到的常用公式或结论及其训练一、常用公式或结论（1）横线段的长=x大-x小=x右-x左=横标之差的绝对值（用于情况不明）。纵线段的长=y大-y小=y上-y下=纵标之差的绝对值（用于情况不明）。（2）点轴距离：点P（x0，y0）到X轴的距离为0y，到Y轴的距离为ox。（3）两点间的距离公式：若A（x1,y1），B(x2,y2),则AB=221212()()xxyy（4）点到直线的距离：点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0(其中常数A,B,C最好化为整系数，也方便计算)的距离为：0022AxByCdAB（5）中点坐标公式:若A(x1,y1)，B（x2,y2），则线段AB的中点坐标为（1212,22xxyy）（6）直线的斜率公式：若A（x1,y1），B（x2,y2）(x1≠x2)，则直线AB的斜率为：1212=AByykxx,（x1≠x2）（7）两直线平行的结论：已知直线l1:y=k1x+b1;l2:y=k2x+b2①若l1//l2,则k1=k2；②若k1=k2，且b1≠b2，则l1//l2。（8）两直线垂直的结论：已知直线l1:y=k1x+b1;l2:y=k2x+b2①若l1┴l2，则k1•k2=-1；②若k1•k2=-1，则l1┴l2第2页共16页（9）直线与抛物线（或双曲线）截得的弦长公式：【初高中数学重要衔接内容之一，设而不求的思想】直线y=kx+n与抛物线y=ax2+bx+c（或双曲线y=m/x）截得的弦长公式是：AB=2121xxk=2122124)(1xxxxk证明如下：设直线y=kx+n与抛物线y=ax2+bx+c（或双曲线y=m/x）交于A（x1,y1）,B（x2,y2）两点，由两点间的距离公式可得：AB=221221)()(yyxx，因为A（x1,y1）,B（x2,y2）两点是直线y=kx+n与抛物线抛物线y=ax2+bx+c（或双曲线y=m/x）的交点，所以A（x1,y1）,B（x2,y2）两点也在直线y=kx+n上，∴y1=kx1+n,y2=kx2+n,∴y1-y2=（kx1+n）—（kx2+n）=kx1-kx2=k（x1-x2），∴AB=2212221)()(xxkxx=2212))(1(xxk=2121xxk=2122124)(1xxxxk而x1,x2显然是直线y=kx+n与抛物线y=ax2+bx+c（或双曲线y=m/x）组成方程组后，消去y（用代入法）所得到的那个一元二次方程的两根，从而运用韦达定理x1+x2,x1x2可轻松求出，进而直线与抛物线（或双曲线）截得的弦长就很容易计算或表示出来。（10）由特殊数据得到或联想的结论：①已知点的坐标或线段的长度中若含有23、等敏感数字信息，那很可能有特殊角出现。②在抛物线的解析式求出后，要高度关注交点三角形和顶点三角形的形状，若有特殊角出现，那很多问题就好解决了。第3页共16页③还要高度关注已知或求出的直线解析式中的斜率K的值，若3K=3，则直线与X轴的夹角为030；若K=1；则直线与X轴的夹角为045；若K=3，则直线与X轴的夹角为060教学建议：在八年级下册讲一次函数与反比例函数时，就引入上述绝大多数公式，然后再强化练习，为后续学习打下基础。二、基本公式或结论训练--------破解函数难题的基石（一）横线段的长度计算：【特点：两端点的y标相等，长度=-xx大小】。（1）若A（2,0），B（10,0），则AB=————————。（2）若A（-2,0），B（-4,0），则AB=——————————。（3）若M（-3,0），N（10,0），则MN=——————————。（4）若O（0,0），A（6,0），则OA=————————。（5）若O（0,0），A（-4,0），则OA=——————————。（6）若O（0,0），A(t,0),且A在O的右端，则OA=———。（7）若O（0,0），A(t,0),且A在O的左端，则OA=———。第4页共16页（8）若A(-2t,6),B(3t,6),且A在B的右端，则AB=————。（9）若A（4t,m）,B(1-2t,m),且B在A的左端，则AB=——————。（10）若P（2m+3,a）,M(1-m,a),且P在M的右端，则PM=————————。注意：横线段上任意两点的y标是相等的，反之y标相等的任意两个点都在横线段上。（二）纵线段的长度计算：【特点：两端点的x标相等，长度=-yy大小】。（1）若A(0,5)，B（0,7），则AB=——————————。（2）若A（0，-4），B（0，-8),,则AB=——————。（3）若A（0,2），B（0，-6），则AB=————————。（4）若A（0,0），B（0，-9),则AB=————————。（5）若A(0,0)，B(0,-6)，则AB=————————。（6）若O(0,0)，A(0,t),且A在O的上端，则OA=————————。（7）若O（0,0），A（0，t),且A在O的下端，则OA=——————————。（8）若A（6，-4t),B(6,3t),且A在B的上端，则AB=————————。第5页共16页（9）若M（m,1-2t),N(m,3-4t),且M在N的下端，则MN=————————。（10）若P（t,3n+2),M(t,1-2n),且P在M的上端，则PM=————————。注意：纵线段上任意两点的x标是相等的，反之x标相等的任意两个点都在纵线段上。（三）点轴距离：一个点(xy标标，）到x轴的的距离等于该点的y标的绝对值（即y标），到y轴的距离等于该点的x标的绝对值（即x标）。（1）点（-4,-3)到x轴的距离为————————，到y轴的距离为————————。（2）若点A（1-2t,223tt)在第一象限，则点A到x轴的距离为————，到y轴的距离为__________。（3）若点M（t,243tt)在第二象限，则点M到x轴的距离为;到y轴的距离为———。