罗尔定理的进一步推广与应用

1罗尔定理的几种类型及其应用彭丹（德州学院数学系，山东德州253023）摘要：本文通过对罗尔定理的条件以及条件的几何意义、罗尔定理的证明以及运用构造函数的思想研究罗尔定理的一些性质及其应用、罗尔定理推广形式的总结与再推广，从而达到对罗尔定理的更深入的研究。关键词：罗尔定理；性质；应用；推广引言微分中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是起这种作用的。三大微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础。本文着重对罗尔定理的性质、推广形式以及应用进行深入的研究，从而更好的了解微分中值定理.1罗尔定理罗尔在数学上的成就主要是在代数学方面，专长于丢蕃图方程的研究。他在1691年出版了论著《方程的解法》这本论著本来和微分学没有关系（当时还没有导数的概念和符号，不过根据定理的结论恰好相当于多项式的导数）。但在一百多年后，龙斯托·伯拉维提斯将《方程的解法》中的一个定理推广到可微函数，并把此定理命名为罗尔定理.1.1.罗尔(Rolle)定理的内容：如果函数f(x)(1)在[a,b]上连续;(2)在(a,b)内可导;(3)f(a)=f(b).那么在(a,b)内至少有一点ξ(aξb),使得f'(ξ)=0.21.2．几何意义：罗尔定理的三个已知条件的几何意义是：f(x)在[a，b]上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线；f(x)在内(a，b)可导表明曲线y=f(x)在每一点处有切线存在；f(a)=f(b)表明曲线的割线（直线AB）平行于x轴.罗尔定理的结论的直观意义是：在(a，b)内至少能找到一点ξ，使f'(ξ)=0，表明曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而切线平行于割线AB，也就平行于x轴.符合罗尔定理条件的曲线至少有一条水平切线yCy=f(x)Oa12bx1.3．罗尔定理的条件的讨论（1）罗尔定理的条件缺一不可例1f(x)=时时1x01x0xy（1）f(x)∈C[0,1]；（）（2）f(x)∈D（0,1）；（3）f（0）=f(1).01则不存在，使得f′（）=0.3例２，f(x)=|x|,x∈[-1,1];（1）f(x)∈C[-1,1];（2）f(x)∈D[-1,1];（）（3）f(-1)=f(1).则不存在§，使得f′（§）=0.因为此例题中条件（2）不满足罗尔定理的条件。y-101x例３，f(x)=x,x∈[0,1];（1）f(x)∈C[0,1];（2）f(x)∈D[0,1];（3）f(0)=f(1).（）则不存在§，使得f′（§）=0.因为此例题中条件（2）不满足罗尔定理的条件y01x4(2)罗尔定理的条件之一不满足其结论仍然成立.例如y=2)^1|(|1xx∈[-2,2]在x=0处不可导y=2)^1(1xx∈[0,23]在端点处的函数值不相等y=23023,0)1(12xxx在闭区间上不连续对以上三个函数罗尔定理均成立．２．关于罗尔定理的进一步讨论罗尔定理是微分学中的一个重要定理，它不仅沟通了函数与其导函数的关系，也是微积分学中许多定理的基础，对罗尔定理进行深入系统的探讨和研究，给出在更弱条件下的各种区间类型（包括有限区间和无限区间）的罗尔定理的推广形式．2.1广义罗尔定理１．１中罗尔定理对所涉及的函数的要求过于苛刻，我们希望能够得到一个更为宽泛的结论，因此有必要对其条件进行放宽，放宽条件后的罗尔定理（不妨将其称之为广义罗尔定理）有如下８种形式：推论１设函数f（x）在区间（ａ，ｂ）上连续，在区间（ａ，ｂ）内可导，且axlimf（x）=-bxlimf（x）=A，其中A为常数，则存在§∈（ａ，ｂ），使得f′（§）=0.