电路分析基础--第六章-正弦稳态电路分析

一、什么是正弦稳态电路动态电路在正弦激励下的完全响应由固有响应和强制响应组成的。在正弦激励下，动态电路的固有响应是随时间的增长而衰减的，经过一段时间后，固有响应将趋于零。这时电路的完全响应则由强制响应，也即稳态响应决定。在正弦激励下，处于稳态响应阶段的电路称为正弦稳态电路。第6章正弦稳态电路分析二、研究正弦稳态电路的意义正弦电压和电流产生容易，与非电量转换方便，在实用电路中使用广泛。复杂信号皆可分解为若干不同频率正弦信号之和，因此可利用叠加定理将正弦稳态分析推广到非正弦信号激励下的电路响应。三、正弦稳态电路的分析方法采用相量分析法，引入相量的概念以后，在电阻电路中应用的公式、定理均可以运用于正弦稳态电路。6-1正弦量6-2正弦量的相量表示法6-3正弦稳态电路的相量模型6-4正弦稳态电路的相量分析法6-5正弦稳态电路的功率本章的主要内容6-6三相电路6-1正弦量6-1-1正弦量的三要素正弦电压的瞬时值可表示为：()cos()muutUt正弦量的振幅mu正弦量的角频率，表示其随时间变化的快慢u正弦量的初相位，表示其起始值的大小ut)(tumUu可以为正为负，为正时，最大值发生在计时时刻之前为负时，最大值发生在计时时刻之后ut)(tumU)cos()(umtUtuut)(tumU)cos()(umtUtu规定的取值范围为：uu6-1-2正弦量的相位差在同一正弦稳态电路中，任意电量都是同频的正弦量，因此各正弦量的区别在于振幅和初相不同。为了衡量各正弦电压和电流间变化进程之间的差别，即两个同频正弦量之间的相位关系，引入“相位差”的概念。相位差定义为：121212()()tt111()2cos()itIt设两个同频正弦量为：222()2cos()utUt同频正弦量的相位差等于它们的初相之差，是一个与时间无关的常数比较两正弦量的相位差时应注意：（1）两正弦量必须是同类型的函数（2）两正弦量必须具有相同的频率（3）初相位要小于π例：)30100cos(10)(ttu)15100sin(5)(tti)30100cos(10)(ttu)15100cos(5)(tti6-1-3正弦量的有效值在工程上，常将周期量在一个周期内产生的平均效应换算为在效应上与之相等的直流量，以衡量和比较周期量的效应，这一直流量就称为周期量的有效值，用相对应的大写字母表示。当周期电流信号流过电阻时，在一个周期内，电阻所消耗的电能量为21()()TTooWptdtRitdt直流电流流过电阻时，在一个周期内，该电阻消耗的能量为222ToWRIdtRIT如果上述两种情况下，电阻R消耗的能量相同，即TodttRiTRI)(22201()TIitdtT则将电流I定义为周期电流信号的有效值。)(ti当周期电流为正弦电流时()cos()miitIt代入上式，可得正弦电流的有效值I为201[cos()]TmiIItdtT0.7072mmII正弦电流也可表示为()2cos()iitIt同理可得正弦电压u（t）的有效值为0.7072mmUUU有效值在工程中应用十分广泛。大部分使用于50HZ的交流电表测读的都是有效值。交流电机和电器铭牌上所标注的额定电压或电流都是指有效值。通常所说的民用交流电的电压220V，指的就是电压的有效值。6-2正弦量的相量表示法正弦稳态电路中，电路中各支路的稳态响应是与激励同频率的正弦量。激励的频率通常是已知的，因此要求响应，只要确定它们的振幅和初相这两个量就行了正弦量为什么要用相量表示？相量表示法就是用复数来表示正弦量的振幅和初相，将描述正弦电路的微分方程变换为复数代数方程，而这些方程在形式上又与直流电路的方程相类似，从而大大简化了正弦稳态响应的分析与计算。6-2-1复数一．复数的概念一个复数A有四种数学表达形式：Aajb)sin(cos||jAAjeAA||直角坐标形式：三角形式：指数形式：极坐标形式：||AA复数在复平面上用矢量表示baOj1||A二．复数运算规则复数的加、减运算)()()()(2121221121bbjaajbajbaAAA复数的乘、除运算1212()1212121212||||||||||||()jjjAAAeAeAAeAA1122()1111122222||||||()||||||jjjAAeAAeAAeAA三、复数运算定理定理1若为a实数，A(t)为任意实变量的复值函数。则有Re[()]Re[()]aAtaAt定理2若A(t)和B(t)为任意实变量的复值函数。则有Re[()()]Re[()]Re[()]AtBtAtBt定理3若A为复数,其极坐标形式为。则有jtmAAeRe[]Re[]Re[]jtjtjtmmmddAeAejAedtdt定理4若A、B为复常数,若在所有的时刻都满足Re[]Re[]jtjtAeBe则AB6-2-2正弦量的相量表示法()2cos()uutUt正弦电压复指数函数()22cos()2sin()ujtuuUeUtjUt比较上两式可得()()Re[2]ujtutUeRe[2]ujjtUee有效值相量ujuUUeU振幅相量umjmmUeUUuUUm2两相量之间的关系引入相量后，正弦电压又可表示为()Re[2]Re[]jtjtmutUeUe引入旋转相量后，上式对应的几何意义是一个正弦量在任何时刻的瞬时值，等于对应的旋转相量同一时刻在实轴上的投影，如图所示。