高中一元二次函数总结

1．二次函数的解析式的三种形式：(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)。(2)顶点式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。(3)两点式（因式分解）：f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴两交点的坐标。2．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴abx2，顶点坐标)44,2(2abacab（1）a0时，抛物线开口向上，函数在]2,(ab上单调递减，在),2[ab上单调递增，abx2时，abacxf44)(2min；（2）a0时，抛物线开口向下，函数在]2,(ab上单调递增，在),2[ab上单调递减，abx2时，abacxf44)(2max。3．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)当042acb时图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0)axxxxxxMM2122121214)(。4．根分布问题:一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax2+bx+c(a0)，(1)x1α,x2α,则0)()2/(0afab;(2)x1α,x2α,则0)()2/(0afab(3)αx1,αx2,则)2/(0)(0)(0abff(4)x1α,x2(α),则0)(0)(0ff(5）若f(x)=0在区间(α,)内只有一个实根，则有0))(ff5新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆最值问题：二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[α,]上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴b/(2a)在区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆要注意系数a的符号对抛物线开口的影响新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆6新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：①0f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴无交点ax2+bx+c=0无实根ax2+bx+c0(0)的解集为或者是R;②0f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴相切ax2+bx+c=0有两个相等的实根ax2+bx+c0(0)的解集为或者是R;③0f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴有两个不同的交点ax2+bx+c=0有两个不等的实根ax2+bx+c0(0)的解集为(,)()或者是(,)(,)新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（二）考点分析考点1．求二次函数的解析式例1．已知二次函数f(x)满足f(2)=-1，f(-1)=-1且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数。法一：利用一般式设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得：84411242abaccbacba解得：744cba∴f(x)=-4x2+4x+7法二：利用顶点式∵f(2)=f(-1)∴对称轴212)1(2x又最大值是8∴可设)0(8)21()(2axaxf，由f(2)=-1可得a=-47448)21(4)(22xxxxf法三：由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1，故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)即f(x)=ax2-ax-2a-1,又84)12(482maxaaaay即得a=-4或a=0(舍)∴f(x)=-4x2+4x+7例2．已知二次函数的对称轴为2x，截x轴上的弦长为4，且过点(0,1)，求函数的解析式．解：∵二次函数的对称轴为2x，设所求函数为2()(2)fxaxb，又∵()fx截x轴上的弦长为4，∴()fx过点(22,0)，()fx又过点(0,1)，∴4021abab，122ab，∴21()(2)22fxx考点2．二次函数在区间上的最值问题例1．已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。思维分析：一般配方后结合二次函数图象对字母参数分类讨论解：f(x)=-(x-a)2+a2-a+1(0≤x≤1),对称轴x=a10a0时，121)0()(maxaafxfyx0a1yx0a1yx0a1200≤a≤1时)(25121)()(2max舍得aaaafxf30a1时，22)1()(maxaafxf综上所述：a=-1或a=2例2．已知y=f(x)=x2-2x+3,当x∈[t,t+1]时，求函数的最大值和最小值。答案：32,2,12min2maxttytyt时2,2,121min2maxytyt时2,32,210min2maxyttyt时2,32,02min2maxtyttyt时例3．已知函数21sinsin42ayxax的最大值为2，求a的值．分析：令sintx，问题就转二次函数的区间最值问题．解：令sintx，[1,1]t，∴221()(2)24aytaa，对称轴为2at，（1）当112a，即22a时，2max1(2)24yaa，得2a或3a（舍去）．（2）当12a，即2a时，函数221()(2)24aytaa在[1,1]单调递增，由max111242yaa，得103a．（3）当12a，即2a时，函数221()(2)24aytaa在[1,1]单调递减，由max111242yaa，得2a（舍去）．综上可得：a的值为2a或103a．考点3．一元二次方程根的分布及取值范围例1．已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0(1)若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的取值范围。(2)若方程两根在区间（0，1）内，求m的范围。思维分析：一般需从三个方面考虑①判别式Δ②区间端点函数值的正负③对称轴abx2与区间相对位置。解：设f(x)=x2+2mx+2m+1(1)由题意画出示意图2165056)1(02)1(012)0(mmffmf（2）2121100)1(0)0(0mmff练习：方程kxx232在（-1，1）上有实根，求k的取值范围。宜采用函数思想，求)11(23)(2xxxxf的值域。)25,169[k【反思归纳】根分布问题:一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根分布问题，用图象求解，主要研究开口、判别式、对称轴、区间端点对应函数值的正负，列出不等式（组）求解。例2．已知函数22()(21)2fxxaxa与非负x轴至少有一个交点，求a的取值范围．解法一：由题知关于x的方程22(21)20xaxa至少有一个非负实根，设根为12,xx则120xx或1212000xxxx，得924a．解法二：由题知(0)0f或(0)0(21)020fa，得924a．二次函数一、知识梳理：1、二次函数的解析式：(1)一般式：)0.(2acbxaxy-1012yx01yx(2)顶点式：)0.()(020ayxxay其顶点为：),(00yx；abacyabx44,2200(3)两根式：))((21xxxxay)0(a其042acb，顶点横坐标2210xxx2、二次函数的图象和性质：)0.()(2acbxaxxf二次函数的图象是对称轴垂直于x轴的抛物线，当0a时开口向上，当0a时开口向下。它的定义域：),(值域：当0a时为),44[2abac；当0a时为]44,(2abac对称性：对称轴为abx2单调性：当0a时，减区间是]2,(ab，增区间是),2[ab；当0a时，减区间是),2[ab，增区间是]2,(ab3、掌握二次函数)0.(2acbxaxy在闭区间[m,n]上的最值求法。一、自我检测：1．函数422bxxy为偶函数，则（）A．0bB．0bC．0bD．Rb2、．设函数f(x)=0)x(cbxx0),x(22，若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则f(x)的解析式为f(x)=______________,关于x的方程f(x)=x的解的个数为___________．3、（04春）14、若关于x的不等式02aaxx的解集为),(，则实数a的取值范围是__________；若关于x的不等式32aaxx的解集不是空集，则实数a的取值范围是__________。4、若cba,,成等比数列，则函数)0.(2acbxaxy的图象与x轴交点的个数是（）（A）0（B）1（C）2（D）不能确定（B)5、.若函数268ymxmxm的定义域为R，求实数m的取值范围是_______6．在函数cbxaxxf2)(中，若a，b，c成等比数列且f（0）＝-4，则f（x）有最________值（填“大”或“小”），且该值为________．（04北京文）8、函数82)(2xxxf单调减区间是（）A．,1B．1,、C．1,1D．,9、若函数2)1(22xaxxf在区间)4,(上是减函数，则实数a的取值范围是（）（A）3a（B）2a（C）5a（D）5a10、．函数32)(2mxxxf，当1,x时是减函数，当,1x时是增函数，则)2(f=_________.(B)11、、已知函数52kxxxf在区间（1，2）上是增函数，求f(2)的取值范围是_________.10．函数32)(2axxxf在区间[1，2]上存在反函数的充分必要条件是（）A．]1(，aB．)2[，aC．)2[]1(，，aD．]21[，a12．函数)1(11)(xxxf的最大值是（）A．54B．45C．43D．3413、(陕西卷)函数f(x)=11+x2(x∈R)的值域是()A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]14、函数)(xf=)11(3622xxx的最小值是()A.23B.3C.-1D.不存在15、已知二次