推论2设函数f（x）在区间[ａ，ｂ）上连续，在区间（ａ，ｂ）内可导，且bxlimf（x）=f（a），则存在§∈（ａ，ｂ），使得f′（§）=0.推论3设函数f（x）在区间（ａ，ｂ]上连续，在区间（ａ，ｂ）内可导，且axlimf（x）=f（b），则存在§∈（ａ，ｂ），使得f′（§）=0.推论4设函数f（x）在区间[ａ,+∞）上连续，在区间（ａ,+∞）内可导，5且xlimf（x）=f（a），则存在§∈（ａ,+∞），使得f′（§）=0.推论5设函数f（x）在区间（ａ,+∞）上连续，在区间（ａ,+∞）内可导，且xlimf（x）=axlimf（x）=A，其中A为有限实数，则存在§∈（ａ,+∞），使得f′（§）=0.推论6设函数f（x））在区间（-∞,a]上连续，在区间（-∞,a）内可导，且-xlimf（x）=f（a），则存在§∈（-∞,a），使得f′（§）=0.推论7设函数ｆ（ｘ）在区间（-∞,a）上连续，在区间（-∞,a）内可导，且-xlimf（x）=-axlimf（x）=A，其中A为有限实数，则存在§∈（-∞,a），使得f′（§）=0.推论8设函数f（x）在区间（-∞,+∞）上连续，在区间（-∞,+∞）内可导，且-xlimf（x）=xlimf（x）=A，其中A为有限实数，则存在§∈（-∞,+∞），使得f′（§）=0.证明：以下仅给出推论8的证明，其他推论的证明与此类似.若f(x)是常值函数，则结论显然成立.下面只讨论f(x)不是常值函数得情形.在此情形下，不妨设存在x0∈（-∞,+∞），f（x0）A=xlimf（x）.因为f（x）在（-∞,+∞）上连续，根据连续函数介值定理的推广形式可知，存在1∈（-∞,x0），2∈（x0，+∞），使得f（1）=f（2）.再由罗尔定理知，存在（1，2）（-∞,+∞），使得f′（）=0.结论得证.2.2罗尔定理的进一步推广推论1到推论8都要求区间两端的极限存在，下面我们将结论进一步推广.定理1若函数f（x）在区间（ａ，ｂ）内可导，且axlimf（x）=-bxlimf（x）=±∞，则存在∈（ａ，ｂ），使得f′（）=0.证明：不妨设axlimf（x）=-bxlimf（x）=+∞.6并令M=f(2ba).则存在（0＜＜2a-b）,使得对满足a＜x＜a+的一切x，均有f（x）＞M.故而存在x1∈（a，a+1），使得f（x1）＞M.而对于上述f（x1），存在2（0＜2＜2a-b）,使得对满足b-2＜b的一切x，均有f(x)＞f(x1).故而存在2x∈（b-2，b），使得f（2x）＞f(x1)＞f(2ba).由连续函数介值定理知存在1∈（2ba，2x），使得f(x1)=f（1）.显然，f(x)在[x1,1]上满足罗尔中值定理的所有条件，由此可知存在∈（x1,1）（ａ，ｂ），使得f′（）=0.结论得证.定理2若函数f（x）在区间（ａ，ｂ）内可导，且对于（0＜＜2a-b），f（x）在（a，a+）和（b-，b）内有不同的单调性，则存在∈（ａ，ｂ），使得f′（）=0.7证明：不妨设f（x）在（a，a+）内单调递减，而在（b-，b）内单调递增，则存在x1∈（a，a+），1∈（x1，a+）（a，a+），使得f（1）＜f（x1）.同理可以证明，存在2x∈（b-，b），2∈（b-，2x）（b-，b）,使得f（2）＜f（2x）.则f（x1）和f（2x）均不是f（x）在[x1,2x]上的最小值，又f（x）在[x1,2x]上连续，则存在∈（x1,2x），使得f（x）为f（x）在[x1,2x]上的最小值.由Fermat定理知，f′（）=0.结论得证.