高中数学课时分层作业7二项式定理新人教A版选修

课时分层作业(七)二项式定理(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是()A．(2x＋2)5B．2x5C．(2x－1)5D．32x5D[原式＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.]2．已知x－1x7的展开式的第4项等于5，则x等于()【导学号：95032078】A.17B．－17C．7D．－7B[T4＝C37x4－1x3＝5，则x＝－17.]3．在x2－13x8的展开式中常数项是()A．－28B．－7C．7D．28C[Tk＋1＝Ck8·x28－k·－13xk＝(－1)k·Ck8·128－k·x8－43k，当8－43k＝0，即k＝6时，T7＝(－1)6·C68·122＝7.]4．在x2－2x6的二项展开式中，x2的系数为()A．－154B.154C．－38D.38C[Tk＋1＝Ck6x26－k·－2xk＝(－1)k22k－6·Ck6x3－k，令3－k＝2，则k＝1，所以x2的系数为(－1)1×2－4×C16＝－38，故选C.]5．设a∈Z，且0≤a＜13，若512018＋a能被13整除，则a＝()【导学号：95032079】A．0B．1C．11D．12D[512018＋a＝(13×4－1)2018＋a，被13整除余1＋a，结合选项可得a＝12时，512018＋a能被13整除．]二、填空题6．(1－i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第7项为________．－210[由通项公式得T7＝C610·(－i)6＝－C610＝－210.]7．(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)10展开式中x3的系数为________.【导学号：95032080】330[x3的系数为C33＋C34＋C35＋…＋C310＝C44＋C34＋C35＋…＋C310＝C411＝330.]8．如果3x2＋1xn的展开式中，x2项为第3项，则自然数n＝________.8[Tk＋1＝Ckn(3x2)n－k1xk＝Cknx2n－5k3，由题意知k＝2时，2n－5k3＝2，所以n＝8.]三、解答题9．化简：S＝1－2C1n＋4C2n－8C3n＋…＋(－2)nCnn(n∈N*)．[解]将S的表达式改写为：S＝C0n＋(－2)C1n＋(－2)2C2n＋(－2)3C3n＋…＋(－2)nCnn＝[1＋(－2)]n＝(－1)n.∴S＝(－1)n＝.10．记2x＋1xn的展开式中第m项的系数为bm.(1)求bm的表达式；(2)若n＝6，求展开式中的常数项；(3)若b3＝2b4，求n.【导学号：95032081】[解](1)2x＋1xn的展开式中第m项为Cm－1n·(2x)n－m＋1·1xm－1＝2n＋1－m·Cm－1n·xn＋2－2m，所以bm＝2n＋1－m·Cm－1n.(2)当n＝6时，2x＋1xn的展开式的通项为Tk＋1＝Ck6·(2x)6－k·1xk＝26－k·Ck6·x6－2k.依题意，6－2k＝0，得k＝3，故展开式中的常数项为T4＝23·C36＝160.(3)由(1)及已知b3＝2b4，得2n－2·C2n＝2·2n－3·C3n，从而C2n＝C3n，即n＝5.[能力提升练]一、选择题1．在x＋13x24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有()A．3项B．4项C．5项D．6项C[Tk＋1＝Ck24x24－k2·x－k3＝Ck24·x12－56k，则k＝0,6,12,18,24时，x的幂指数为整数，所以x的幂指数有5项是整数项．]2．使3x＋1xxn(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为()【导学号：95032082】A．4B．5C．6D．7B[Tk＋1＝Ckn(3x)n－k1xxk＝Ckn3n－kxn－52k，当Tk＋1是常数项时，n－52k＝0，当k＝2，n＝5时成立．]二、填空题3．若ax2＋1x5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________.－2[Tk＋1＝Ck5·(ax2)5－k1xk＝Ck5·a5－kx10－52k.令10－52k＝5，解得k＝2.又展开式中x5的系数为－80，则有C25·a3＝－80，解得a＝－2.]4．对于二项式1x＋x3n(n∈N*)，有以下四种判断：①存在n∈N*，展开式中有常数项；②对任意n∈N*，展开式中没有常数项；③对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N*，展开式中有x的一次项．其中正确的是________．①④[二项式1x＋x3n的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cknx4k－n，由通项公式可知，当n＝4k(k∈N*)和n＝4k－1(k∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项．]三、解答题5．已知m，n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数.【导学号：95032083】[解]由题设知m＋n＝19，又m，n∈N*，所以1≤m≤18.x2的系数为C2m＋C2n＝12(m2－m)＋12(n2－n)＝m2－19m＋171.所以当m＝9或10时，x2的系数的最小值为81，此时x7的系数为C79＋C710＝156.