（4）若点A（-t,2t-1)在第三象限，则点A到x轴的距离为—，到y轴的距离为。（5）若点N（t，-t2+2t-3)点在第四象限，则点N到x轴的距离为——————，到y轴的距离为_________。（6）若点P（t,t2+2t-3)在x轴上方，则点P到ｘ轴的距离为____________。第6页共16页（7）若点Q（ｔ，t2-2t-6）在ｘ轴下方，则点Q到ｘ轴的距离为_____________。（8）若点D（ｔ，t2+4t-5）在ｙ轴左侧，则点D到ｙ轴的距离为____________。（9）若点E（ｎ，２ｎ＋６）在ｙ轴的右侧，则点E到ｙ轴的距离为_______________。（10）若动点P（ｔ，t2-2t+3）在ｘ轴上方，且在ｙ轴的左侧，则点P到ｘ轴的距离为_________________，到ｙ轴的距离为——————————。（11）若动点P（ｔ，t2-2t+3）在ｘ轴上方，且在ｙ轴的右侧，则点P到ｘ轴的距离为———————，到ｙ轴的距离为————————————。（12）若动点P（ｔ，t2-2t+3）在ｘ轴下方，且在ｙ轴的左侧，则点Pｘ轴的距离为———————，到ｙ轴的距离为——————————。（13）若动点P（ｔ，t2-2t+3）在ｘ轴下方，且在ｙ轴的右侧，则点P到ｘ轴的距离为———————，到ｙ轴的距离为——————————。注意：在涉及抛物线，直线，双曲线等上的动点问题中，在动点坐标“一母示”后，还要高度关注动点运动变化的区域（例如：动点Ｐ在抛物线ｙ＝x2-2x+3上位于ｘ轴下方，ｙ轴右侧的图象上运动），以便准确写出动点坐标中参数字母的取值范围，以及点轴距离是等于相应x标标（或y）的相反数，第7页共16页还是其本身。（四）中点坐标的计算：若【A（x1,y1），B(x2,y2),，则线段AB的中点坐标为（1212,22xxyy）】（1）若A（－4，３），B（6，7），则AB中点为————————————。（2）若M（0，-6），N（6，-4），则MN的中点坐标为————————————。（3）若P（1-32，），Q（1132，），则PQ的中点坐标为————————。（4）若A(1,2),B(-3,4),且B为AM的中点，则M点的坐标为——————————。（5）若A(-1,3),B(0,2),且A为BP中点，则P点坐标为————————————。（6）点P（－5,0）关于直线ｘ＝2的对称点的坐标为————————————。（7）点P（6,0）关于直线ｘ＝1的对称点的坐标为————————————。（8）点P（6,2）关于直线ｘ＝3的对称点的坐标为___________。（9）点Q（－4,3）关于直线ｘ＝－3的对称点的坐标为——————————。（10）点M（－4，－2）关于直线ｘ＝2的对称点的坐标为————————————。（11）点P（4，－3）关于直线ｘ＝－1的对称点的坐标为————————————。第8页共16页（12）点M（－4,2）关于直线ｙ＝－1的对称点的坐标为——————————。（13）点T（4，－3）关于直线ｙ＝1的对称点的坐标为——————————。（14）点Q（0，－3）关于ｘ轴的对称点的坐标为————————————。(15）点N（4,0）关于ｙ轴的对称点的坐标为——————。（五）由两直线平行或垂直，求直线解析式。【两直线平行，则两个k值相等；两直线垂直，则两个k值之积为-1.】（1）某直线与直线y=2x+3平行，且过点（1，-1），求此直线的解析式。（2）某直线与直线y=12x+1平行，且过点（2，3），求此直线的解析式。（3）某直线与直线y=253x平行，且过点（-3，0），求此直线的解析式。（4）某直线与y轴交于点P（0,3），且与直线y=112x平行,求此直线的解析式。（5）某直线与x轴交于点P（-2,0），且与直线y=142x平行，求此直线的第9页共16页解析式。（6）某直线与直线y=2x-1垂直，且过点（2,1），求此直线的解析式。（7）某直线与直线y=-3x+2垂直，且过点（3,2），求此直线的解析式。（8）某直线与直线y=213x垂直，且过点（2，-1），求此直线的解析式。（9）某直线与直线y=142x垂直，且过点（1，-2），求此直线的解析式。（10）某直线与x轴交于点P（-4,0），且与直线y=253x垂直，求此直线的解析式。（六）两点间的距离公式：若A(x1,y1),B(x2,y2),则221221)()(yyxxAB（１）若A（-2,0），B（0，3），则AB=————————。（2）若P（-2,3），Q（1，-1），则PQ=————————。（3）若M（0,2），N（-2,5），则MN=————————。第10页共16页（4）若P（1,02），Q（10,3），则PQ=——————————。（５）若A（1,32),B(-1,12),则AB=————————————。（６）若P(31,42),B(1,14),则PB＝——————————。（７）若P(31,42),B)1,41(,则PB=————————————。（８）若P(12,43)，M(1,12)，则PM=——————————。（９）若A（21,53），B（12,53），则AB＝——————————。（１０）若A（2,13），B（11,2），则AB＝——————————。（11）若A（－2,０），B（3,０），则AB＝————————。（１２）若P(0，-4)，Q(0，-2)，则PQ=————————————。第11页共16页（13）若P(3,0)，Q(4,0)，则PQ=——————————————。（１４）若P(1，-4)，Q(2,0)，则PQ=————————————。（七）直线的斜率公式：【注：所谓斜率，就是一次函数y=kx+b中k的值】；可由两个点的坐标直接求得：若A（x1,y1），B（x2