定理3若f（x）∈C[x1,2x]且在（ａ，ｂ）内可导，axlimf（x）=-bxlimf（x）=A存在＞0,f（x）在（a，a+）,（b-，b）内有相同的单调性，则至少存在1，2∈（ａ，ｂ），1≠2，使得f′（1）=0，f′（2）=0.证明:不妨设f（x）在（a，a+）,（b-，b）内均为增函数，设F（x）=f（x）-A,则F（x）在（a，a+）,（b-，b）内均为增函数，并且axlimF（x）=-bxlimF（x）=0，8由函数的单调性可以找到两点1和2，F（1）＞0,F（2）＜0.由零值定理可知，存在∈（1，2）（a，b），使得F（）=0.由推论2可知在（a，）和（，b）内分别可以找到1，2，并且F′（1）=0，F′（2）=0，也即f′（1）=0，f′（2）=0，结论得证.定理4设函数f（x）在区间[ａ，ｂ]上可导，且满足f′（a）f′（b）＜0,求证f′（x）可以取到f′（a）和f′（b）之间的一切数值.证明：不妨设f′（a）＞0,f′（b）＜0,现任取r，使得f′（a）＜r＜f′（b），构造函数G（x）=ｆ（ｘ）-rx，那么G′（a）=f′（a）-r＜0，G′（b）=f′（b）-r＞0.因此，则存在，使得G（x）在（a，a+）内单调递减，在（b-，b）内单调递增，由定理2知，存在c∈（ａ，ｂ），使得G′（c）=0，也即9f′（c）=r.定理得证.3广义罗尔定理的应用下面给出广义罗尔定理的应用实例.例1设F（x）在（a，b）上可导，且axlimF′（x）＞0，-bxlimF′（x）＜0，证明存在∈（ａ，ｂ）使得F′（）=0.证明：根据题设所给条件，由极限的保号性知，存在＞0，当x∈（a，a+）时，F′（x）＞0，即F（x）在（a，a+）上单增；而当x∈（b-，b）时，F′（x）＜0，即F（x）在（b-，b）上单减，由上述定理2可知，一定存在点∈（ａ，ｂ）使得F′（）=0.例2设f（x）在[0，+∞）上可导，且0≤f（x）≤2x1x，试证明存在＞0，使得f′（）=2221-1证明:不妨令g（x）=f（x）-2x1x,则g（x）在[0,+∞）上连续且可导，-2x1x≤g（x）≤0,从而100xlim2x1x-≤0xlimg（x）≤0，xlim2x1x-≤xlimg（x）≤0，又因为xlim2x1x-=0，0xlim2x1x-=0，所以，xlimg（x）=0=g（0）,由推论4知，存在∈（0，+∞），使得g′（）=0,因此，f′（）=2221-1，结论得证.4结语罗尔定理是微分学中的一个基本定理,它基于费尔玛定理。由罗尔定理可导出著名的拉格朗日中值定理.本文将罗尔定理推广到任意区间和任意端值上,并利用罗尔定理的广义形式讨论了罗尔定理的一些其他的性质以及更深层次的应用.罗尔定理是数学分析基本理论中的重要内容，它起着奠基、核心的作用。理解罗尔定理的条件，结论和几何意义，结合对罗尔定理的具体应用，反复体会其在微积分课程中的重要地位和作用，从而达到准确理解并应用该定理的目的。根据这一定理的条件和结论，提出一系列扩展思路、独立思考、试探解决的问题，从而达到培养能力、牢固掌握基本理论的目的。11参考文献[1]北京大学.数学分析[M].北京：人民教育出版社，1961.[2]复旦大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1983.[3]菲赫金哥尔茨.微积分学教程[M].北京：人民教育出版社，1956.[4]广西民族学院学报（自然科学版），Dec.2002:23-25[5]郭玉立.微分中值定理的几种新证明[6]Mathematicsarchive,UniversityofStAndrews[7]盛云秋《上海工程技术大学学报》1992第4期-维普资讯网[8]吴从炘《高等数学研究》2004第5期-维普资讯网[9]王子兴.数学方法论-问题解决的理论[M].长沙：中南大学