二次函数性质一览表

二次函数的性质及有关知识一览表初中数学（高县柳湖中学校）王福军1二次函数性质一览表表达式(a≠0)a值图像开口方向对称轴顶点坐标增减性最值举例①y=ax2a＞0向上y轴（0，0）①当x＞0时，y随x的增大而增大②当x＜0时，y随x的增大而减小当x=0时，y有最小值，即y最小值=0y=43x2y=3x2a＜0向下y轴（0，0）①当x＞0时，y随x的增大而减小②当x＜0时，y随x的增大而增大当x=0时，y有最大值，即y最大值=0y=-5x2y=31x2②y=ax2+ka＞0向上y轴（0，k）①当x＞0时，y随x的增大而增大②当x＜0时，y随x的增大而减小当x=0时，y有最小值，即y最小值=ky=4x2+5y=3x2-1a＜0向下y轴（0，k）①当x＞0时，y随x的增大而减小②当x＜0时，y随x的增大而增大当x=0时，y有最大值，即y最大值=ky=-2x2+3y=-3x2-2③y=a(x-h)2a＞0向上直线x=h（h，0）①当x＞h时，y随x的增大而增大②当x＜0时，y随x的增大而减小当x=h时，y有最小值，即y最小值=0y=2(x-3)2y=21(x+2)2a＜0向下直线x=h（h，0）①当x＞h时，y随x的增大而减小②当x＜0时，y随x的增大而增大当x=h时，y有最大值，即y最大值=0y=-3(x-2)2y=-2(x+1)2④y=a(x-h)2+ka＞0向上直线x=h（h，k）①当x＞h时，y随x的增大而增大②当x＜h时，y随x的增大而减小当x=h时，y有最小值，即y最小值=ky=5(x-2)2+1y=2(x-1)2-3y=3(x+1)2+2y=4(x+2)2-4a＜0向下直线x=h（h，k）①当x＞h时，y随x的增大而减小②当x＜h时，y随x的增大而增大当x=h时，y有最大值，即y最大值=ky=-2(x-1)2+3y=-3(x-2)2+1y=-4(x+1)2+3y=-5(x+2)2+4⑤y=ax2+bx+c可化为：y=a(x+)2ab2+abac442a＞0向上直线x=-ab2（-ab2，abac442）①当x＞-ab2时，y随x的增大而增大②当x＜-ab2时，y随x的增大而减小当x=-ab2时，y有最小值，即y最小值=abac442y=2x2+3x+4y=3x2-3x+4y=4x2-3x-4y=5x2+3x-4a＜0向下直线x=-ab2（-ab2，abac442）①当x＞-ab2时，y随x的增大而减小②当x＜-ab2时，y随x的增大而增大当x=-ab2时，y有最大值，即y最大值=abac442y=-2x2+3x+4y=-3x2-3x+4y=-4x2-3x-4y=-5x2+3x-4二次函数的性质及有关知识一览表初中数学（高县柳湖中学校）王福军2二次函数的有关知识一、用代定系数法求二次函数表达式的方法(a≠0)：1、一般式：y=ax2+bx+c[已知抛物线任意三点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)可设一般式求得]2、顶点式：y=a(x-h)2+k[已知顶点坐标（h，k）和任意一点(x,y)可设顶点式求得]3、两根式：y=a(x-x1)(x-x2)[已知抛物线与x轴是的两个交点（x1，0），（x2，0）和任意一点(x,y)可设两根式求得]二、二次函数图象平移变换关系：三、二次函数图象（抛物线）与x轴交点情况的判断：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c都是常数）四、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解之间的关系：1、二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解。因此利用二次函数图象可求以x为未知数的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解（从图象上进行判断）。2、二次函数y＝ax2+bx+c在x轴上方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解。五、关于x轴、y轴对称的二次函数图象的关系：二次函数y＝ax2+bx+c与y＝－ax2+bx+c关于x轴对称，即关于x轴对称的两个二次函数其二次项系数互为相反数，一次项系数和常数项相同。六、二次函数y＝ax2+bx+c,当a、b同号时，对称轴直线x＝－ab2在x轴的负半轴，即y轴的左则；当a、b异号时，对称轴直线x＝－ab2在x轴的正半轴，即y轴的右则；当c＞0时，图象交于y轴的正半轴；当c＝0时图象一定过原点；当c＜0时，图象交于y轴的负半轴。七、任意一个二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0，不考虑b和c的取值)都可以化为y=a(x+)2ab2+abac442的形式,即顶点坐标为(ab2－，abac442),当x=-ab2时，y有最值，即y最值=abac442,对称轴是直线x=-ab2.