2jtUe称为旋转相量注意：（1）正弦量与相量仅为对应关系，并非相等关系，（2）正弦量的时间函数表达式称为正弦量的时域表示，相量表示形式称为正弦量的相量表示或频域表示。试写出它们对应的相量并作出相量图。[例6-1]正弦电压和电流分别为()10cos(314)V3utt4()141.4sin(1020)Aoitt解：对应相量的为107.07()332UV)11010cos(4.141)902010cos(4.141)2010sin(4.141)(444tttti141.4110100110A2I对应相量的为j17.073VU100110oIA相量图为[例6-3]已知正弦电压相量为，频率，试写出对应正弦量的时域表示形式。134VUj50HZf解：正弦波对应角频率2100/frads对应正弦相量的极坐标形式为：134553.1VUj1()52cos(10053.1)Vutt对应时域表示形式为：6-3正弦稳态电路的相量模型6-3-1基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫电流定律在时域内可表示为kkti0)(若为正弦波，则有ki()2cos()Re[2]0kjtkkikkkkitItIekkI0KCL的相量式同理，可得KVL的相量形式为0kkU[例6-4]如图所示，电路节点上12()22cos314A,()22cos(314120)Aittitt试求，并作出各电流相量的相量图。)(3ti)(3ti)(2ti)(1ti解：由的时域形式，得：)()(21titi、120I22120I由KCL的相量形式，得：3122021202132120AIIIj3()22cos(314120)Aitt相量图如图所示j11I2I3I1I2I由相量表示，得其瞬态表示：6-3-2R、L、C元件伏安关系的相量形式一．电阻元件因为)()(tRitu所以Re(2)Re(2)Re(2)jtjtjtRRRUeRIeRIeRRURI,RRuRRiUUII由RRuiUIR欧姆定律的相量形式RURIj1电阻元件的相量模型为：RURIR+－二．电容元件电容元件的时域伏安关系：()()CCdutitCdtRe(2)[Re(2)]Re[2]jtjtjtCCCdIeCUejCUedtCCIjCU1CCUIjC电容元件伏安关系的相量形式电容元件的相量模型为：CUCICj1+－2CCiuICUCUCIj121CXC电容的容抗1CCBCX电容的容纳CCCUjXI2CCuCCiUUIIjCC由可得三．电感元件电感元件的时域伏安关系：LLdiuLdt由上式可得2LLuiULILULIj12电感元件伏安关系的相量形式和相量模型LLUjLILILU+－Lj电感的感抗和感纳LXL11LLBXL[例6-6]电路如图示，已知()1202cos(100090)VuttR=15Ω，C=83.3μF,L=30mH,求电流I.u(t)CLiRiCiLi解：利用KCL相量关系，有：RCLIIII120120V2Uj631208A151000(83.310)(120)10A1204A1000(3010)RCLUjIjRIjCUjjUjIjLj8()22127668(6)810jarctgjRCLIIIIjee()102cos(1000127)itt对应的相量图为ILCIIRI127oLICIU[例6-7]如图所示电路，电流表示数分别为A1读数10A、A2读数10A，试求A的读数。A1ARA2Ci1i2i解法1：假定R与C两端的电压为0UU则对R支路，有010jUUIeRR0110AjIe由A1读数为10A，故对C支路，有2290jIjCUCUCUe由A2读数为10A，故2210jeI由KCL的相量形式，有04521210101010102AjjjIIIeeje故A的读数为102A解法2：用相量图求解因R与C并联，两者端电压相等，故以电压作为参考相量A1ARA2Ci1i2i1I2IIU10A10A6-3-3阻抗与导纳阻抗与导纳的定义UZIZY1NUI由以上定义可得，电阻、电感、电容的阻抗分别为11RLLCCZRZjLjXZjjXjCC对一般无源网络有ZZjXRZ阻抗的电阻分量阻抗的电抗分量阻抗的模阻抗角当X0时,θZ0,网络呈感性当X0时,θZ0,网络呈容性当X=0时,θZ=0,网络呈电阻性即无源网络可等效为一个电阻和电抗串联同理,一个无源网络的导纳可表示为YYjBGY电导分量电纳分量即无源网络可等效为一个电导和电纳并联综上所述，正弦稳态的无源二端网络，可等效为电阻和电抗的串联电路，也可等效为电导和电纳的并联电路。对于同一个二端网络，两者之间有如下关系：22221RXYjGjBZRXRX22222222GRRGGBRXXBBXRXGB或[例6-8]如图所示二端网络，试求该二端网络的输入阻抗并分析电路性质。－＋R－＋RULUZ＋－ULIC＋－CU解：由二端网络输入阻抗的定义有：1()()RLCLCLCUZZZZRjXjXRjXXRjLIC2211()LCRLarctgCR由于电抗X是角频率的函数,因此，在不同频率下，电路会呈现出不同性质：1LC当时,电路可等效为一个阻值为R的纯电阻当时,电路可等效为一个R和L组成的串联电路1LC当时,电路可